Singularität bei r=0 in der Metrik
 

Die Schwarzschild (SS) Lösung hat bei r=0 eine physikalische Singularität. Das bedeutet, dass die Krümmung unendlich wird und ergibt keinen Sinn bzw. ruft nach Erweiterung des Modells.

Eine physikalische Singularität bedeutet, dass sie sich auch nicht durch die Wahl anderer Koordinaten "wegtransformieren" lässt, richtig?

Was gibt es für Ansätze, diese Singularität "loszuwerden"?

Gibt es überhaupt Metriken, die bei r=0 keine Singularität haben? Wenn ja, welche sind das?

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Man muss "nur" auf die Annahme eines Vakuums verzichten.

Siehe innere Schwarzschild-Lösung:
Skript TU-Braunschweig

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Das ist nicht ausreichend, weil man mathematisch beweisen kann, dass die innere Lösung bei zu hoher Dichte instabil ist und eindeutig zu einem Kollaps (Oppenheimer & Snyder) mit Singularität führt.

Außerdem kann man beweisen, dass Singularitäten unter sehr allgemeinen Bedingungen zwingend auftreten müssen (Hawking & Penrose).

D.h. man weiß sicher, dass die Mathematik der ART derartige Singularitäten vorhersagt und dass man sie in Rahmen dieser Mathematik nicht vermeiden oder loswerden kann.

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Culpas Frage ist schon etwas allgemeiner gestellt.

Bevor man auf kosmologische Singularitäten eingeht, kann man zumindest kurz auch die Raumzeiten von Weißen Zwergen und Neutronensternen erwähnen, und die haben erstmal keine physikalische Singularitäten.

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Wow. Das klingt nach einem interessanten Ansatz.

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Kann man die denn berechnen? Hast Du eine Quelle? Oder würde man das ganz allgemein mit der inneren SS Lösung machen?

Also wenn die Masse nicht zu groß ist, dann ist es noch keine Singularität, ja? Aber wenn sie dann größer wird kollabiert es und bei einem SL herrscht dann eine Singularität.

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Geht so. Auf S.163 wirst du auf den Boden der Tatsachen zurückgeholt.

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erster Absatz: Kollaps wegen Eigengravitation, ja?

zweiter: Stimmt, die benutzen nicht mal die Feldgleichungen - nur einfach die energy conditions: https://en.m.wikipedia.org/wiki/Energy_condition
Energie muss positiv sein. Hm. Also folgt aus der Annahme, dass Energie positiv sein muss, die Existenz der Singularität. Sehr interessant.

Dritter Absatz: Wenn man annimmt, dass die Energie positiv sein muss.

Also:
Aus der Annahme positiver Energie folgt zwingend die Existenz von Singularitäten.
Singularitäten weisen auf Grenzen der Modelle, fordern sozusagen Erweiterungen.
Wie wäre es, der Energie zu erlauben, auch negativ zu sein? Könnte das die Singularitäten zum erlöschen bringen?

Zum Beispiel, indem man dem Raum eine negative Energie zuweist und dann postuliert (statt "Energie ist immer positiv"), dass die Summe der Energie immer null sei?

Gibt es so einen Ansatz irgendwo? Könnte man damit was anfangen?

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Die einfachste Lösung dazu kannst du hier: https://de.wikipedia.org/wiki/Schwar...re_L%C3%B6sung nachlesen.

Lies mal den Beitrag von Ich, bzw. die Seite 163 im Skript.

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Meine Antwort ist auch allgemeiner.

Ich rede nicht von kosmologischen Singularitäten sondern von Schwarzen Löchern, die eben aus Weißen Zwergen und Neutronensternen entstehen können.

Und es ist nun mal so, dass wenn du eine innere Lösung ansetzt, die an die Stelle der Singularität tritt, diese innere Lösung nicht stabil ist sondern kollabiert.

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Nicht im Einzelfall.

Aus der Existenz biochemischer Vorgänge folgt nicht zwingend deine Existenz, biochemische Vorgänge sind jedoch notwendige Voraussetzungen für deine Existenz

Das ist physikalisch wenig relevant, da die Energien der Materie (normale Materie wie Gas, Staub, ... Plasma in Sternen ... Neutronensterne) eben positiv ist.

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Wie schon von TomS gesagt, gibt es ein "Singularitäten-Theorem" von Penrose und Hawking.
https://de.wikipedia.org/wiki/Singul...%A4ten-Theorem

Wenn alle "kausalgeodätischen" Weltlinien in einem Raumzeit-Punkt enden, dann ist dieser Punkt eine Singularität.

Diese Singularität folgt somit aus der "Geometrie", nicht aus einer Beschreibung mit Koordinatensystemen.

