Math Verhulst 1989
 

Hi
Ich will mal die Zeit nach 1989 zurueckdrehen um zu dokumentieren welche kleine Experimente mich damals bewogen die inverse logistische Abbildung zu verwenden. Kann man die Zeit zurueck drehen ? Dass dies gedanklich moeglich ist zeigt der Thread. Es haengt alleine vom Gedaechtnis ab. Wie sieht es nun aber mit dem Gedaechtnis nichtlinearer Differenzengleichungen aus ? Kann man bei diesen auch einfach die Iterationsrichtung umdrehen und landet dann beim Anfangswert ?
Genau diese Frage habe ich mir 1989 gestellt. Die Chaostheorie war damals gerade sehr populaer und damit auch die logistische Gleichung. Ich war gerade vom Ti99 und C64 auf Atari St 1040 umgestiegen und darauf konnte man schon komplexere Probleme simulieren und graphisch ausgeben.

ANMERKUNG MAPLE
Im Thread widerhole ich die damaligen Simulationen mit Maple. Maple ist ein analytisches Mathematikprogramm, dass stets versucht ganzzahlig und symbolisch ueber Bruchdarstellung zu rechnen. Maple stellt in diesem Modus bezueglich Genauigkeit einen La Placeschen Daemon dar und weist dann auch hoehere Rechenzeiten auf. Um ein Fliesskommaprogramm oder auch den Atari zu simulieren kann man den Befehl evalf() verwenden, der einen Maple Bruch in Fliesskomma umwandelt. Die Genauigkeit kann dann mit Digits=x eingestelt werden.In der Student Version laesst sich z.B. bis 100 Digits rechnen.
Ein Programm mit unbegrenzter Genauigkeit wie MAPLE stand mir 1989 noch nicht zur Verfuegung und ich erwarte damit einige neue Erkenntnisse.
/ANMERKUNG

Insbesonders koennte man die Frage klaeren, ob man die Atome eines Schmetterlings bis zum Urknall zurueckverfolgen kann.

VERSUCH 1
********

Was ist bei einer linearen DZGL zu erwarten, wenn man die Iteration an einer Stelle rueckwaerts laufen laesst ?
Beispielsweise x(k+1)=r*x(k)
Die Vorgehensweise ist simpel. Nach N Zeitschritten fuehre ich einfach die inverse Iteration x(k+1)=x(k)/r aus und betrachte das Ergebnis graphisch :

> s:=1.1; r:=2.0;N:=10;

> for i from 0 to N do
> f[i]:=s;
> s:=evalf(s*r);
> od:

> for i from N to 2*N do
> s:=evalf(s/r);
> f[i]:=s;
> od:

> druck:=seq([i,f[i]],i=0..2*N):
> plot([druck]);

http://home.arcor.de/richardon/2011/v1989_1.gif

Solch ein Bild erhielt ich wohl damals auch auf meinem Atari.
Nichts besonderes. Aber waehlt man mehr Zeitschritte, z.B. N=70 so erkennt man schon eine Problematik. Denn nun betraegt der Wert nach 70 Schritten schon 10^21. Die Kurvenform bleibt scheinbar erhalten, aber man kann in der Darstellung nicht mehr erkennen, ob man den richtigen Anfangswert ueberhaupt noch erreicht :

http://home.arcor.de/richardon/2011/v1989_2.gif

Das laesst sich einfach ueberpruefen, indem man den Endwert betrachtet :
(9 Digits)

s= 1.100000000 fuer N=10
s= 1.100000011 fuer N=100
s= 1.100000100 fuer N=1000
s= 1.100000647 fuer N=5000 ( der Maximalwert betraegt hier 10^1505 )

Rechnet man ohne evalf Funktion mit dem Startwert 11/10 gibt Maple nach beliebiger Anzahl Iterationen den exakten Wert 11/10 aus. Diese lineare Iteration ist somit reversibel. Die Genauigkeit des Gedaechtnisses haengt lediglich von der Rechengenauigkeit ab.

Eine wichtiges Ergebnis waere noch, dass auch bei einer Rechenungenauigkeit sich das Verhalten der Funktion nicht aendert. Bei der speziellen Funktion waechst zwar der Fehler, aber ebenso der Iterationswert.

