AW: Allgemeine Lösungsformel eines Polynomes vom Grad n = 5
 

Tom, meine Aussage ist ein modallogisches Theorem, das fragt, ob es so etwas gibt.
Grundsätzlich gilt:
Polynome sind Potenzsummen, und die Umkehrfunktion einer Potzenz ist die Wurzel.
https://de.wikipedia.org/wiki/Polynom
https://de.wikipedia.org/wiki/Wurzel_(Mathematik)

Aber folgende Möglichkeiten sehe ich, um doch eine Allgemeine Lösungsformel zu erhalten:

1. Die Einführung einer "imaginären Wurzel" (ob das mathematisch Sinn macht, muss man prüfen)
2. Die Einführung einer neuen "imaginären Einheit k", ähnlich wie bei den Complexen Zahlen, welche ja die primäre Eigenschaft i² = -1 haben, z.B. folgendermassen:
k³ = -i³
k³ = i³

3. Die Lösung über das Kreuzprodukt eines n-dimensionalen Vektorraums.
4. Eine Transformation der Lösungen auf die Ecken eines Dodekaeder.

Vielleicht funktioniert eine Möglichkeit, vielleicht gibt es auch noch andere. Muss man sich halt mal genauer anschauen...

AW: Allgemeine Lösungsformel eines Polynomes vom Grad n = 5
 

Deine Aussage fragt nicht, sie behauptet etwas:

„Es existieren Lösungen für eine Allgemeine Lösungsformel eines Polynomes vom Grad n = 5.“

Bisher bist du alles schuldig geblieben, Voraussetzungen für die Aussage sowie einen Beweis.


(1) und (2) klingen nach endlich-dimensionalen Erweiterungskörpern von C, von denen wir wissen, dass die nicht existieren; die einzigen weiteren Divisionsalgebren, zu denen C eine Unteralgebea darstellt, sind die Quaternionen sowie die Octonionen; dies sind jedoch keine Körper.

(3) funktioniert nicht, da zum einen Vektorprodukte nur in n=3 und n=7 existieren, und zwar eine Algebra jedoch keinen Körper definieren. Das hängt übrigens mit (1) und (2) zusammen.

AW: Allgemeine Lösungsformel eines Polynomes vom Grad n = 5
 

Ich hab dazu folgendes gefunden:
https://www.math.uni-sb.de/ag/wittst...is2/Kap3_4.pdf
S. 93 bzw. S. 309:

Der Beweis ist:
Das versteh ich noch nicht ganz (vielleicht hast du auch eine bessere Quelle).

Auch wenn gilt, dass in diesem Fall w−zκ=0 ist, und damit w=zκ , heisst das nicht, dass w element von C sein muss. Z.B. gilt i² = -1 und auch i²+1 = 0, deshalb ist aber nicht i² Element der Reellen Zahlen (nur weil +1 eine Reelle Zahl ist.)

Beispiel: (r := Reelle Zahl, i := Imaginäre Zahl, k := Körperzahl.)
r² + i² = 0
r³ + i³ + k³ = 0

Für r³ = 0:
k³ = -i³ = i
=> r³ + i³ + k³ = 0

Für i³ = 0:
k³ = -r³
=> r³ + i³ + k³ = 0

Da für k³ andere Gesetze gelten wie für i³ und r³, kann weder i³ noch r³ die Körperzahl k³ ersetzen.

Irgendwas versteh ich das grad nicht. Kannst du das mal mit deinen Worten erklären, Tom?

AW: Allgemeine Lösungsformel eines Polynomes vom Grad n = 5
 

In diesem und in den nächsten Abschnitten

1. Aus dem Fundamentalsatz der Algebra folgt, daß C der einzige endliche Erweiterungskörper von R ist.
2. Die rationalen Funktionen mit reellen Koeffizienten bilden einen unendlich- dimensionalen Erweiterungskörper von R.
Satz 3.4.151 (Einzigkeit von C)
Es sei K ein echter Erweiterungsköper der reellen Zahlen, so daß
dimR K = n ∈ N ist. Dann ist n = 2 und K ist isomorph zu C.

steht etwas verklausuliert, dass keine endlich-dimensionale Körpererweiterung zu C existiert.

Zu R gibt es genau eine endlich-dimensionale Körpererweiterung, nämlich C.

https://de.m.wikipedia.org/wiki/Divisionsalgebra

Jeder Körper über R ist eine Divisionsalgebra (Addition, Multiplikation, Division, Eins-Element). Aber nicht jede Divisionsalgebra ist auch ein Körper (insbs. fehlende Kommutativität). Offenbar gibt es genau vier dieser Divisionsalgebren über R, nämlich R, C, H, O. Da jedoch H und O keine Körper sind, bleiben als solche nur R und C.