Ob diese Singularität aber existiert, ist letztlich eine Frage der "Quantengravitation", deren Formulierung wir nicht vollständig kennen.

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Und der Raum?

Wir haben eine positive kosmologische Konstante, also positive Vakuumenergie, ja? Aber gab es nicht mal Überlegungen, ob lambda nicht aich negativ sein könnte?! Dann hätte man eine negative Vakuumenergie, oder?

Also die Vakuumenergie kennen wir ja nicht, die kann ja alles mögliche sein. Negativ, positiv, null. Oder?

Alle "Dinge", Felder, Materie, usw. haben alle eine positive Energie. Aber alle diese Dinge führen auch zu einer Krümmung der Raumzeit. Was ist das überhaupt, energetisch betrachtet, die Krümmung der Raumzeit???

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Das ist die Frage falsch gestellt, denn Energie bewirkt Raumzeit-Krümmung.

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All diese Fragen sind mit etwas Vorsicht zu geniessen.
Nach aktuellem, experimentellem Stand gibt es eine "dunkle Energie", die zu einer beschleunigten Expansion unseres Universum führt (gab auch einen Nobelpreis dazu).
Das kann man im Rahmen der ART mit einer kosmologischen Konstanten modellieren. Aber das heisst keineswegs, dass die Raumzeit global gekrümmt sei, im Gegenteil, alle Messungen sagen, dass die Raumzeit unseres Universums global flach ist. Vakuumenergien waren mal ein Ansatz, um das zu erklären, aber alle Berechnungen sagen, dass Vakuumenergien das nicht erklären können, diese Effekte sind zu gering.

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Die kosmologische Konstante ist zu klein, um für Sterne etc. relevant zu sein.

Penrose Singularity Theorem: Let (M, g) be a connected globally hyperbolic spacetime with a non-compact Cauchy hypersurface S, satisfying the null energy condition: the Ricci tensor satisfies the condition Ric(V, V ) ≥ 0 for any null vector field V. If S contains a trapped surface Σ then (M,g) is singular.

Nun ist aber der Beitrag einer betragsmäßig kleinen kosmologische Konstanten zu gering, um Ric(V, V ) ≥ 0 für einen Stern o.ä. zu ändern. Das mag im Vakuum auf großen Skalen anders sein, aber für gewöhnliche Materie ändert sich dadurch nichts.

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Ok, (M, g) verstehe ich: Metrik und metrischer Tensor.

Was bedeutet global hyperbolic? Nur in die eine Richtung gekrümmt? Oder gibts da noch Anforderungen an die Krümmung?

null vector field sind die Lichtlinien?

Und was heißt R(V, V) größer/gleich 0? Dass die Krümmung nur in die eine Richtung geht? Wieso heißt das denn null energy condition?

Noch was anderes: Die Feldgleichungen lauten ja G=T. Gilt dann G(T1 +T2) = G(T1) +G(T2)?

Tschuldigung für diese vielen Fragen.

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(M, g) steht für Mannigfaltigkeit + metrischer Tensor

Das würde mich im Detail auch interessieren. Bei LCDM haben wir ja eher eine global euklidische Geometrie. (?)

Die Feldgleichungen sind nichtlinear. Man kommt von zwei Lösungen für den metrischen Tensor also per Addition nicht zu einer weiteren Lösung., falls das deine Frage ist.

BTW: Interessant zu lesen: https://de.wikipedia.org/wiki/Eisenstern

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1.ah, ok, danke.
2.ja, nichtlinear, wenn man sie mit R aufschreibt. Also die Rs addieren sich nicht so. Aber kann man die Gs einfach so addieren wie ich das aufgeschrieben habe?

Danke für den Eisenstern-link! Sehr interessant.

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Du kannst die Gs genau wie die Ts natürlich addieren, nur welche physikalische Bedeutung soll das haben? Was bringt das?

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Es bedeutet, dass (M,g) globale raumartige Schnitte und damit 3-dim. Mannigfaltigkeiten N zulässt, so dass die 4-dim. Mannigfaltigkeit M global die Topologie M = N * R aufweist, wobei R für die reelle Zahlengerade steht. Damit kann man sich M als übereinandergestapelte Blätter N vorstellen, R als darauf senkrecht stehende, die Blätter durchstoßende Zeit.

Natürlich gilt dies lokal immer, jedoch nicht zwingend global.

Man kann sich auch vorstellen, dass die gesamte Raumzeit mit einer Testflüssigkeit angefüllt ist, die nicht auf die Krümmung der Raumzeit wirkt. Dann definiert das Ruhesystem jedes Flüssigkeitspartikels einen lokale Zeitrichtung und eine lokale Gleichzeitigkeit exakt so wie in der SRT. Bei einem stetigen Geschwindigkeitsfeld der Flüssigkeit folgt aus der Gesamtheit zu jeder Eigenzeit sowohl die Koordinatenzeit sowie ein Blatt des Stapels, insgs. wieder der gesamte Stapel.