AW: Math Verhulst 1989
 

Das war ja einfach. Aber jetzt wird es auch fuer mich spannend, denn folgenden Versuch habe ich 1989 lediglich mit Fliesskommazahlen dargestellt. So wie die Mehrzahl der Programmierer auch aus Zeitgruenden nichtlineare Differenzen simulieren. Mit der symbolischen Maple Darstellung lassen sich DZGLs wie erwaehnt auch voellig exakt simulieren.

Mit dem folgenden Versuch laesst sich entscheiden, ob

A) die Rechenungenauigkeit dazu fuehrt, dass man die Verhulst Iteration nicht mehr auf die Anfangswerte zurueckverfolgen kann oder ob

B) dies an einem Informationsmangel bezueglich der Vorzeichen der Wuzel liegt, die in der Umkehrfunktion auftritt. Damit prinzipieller Natur waere.
BTW : Maple wertet die Wurzel zunaechst nicht aus , sondern stellt sie symbolisch dar.

Die Nichtumkehrbarkeit nichtlinearer Systeme steht in einem gewissen Zusammenhang zur Entropie und dem Zeitpfeil, so dass ich sehr gespannt bin was der naechste numerische Versuch bei exakter Simulation zeigen wird.

Versuch 2
********
Der Versuch 2 ist vpm Ablauf identisch mit Versuch 1, also voellig einfach. Es wird nun lediglich die Verhulst Gleichung und deren Umkehrfunktion als DZGL verwendet.

y[k+1]=r*y[k]*(1-y[k]);
y[k+1]=(r +/- Wurzel(r^2-4*r*y[k]) )/(2r);

Darstellung mit a=r und y[k+1]=y[k] auf meiner Webseite
http://home.arcor.de/richardon/richy...ytic/abb18.gif

Ich kann eines vorwegnehmen. In Fliesskommdarstellung kehrt die Iteration nicht zum Anfangswert zurueck. Die Iterierte wird in den meisten Faellen komplexwertig, da im Argument der Wurzel eine negative Zahl auftreten kann.
Genau dies habe ich 1989 am Atari beobachtet.

Nun laesst sich mittels der exakten symbolischen Darstellung ermitteln ob dies mit A) oder B) begruendet werden kann. Liegt lediglich eine Rechenungenauigkeit vor, so muss bei symbolscher Rechnung der Anfangswert wieder erreicht werden.
Wie tippt ihr ? Wird bei exakter Rechnung und stets positivem Vorzeichen der Wurzel der Anfangswert wieder erreicht ?

A) Rechenungenauigkeit
B) Informationsverlust

Gruesse

AW: Math Verhulst 1989
 

Keine Tips ?
Es gibt in Foren unzaehlige philosophische Theorien zur Zeit, dem Zeitpfeil und somit der Entropie und der Irreversibilitaet der Zeit. Nun kann man mit wenigen Programmzeilen pruefen ob die Irreversibilitaet eines diskreten nichtlinearen Vorganges nur in der Rechenungenauigkeit eines Digitalrechners begruendet liegt oder prinzipieller Natur ist. Informationen fuer die Reversibilitaet fehlen.
Also ich finde das spannend :)

Versuch 2
*******
Ich fuehre den Versuch 2 zunaechst mit der exakten symbolischen Berechnungsmethode durch :

> restart;
> s:=1/10; r:=20/10; N:=10; k:=0;

> for i from 0 to N do
> f[i]:=s
> s:=r*s*(1-s);
> od:
>
> for i from N to 2*N do
> s:=1/2/r*(r+(r^2-4*r*s)^(1/2));
> f[i]:=(s);
> od:

N=20, Startwert s= 0.1, r=2
Vorzeichen der Wurzel : Stets positiv

Ergebnis :
http://home.arcor.de/richardon/2011/v1989_3.gif

Es werden lediglich 10 Werte der 20 Werte dargestellt, da ab der 11 ten Iteration die Iterierte komplexwertig wird. Die Funktion kehrt nicht zum Startwert zurueck.


