AW: Math Verhulst 1989
 

Zusammenfassung einiger Saetze :
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Wie bereits erwaehnt ueberraschen auch mich momentan einige mathematischen Zusammenhaenge. Ich kann diese zwar nicht erklaeren, aber dennoch lassen sich daraus Vorhersagen erstellen, die man dann numerisch ueberpruefen kann.

Einige empirisch ermittelte Eigenschaften der analytischen Verhulst Umkehrfunktion :
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A) yi:=1/2*(1-cos(2^(-t)*(arccos(1-2*yi0)+n*2*Pi)));

1) In Gleichung A gibt der Wert von n an wieviele Maxima die Funktion im Intervall t=( 0 .. unendlich) enthaelt.
2) Die Kosinusfunktion A) ist frequenzmoduliert. Im Gegensatz zu einer Amplitudenmodulation weisen die Maxima gleiche Werte (y=1) auf.

Anwendung :
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Folgendes numerisches Versuchsergebnis (k=0..4) zeigt, dass der Parameter n einer Loesung (in R) abhaengig ist vom Anfangswert.

http://home.arcor.de/richardon/2012/gaussall.gif
=>
Der Anfangswert yo1 bestimmt mit die Anzahl Maxima fuer ein festes Zeitintervall.
Numerische Ueberpruefung :
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http://home.arcor.de/richardon/2012/staunen1.gif

Man sieht, dass die Funktionen tatsaechlich n Maxima mit dem Wert 1 aufweisen. Man sollte sich nochmals verdeutlichen, dass der Ausdruck A lediglich eine Kosinusfunktion darstellt. Der Arccos-Term stellt ebenso wie der n-Term einen konstanten Ausdruck dar. Die Besonderheit liegt darin, dass die Zeit t nicht linear sondern ueber 2^(-t) in den Kosinus eingeht. Man koennte aus den Schaubildern den Eindruck gewinnen, dass z.B fuer n =3 nur drei Maxima im Intervall t>0 auftreten, weil die restlichen Maxima (t>6) in der Amplitude ausgedaempft werden. Dies waere ein Trugschluss.

http://home.arcor.de/richardon/2012/staunen2.gif

Richtig ist, dass aufgrund der sinkenden Frequenz kein Maxima mehr erreicht wird. Dies mathematisch nachzuweisen waere wohl nicht allzu schwierig. So strebt 2^(-t) gegen Null und der Kosinus von Null gegen eins. Man muss noch zeigen ab welchem Wert die Funktion A monoton fallend ist. (Weitere Eigenschaften folgen)

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- Warum ist eine exakte Erfassung der Eigenschaften der chaotischen Verhulst Umkehrfunktion schwierig ?

Die chaotische inverse Loesung lautet :
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A) yi:=1/2*(1-cos(2^(-t)*(arccos(1-2*yi0)+n*2*Pi)));


Es existiert folgendes Additionstheorem :
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cos(x +- y)=cos(x) cos(y) -+ sin(x) sin(y)


Gleichung A) laesst sich umformen :
yi:=1/2*(1-cos( 2^(-t)*(arccos(1-2*yi0)+n*2*Pi ))) =
yi:=1/2-1/2*cos( 2^(-t)*arccos(1-2*yi0) + 2^(-t)*n*2*Pi )

Man sieht hier bereits, dass der Faktor 2^(-t) eine direkte Vereinfachung mittels des Additionstheorems verhindert. Es ergeben sich zwei verschiedene Problematiken, die ich mit (rot,blau) gekennzeichnet habe. Anwenden des Additiontheorems :

yi:=1/2-1/2*cos( 2^(-t)*arccos(1-2*yi0))*cos (2^(-t)*n*2*Pi )+1/2*sin( 2^(-t)*arccos(1-2*yi0))*sin( 2^(-t)*n*2*Pi )

BLAUES ARGUMENT
Fuer den Sinus und Kosinus des Arguments 2^(-t)*n*2*Pi=2*Pi * n/2^(t) lassen sich fuer ganzzahlige t und insbesonders fuer grosse n
noch einige Vereinfachungen angeben. Dies sind jedoch sehr spezielle Faelle.
In der Vorwaertsiteration wuerde man 2^(t) statt 2^(-t)=1/2^(t) betrachen. Damit ergeben sich dort einfachere Faelle.

ROTES ARGUMENT
Fuer das rot gekennzeichnete Argument ist das Handling nochmals schwieriger. Der Term ist nicht nur vom Anfangswert y0i abhaengig, sondern ebenfalls von der Variablen t (Zeit). Fuer t wird man auch hier ganzzahlige Werte annehmen muessen, die Iterationsvariable k element N. Fuer cos(2^(-t)*arccos(1-2*yi0)) ist selbst fuer ganzzahlige Werte von t mir keine Vereinfachung bekannt. Auch hier stellt der Faktior 2^(k) der Vorwaertsiteration anstatt 2^(-k) der inversen Itreration den "einfacheren" Fall dar. Hier waere tatsaechlich eine "Vereinfachung" moeglich, die ich im naechsten Beitrag kurz darstellen moechte.
Warum ich bisher nur empirische Gesetze anhand numerischer Versuche verwendet habe, sollte bereits verstaendlich sein.

AW: Math Verhulst 1989
 

Die "Arccos Polynome" der chaotischen Verhulst Gleichung
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Es existiert folgende Aequivalenz :

arccos(2*x^2-1) = 2*arccos|x|

http://www.matha.rwth-aachen.de/lehr...na2/formel.pdf

Dieser Zusammenhang ist der Schluessel fuer die Loesung der Verhulst Gleichung und laesst sich mittels Verkettung
fuer 2^k*arccos|x|, k element N verallgemeinern.

Beispiel einer Verkettung :

2*arccos|x|=arccos|2*x^2-1|
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Substitution (Verkettung) : x=2*z^2-1
2*arccos|2*z^2-1|=arccos|2*(2*z^2-1)^2-1|
4*arccos|z|=arccos|8*z^4 - 8*z^2 + 1|
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Es ergeben sich fuer z>0 zwei Faelle :

z>Wurzel(2)/2
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4*arccos|z|=arccos(8*z^4 - 8*z^2 + 1)

z<Wurzel(2)/2
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4*arccos|z|=2*Pi-arccos(8*z^4 - 8*z^2 + 1)

http://home.arcor.de/richardon/2012/arccos1.gif

Die Anzahl der Fallunterscheidungen waechst leider unangenehmerweise mit der Anzahl der Verkettungen. Dennoch koennte es lohnend sein die verketteten Polynome von x^2-1 etwas genauer zu untersuchen. Die k-fach verketteten Polynome lassen sich durch die Arccos Funktion auf die Form 2^k*arccos|x| "linearisieren" (Lineares Argument) Diese Untersuchung laesst sich ohne den Zusammenhang zur Verhulst Gleichung durchfuehren. "Just for fun". Damit erkennt man auch folgende Verwandtschaft :

Vergleich mit dem Polynom x^2 und dem Logarithmus.
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Die k-fache Verkettung des Polynoms x^2 lautet x^(2^k). Es gilt :
ln|x^(2^k)|=2^k*ln|x|

Im Komplexen existiert zwischen dem arccos und dem ln folgender Zusammenhang :

http://upload.wikimedia.org/math/c/9...169786e5d1.png

Siehe auch Herleitung arccos(2*x^2-1) = 2*arccos|x| im Komplexen :
http://www.quanten.de/forum/showpost...65&postcount=4