Global hyperbolisch bedeutet dann, dass kein Flüssigkeitspartikel eine geschlossene zeitartige Kurve beschreibt und somit nie in seine eigene Vergangenheit gelangt. Deswegen die Topologie N * R.

Speziell für die Singularitätentheoreme und allgemein für Differentialgleichungssysteme wie die Einstein-Gleichungen u.a. bedeutet dies, dass man auf einem N Anfangsbedingungen festlegen kann, also g auf N vorgibt und damit (M,g) und T aus der Zeitentwicklung eindeutig berechnet werden kann. Die Diffeomorphismeninvarianz stellt außerdem sicher, dass N beliebig gewählt werden kann, d.h. dass die verschiedene (N,g) und (N‘,g‘) zum selben (M,g) existieren dass Zeitentwicklungen sowie verschiedene Schnitte verträglich sind.

Das ist für viele vernünftige Raumzeiten erfüllt - Schwarzschild, Friedmann-Universen und deSitter … nicht jedoch für Raumzeiten wie das Gödel-Universum. Für eine Raumzeit mit rotierender Masse und Kollaps funktioniert es wohl auch nicht, da die Kerr-Metrik geschlossene zeitartige Kurven enthält; d.h. eine global hyperbolische Raumzeit kann nicht zu einem Kerr-SL kollabieren. Dazu gibt es jedoch schon wesentlich einfachere Probleme, so ist m.W.n. zu Kerr keine Innenraumlösung (vor dem Kollaps) bekannt.

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Ok. Interessant. Danke.

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Danke für den sehr informativen Link!

Die Zahl mit 1500 Nullen ist unverstellbar groß, zumal seit dem Urknall eine zweistellige Milliardenzahl (Zahl mit 10 Nullen) an Jahren vergangen ist.

Könnte es sein, dass letzlich die gesamte Materie sich in schwarzen Löchern sammelt, die dann zu einem einzigen schwarzen Loch verschmelzen und mit einem neuerlichen Urknall ein neues Universum erschaffen?

Was passiert mit dem gigantisch großen Raum, denn der Urknall erzeugt sich einen neuen Raum?

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Im Standardmodell verdampft sämtliche Materie irgendwann und kühlt dann immer weiter aus. Auch Schwarze Löcher verdampfen aufgrund der Hawking-Strahlung.

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Die kosmologische Konstante wird als (sehr geringe) Vakuumenergie gedeutet.

Beim Thema Krümmung muss man zwischen der des Raums und der der Raumzeit unterscheiden. Krümmung der Raumzeit setzt Gravitation voraus. Damit ist im FLRW-Universum die Krümmung des Raums nicht festgelegt, sie kann je nach Verhältnis der Energiedichte zur kritischen Dichte positiv, negativ oder Null sein.

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Wenn unser Universum gemeint ist, dann nicht. Denn nach derzeitiger Erkenntnis dehnt es sich beschleunigt aus, d.h. bei hinreichend großem Abstand zwischen Schwarzen Löchern wächst dieser beschleunigt.
Lokal können sehr große SL entstehen.

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Was ist der "Dampf"?

Ist es elekromagntische Strahlung oder sind es Teilchen (Protone,, Elektronenen ...)?

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fast ausschließlich masselose Photonen

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Aber was ist die Raumzeitkrümmung? Wo kommt sie her? Was bedeutet sie?

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Kannst du auf diese Frage noch mal eingehen, TomS?
Warum null energy condition, wo es doch um Krümmung geht?

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Das gewählte Zitat war wohl etwas unglücklich.

Die Idee war, die null energy condition ausschließlich mittels der Geometrie der Raumzeit zu beschreiben. Ausgangspunkt ist aber natürlich der Energie-Impuls-Tensor selbst.

(1) ist die urspüngliche null energy condition; sie muss für alle V erfüllt sein; (2) ist die Bedingung an ein null vector field V; (3) sind die Einstein-Gleichungen; berechnet man nun (1) für Lösungen von (3) und beachtet dabei (2) so folgt (4); und das ist genau die von mir oben zitierte Bedingung.

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Wow vielen Dank, das ist spitze! Das muss ich erst mal verstehen...
Was ist ein null vector field V? Gibts dafür eine Definition?
Dann die kontravariante Ableitung, die kovariante... Hast Du diese Formeln aus einem Skript, die sie auch genauer erklären? Ich versteh leider so vieles nicht...