Rechnet man in Fliesskomma, wird die Iteration fuer die gegebenen Parameter nicht komplexwertig, sondern verbleibt (faelschlicherweise) auf dem Wert des Attraktors y[i]=0.5.

http://home.arcor.de/richardon/2011/v1989_4.gif

Warum ist dem so ? Was ist nun richtig ? Der Wert y[10]=0.5 ist trotz 99 Nachkommadigits falsch, denn man kann zeigen, dass sich fuer r=2 die Iteration dem Attraktor 0.5 asympthodisch naehert, diesen somit niemals erreicht.
Betrachtet man die Rueckwaertsiterierte, so sieht man , dass der Wurzelausdruck fuer r=2 und den Attraktor y[k+1]=0.5 gleich Null wird.

http://home.arcor.de/richardon/richy...ytic/abb18.gif

Der Attraktor(der nie erreicht wird) waere erreicht und damit ergibt sich das oben dargestellte falsche Bild. Die Iterierte muss bei der Rueckwaertiteration und positivem Vorzeichen der Wurzel komplexwertig werden.
Denn der Startwert der inversen Iteration ist kleiner als 0.5. Damit wird der Ausdruck unter der Wurzel zunaechst etwas groesser als Null sein. Bei positivem Vorzeichen wird der Wurzelanteil zu 1/2*r/r addiert und damit im naechsten Iterationsschritt das Argument der Wurzel negativ und diese Komplexwertig ! Es ist erstaunlich , dass Maple mit der symbolischen Rechnung diese minimalste Abweichung von 0.5 erfassen kann. Der Aufwand dafuer (den ich anhand eines einzelnen Wertes noch zeigen moechte) ist dementsprechend erheblich.
Es ist nun klargeworden, dass man zumindestens im ersten Iterationsschritt der inversen Iterierten das negative Wurzelvorzeichen verwenden muss. Waehlen wir einfach mal stets das negative Vorzeichen :

Statt
> s:=1/2/r*(r+(r^2-4*r*s)^(1/2));
nun
> s:=1/2/r*(r-(r^2-4*r*s)^(1/2));

Ergebnis :
http://home.arcor.de/richardon/2011/v1989_5.gif
(Anmerkung : Dieses Bild erhaelt man nur ueber symbolische, exakte Berechnung. Wie bereits beschrieben nimmt in Fliesskommadarstellung selbst mit 99 Digits Genauigkeit die Iterierte fuer i=10 den falschen Wert 0.5 an so dass das Wurzelargument gleich 0 wird.
Und 1/2+0=1/2-0=1/2)

Problem geloest ? Kein Informaionsverlust ? Oder ist das Zufall ?
r=2 ist ein ganz spezieller Wert der Verhulst Gleichung, fuer den die Gleichung auch analytisch loesbar ist. Es liegt somit ein Spezialfall vor. Interessant ist natuerlich die Frage welche Vorzeichenmuster die man auch als Bitmuster betrachten kann in den Faellen r<>2 zum Anfangswert zurueckfuehren.

Dass ein Informationsverlust auftritt und man das Vorzeichenmuster nicht aus dem aktuellen Iterationswert konstruieren kann zeigt folgendes einfachstes Beispiel :

Startwert : y[0]=-3
Iteration y[1]=y[0]^2=9
Iteration y[2]=y[1]^2=81

Weder aus dem Wert 81 noch dessen Vorgaenger 9 geht hervor, dass im zweiten Schritt der inversen Iteration das negative Vorzeichen gewaehlt werden muss um den Startwert -3 zu erhalten. Durch die Quadratur geht die Information ueber das Vorzeichen (im Bsp ein Bit) ganz einfach verloren. Das Betrachten der Verhulst Gleichung ist natuerlich dennoch nicht umsonst, denn das interessante ist die Frage, ob man jedem Parameter r ein Vorzeichen / Bitmuster zuordnen kann. So dass man ein Maß in Form eines verlorenen Informationsgehats, eine Entropie bestimmen koennte.
Die inverse Iterierte fuehrt zudem automatisch auf eine Betrachtung in der komplexen Ebene, die letztendlich zu der eigentuemlichen "Ergodizitaet" der inversen Iteration fuehrt.

Informationsverlust => nicht reversibel.

AW: Math Verhulst 1989
 

Kurzer Einschub:
Beispiel fuer den numerischen Aufwand von Maple bei symbolischer Berechnung :
Letzter Wert (Bruch) der Verhulst Iteration :

f[10]=
55626846462680034577255817933310101605480399511558 29576383318542218011087034795489635707897531277548 17846774219648879744139341653688845422772976399189 58938397924022313644919394099360488863179378884575 43745560167145718988715060711492553287862985989305 09316703603351485967231612074241196048700870476910 97905443721849480666353794805608628033499972224654 22125367510784625692325791131774394511234009111585 18367681604826481082442371498668003750933308781180 15856818736459335949440776878007480736970911692326 17067020062643852786924539300568503323881827475006 58906238398866916968628682128597472611409573967598 82496181998719998036127155050996450683250966207137 84689184155127625598795532163940366207246723671726
2023858616659969

geteilt durch

11125369292536006915451163586662020321096079902311 65915276663708443602217406959097927141579506255510 28203366986551790550257621708077673005442800619268 88594105653889967660011652398050737212918180359607 82523471251867104187625403325308329079474360245589 98429581982425031795438505915243739989044387687497 47257902258025254576999282912354093225567689679024 96057990542883025996216676057176195074397849804795 64444580149632075553173315669683173879325651468588 10236628158907428321754360614143188210224234057038 06955738531400844926622055012080723710809283583075 27007714254235837645095158066138944836485368656166 70434944915875339194234630463869889864293298274705 4568454770306823378435119933915764534049230860
546231269836425781250

AW: Math Verhulst 1989
 

Spannend ist das allemal, richy.

Nur kann ich leider nicht erkennen, wie aus deinen Ausführungen herauszulesen ist, ob diese von dir beschriebene Irreversibilität rechnerischer oder prinzipieller Natur ist.

Kannst du das nochmal einleuchtender herausstreichen?

Und spielt das überhaupt eine Rolle? Egal wie es ausgeht. Es ändert doch nichts an der offensichtlichen Tatsache, dass die Zeit stets in "eine" Richtung fliesst.

Gruss und gute Nacht.

Marco Polo

AW: Math Verhulst 1989
 

Hi Marco

Die Irreversibilitaet, der Informationsverlust beim Quadrieren ist prinzipieller Natur. Man verliert natuerlich die Vorzeicheninformation. Auch in der Verhulst Gleichung, obwohl deren Wertebereich stets positiv ist ! Gerade das will ich noch zeigen. Fuer r=2 scheint ja das negative Vorzeichen immer zum Ziel zu fuehren. Das ist aber ein Spezialfall.

Wie man ein Bit Vorzeicheninformation verliert zeigt das einfache Beispiel :

Startwert : y[0]=-3
Iteration y[1]=y[0]^2=9
Iteration y[2]=y[1]^2=81

-3..9..81..81..9..-3

Weder aus dem Wert 81 noch 9 ist ersichtlich, das man im letzten Schritt den Nebenwert (-) der Wurzel nehmen muss. In dem Fall ist es trivial. Dafuer der Informationsverlust gering. Egal wieviele Iterationen ich verwende. Gerad mal ein Bit. Daraus kann man keinen Zeitpfeil basteln. Bei der Verhulst Gleichung oder wenn ich in diesem einfachen Beispiel komplexe Zahlen verwende (also Phaseninformation) ist dies sicherlich anders.

Sie fliesst wohl aus mathematischen Gruenden in eine Richtung ! Weil diskrete nichtlineare Systeme prinzipiell nicht zeitumkehrbar sind. Ich will gerade zeigen, warum die Zeit in eine Richtung fliesst.

Eine ideale starre Kugel ohne innere Struktur (innere Freiheitsgrade) bewegt sich um eine zweite solche Kugel. Der Prozess waere voellig reibungsfrei auch ohne jedliche innere Reibung. Daher linear, daher zeitumkehrbar und daher sogar irreal. Setze zwei solcher Kugeln mit v=0 voellig isoliert ins Universum. Sie bollern gegeneinander und wieder voneinander weg. Gibt es hier eine bevorzugte Richtung. Werden sie anfangen sich umeinander zu drehen ?

Nimmt man drei solcher Kugeln, schon dann ist der Prozess nicht mehr umkehrbar. Ich denke 3 Kugeln wuerden auch anfangen umeinander zu kreisen. Mit Summe Drehimpuls=0. Aber ich nehme sicherheitshalber mal ganz viele solcher Kugeln, dann hat deses System eine innere "Entropie". Es verliert staendig Information bezueglich dem Anfangswert. Aus rein mathematischen Gruenden, der Nichtbijektivitaet. Irgendwie irre.

Soweit in physikalische Spekulationen wollte ich aber gar nicht gehen. Und im Grunde hab ich das Jahr 1989 schon recht weit verlassen, denn damals gab es auf dem ATARI kein Maple. Keine exakte Berechnung. In Mermans Thread hatte ich ja den Zusammenhang zwischen Zeit Zufall und Moeglichkeiten angesprochen. Auf den bin ich damals schon getossen im Verlauf dieser numerischen Versuche. Das wollte mit einem Rueckblick erklaeren. Im naechsten Thread stelle ich dies zunaechst mal kurz dar. Bevor ich den Moeglichkeiten mit Maple weiter nachgehe. Da kann ich dann spaeter nochmals dran anknuepfen.

Gruessle

AW: Math Verhulst 1989
 

Ahhh. Ich verstehe. Ja, das leuchtet ein. Das ist hochinteressant. Wenn es tatsächlich zu einem Informationsverlust käme (die Natur rechnet ja schliesslich im gewissen Sinne auch), dann kann es alleine schon deswegen nur "eine" Richtung der Zeit geben, sollte man meinen.

Aber: Das gilt ja nur, wenn ich in einen bereits vorhandenen Rechenprozess eingreife. Für den Urknall gälte das nicht. Dort startet der Rechenprozess ja erst.

Aber nehmen wir an, dass es auch vor dem Urknall bereits Information gab (das wäre z.B. beim Big Bounce der Fall). Dann spricht alleine schon der Hang zur Entropiezunahme für die von uns beobachtete Richtung des Zeitpfeils. Man bräuchte also gar nicht mit dem Informationsverlust argumentieren, wenn sich die Frage nach der Richtung des Zeitpfeils stellt.

Auf der anderen Seite muss man sich aber auch klarmachen, dass die allermeisten Vorgänge im Universum sozusagen bei "Umgebungstemperatur" ablaufen, also mit einem recht geringen Wirkungsgrad (Carnot-Prozess). Gälte das aber auch für den Urknall? Eher nicht. Ohne entsprechende "Arbeitsfähigkeit" der beim Urknall vorhandenen Energie gäbe es uns schliesslich nicht.

Möglicherweise hängt die Frage nach der Zeitrichtung dann davon ab, welcher Efffekt beim Urknall signifikanter war. War es der mögliche Informationsverlust oder die mögliche Zunahme der Entropie?

Hmm...

Gruss, Marco Polo

AW: Math Verhulst 1989
 

Hallo Marc,

nach meine Informationen definiert die Entropie zwar einen Entropiepfeil, aber nicht automatisch auch dessen Richtung. Brian Greene schreibt dazu auf Seite 191 seines Buches [1] folgendes:

Es müssten also noch zusätzliche physikalische Gegebenheiten herangezogen werden, um die Richtung des Entropiepfeils festzulegen.

Mit freundlichen Grüßen
Eugen Bauhof

[1] Greene, Brian
Der Stoff, aus dem der Kosmos ist.
Raum, Zeit und die Beschaffenheit der Wirklichkeit.
Berlin 2004. ISBN=3-88680-738-X, Erste Auflage.

AW: Math Verhulst 1989
 

Hi Marco

Dass nichtlineare Prozesse oder besser nichtbijetive Abbildungen nicht eindeutig umkehrbar sind ist nicht neu. Und schon in der Chaostherorie wurde hier ein Zusammenhang zum Zeitpfeil gesehen. Ich meine in einer diskretisierten Form ist es recht klar. Die Umkehrfunktion von etwas Quadratischem enthaelt eine Wurzel. "Landet" ein physikalischer Vorgang an irgendeiner Stelle auf einem "falschen" Zweig ergibt sich wie oben beobachtet womoeglich eine komplexwertigen Loesung. Jetzt kann der Vorgang ja nun nicht "meinen" : Ahem meine Herren hier geht es nicht weiter. Ich glaube ich habe mich irgendwo vertan. Koennten wir die Zeit ein bischen zurueckschrauben damit ich dies korrigieren kann ? :-)
Wie dies aber bei einem nichtlinearen nichtumkehrbaren kontinuierlichen Vorgang sein soll kann ich mir ueberhaupt nicht vorstellen. Und das Dumme ist. Man kann solch eine DGL dann nicht analytisch loesen. Also kann ich ihn nur am Rechner simulieren und dazu muss ich die Gleichungen diskretisieren.
Bei der Entropie und Information hab ich das selbe Problem. Die kann ich mir ohne Diskretisierung einfach nicht vorstellen.

Ja das waere der Anfangswert. Und hier meine ich wie EMI das waere ein Zustand geringester Entropie. Oder in meinem Beispiel. Hier liegt die Information vor die bei einer Umkehrung einer Iteration wieder erreicht werden soll.
Ja. So sehe ich das auch. Die Expansion wuerde genuegen. Aber wie sieht die eigentlich in einem diskretisierten Weltall aus ? Wie wuerdest du dir das vorstellen. Nehmen wir an wir haetten momentan beliebig angenommen 10^100 Raumzeitwuerfel. Wieviele waren es dann beim Urknall ? Ebenfalls 10^100 ? Wenn alles im selben Maßstab expandiert, warum sollte sich dann die Entropie aendern ?
Viel besser kann ich mir vorstellen, dass es hier zunaechst einen oder wenige Raumzeitwuerfel gab. Und Expansion bedeutet dass diese sich teilen, so wie in der LQG. Dann wuerden tatsaechlich mehr moegliche Besetzungszustaende entstehen.

Mein Problem ist eher. Wo lander diese ganze Arbeitsfaehigkeit ? Das ist alles nur Scheinleistung die wie eine Feder hin und herschwingt Wirkleistung erhaelts du mit Sicherheit, wenn Reibung, also Verluste im Spiel sind. Wo geht diese Leistung dann hin ? Die landet in diesem Entropie Nirvana. Wie kann man sich das veranschaulichen ? Na gut und wenn die Teilchen Wasserstoff sind, dann fuehrt die Gravitation dazu, dass lokal Materiek****en entstehen. Wasserstoff ballt sich zusammen, eine Sonne, Kernfusion, Energie. Aber ein wirklicher Kreislauf ist das nicht. Zurueck bleibt ein Neutronenstern oder ein schwarzes Loch.
Wenn ich den Energieinhalt des Universus berechne. Was nehme ich da alles hinzu ? Auch Wasserstoffwolken als potentielle Sonnen ?

Formal ist das das selbe. Aber schon klar wie du das meinst. So wie du es oben bereits geschilder hast.
Vielleicht solte ich auch mal schauen wie die Chaosprofis dies aktuell beurteilen. Ach jetzt bin ich schon wieder bei der Physik gelandet. Bevor ich ins Jahr 1989 ohne Maple zurueckkehre, sollte ich vielleicht doch erst meine Hypothese bezueglich der Verhulst Gleichung ueberpruepfen. Fuer komplexe Werte ist es im Grunde klar, dass zu einem Istzustand 2^k komplexe Anfangswerte gehoeren (Siehe Phas-o-mat). Die Verhulst Gleichung ist zunaechst aber noch reell.

Wie kann man meine Idee einfach ueber den Begriff Information beschreiben ?
Nehmen wir die Iteration -3,9,81
Will ich hier von 81 zum Startwert -3 gelangen benoetige ich zusaetzlich die Information ueber das Vorzeichen, die nicht mitgegeben wird. Die kann ich im Beispiel z.B darstellen als
info=(0,1,1)
War der Startwert gleich 3 :
info=(1,1,1)
Um fuer den Spezialfall r=2 der Verhulstgleichung zum Startwert zurueckzukehren benoetige ich die Information
info=(0,0,0,0,0,0,0.....)
Man kann sich ueberlegen (kann ich auch zeigen) War der Startwert groesser 0.5 lautet das Vorzeicheninfo
info=(1,0,0,0,0,0,0.....)

Fuer r=2 kann man im Grunde nicht sagen, dass die Verhulst Gleichung nicht umkehrbar sei. Obwohl sie nichtlinear ist. (Aber sie ist nicht chaotisch). Mir fehlt lediglich das Vorzeichen des Anfangswertes. Allerdings, wenn ich nur mit 100 Dezimalstellen rechne oder nur mit 1000 Dezimalstellen, dann gelingt das Zurueckrechnen nicht. Ich muss wie Maple voellig exakt rechnen.

Wenn ich r nun von r=2 langsam bis r=4 erhoehe erwarte ich Vorzeichenmuster der Form :
info=(1,0,1,0,1,0.....) oder
info=(1,1,1,0,1,0.....)
Ob dem so ist weiss ich noch nicht. (Im Komplexen sicherlich)
Allerdings ist die Bestimmung der Bitmuster mit recht viel Arbeit verbunden. Man wird alle Faelle durchspielen muessen. Auch fuer mehrere Anfangswerte.

Gruesse

AW: Math Verhulst 1989
 

Hi Eugen
Wahrscheinlich. Und die Nichtlinearitaetsaussage alleine ist auch zu schwach.
Muss der nichlineare Prozess chaotisch sein ?
Mich interessiert es einfach wie es sich mit der Umkehrbarkeit und der Vorzeichenwahl bei der Verhulst Gleichung verhaelt. Hat man da aufgrund von numerischen Versuchen mit Fliesskommazahlen vielleicht zu einfach geschlossen:
Na alleine aufgrund der Rundungsfehler ist die Geichung nicht umkehbar.
Klar alleine wegen der Unschaerferelation "rechnet" die Natur nicht exakt.
Aber ich moechte erstmal schauen wie dies im mathematisch exakten numerischen Versuch aussieht. Tja, ich muesste ueberhaupt mehr zu dem Thema lesen.

Gruesse

AW: Math Verhulst 1989
 

Yeah !!!

Ich hab mir einen feinen simplen Programmcode ausgedacht, der genau diesen Info String liefert auf den ich so scharf war. Ich muss ja gar nicht alle Faelle durchspielen, denn ich hab doch alle Werte gespeichert. Also bilde ich einfach Haupt und Nebenwert der Wurzel die ich s0 und s1 nenne und vergleiche welcher Wert der richtig ist (ueber das Betragsquadrat).
Setze dementsprechend ein Flag 0 oder 1 (in einem "Dezimalpseudostring") und benutze natuerlich das richtigen Wurzelvorzeichen fuer den Zeitschritt.

Vorwaertsinteration wie gehabt, dann der einfache Code :

> k:=0;
> inf:=0;
>
> for i from N to 2*N do
> s0:=simplify(1/2/r*(r-(r^2-4*r*s)^(1/2)));
> s1:=simplify(1/2/r*(r+(r^2-4*r*s)^(1/2)));
>
> if (s0-f[N-k])^2 < (s1-f[N-k])^2
> then s:=s0; inf:=inf+0*10^k;
> else s:=s1; inf:=inf+1*10^k;
> fi;
>
> f[i]:=s;
> k:=k+1:
> od:


Der Mapelsche Daemon spielt auch mit und rechnet ohne Ueberlauf exakt.

Und es ist so wie ich es vermutet habe !
Das Vorzeichenmuster ist kein langweiliges

111111111 oder
011111111

wie bei y[k+1]=y[k]^2

sondern tatsaechlich ein Informationsmuster ! Und natuerlich abhaengig von den Anfangswerten. Hey Weihnachten ist doch erst in 70 Tagen :-)

Jetzt lasse ich einfach mal die Anfangswerte 1/10 2/10 ....9/10 in einer Schleife durchlaufen.

Fuer den Spezialfall r=2 erhalte ich wie erwartet noch ein langweiliges Schema :

00000000000
00000000000
00000000000
00000000000
11111111111
10000000000
10000000000
10000000000
10000000000

Fuer den Chaosfall r=3.9 erhalte ich dagegen die Muster :

00101011111
01101110110
01110110110
01011110110
11001010010
11011110110
11110110110
11101110110
10101011111

Will ich zum Beispiel fuer r=3.9, y0=0.3 nach 10 Iterationen wieder zum Anfagnswert y0 zurueckkehren benoetige ich den "Vorzeichencode" info=01110110110

Und damit habe ich numerisch gezeigt :
Die Verhulstgleichung ist abhaengig vom Parameter r nicht nur aufgrund einer Rechenungenauigkeit nichtumkehrbar, sondern prinzipiell aufgrund der Unkenntnis des Wurzelvorzeichens ! Mit zunehmendem Chaos steigt die "Unkenntnis".

Und so sieht eine chaotische Umkehrung aus, wenn man das Vorzeichenmuster kennt :

http://home.arcor.de/richardon/2011/v1989_6.gif

(Funktioniert fuer r<>2 sogar mit Flieskomma. r=2 ist eben ein Spezialfall)
Nach so einer Umkehrung habe ich 1989 vergeblich gesucht und dann etwas ganz anderes ausprobiert, das zu fast noch interessanteren Ergebnissen fuehrt.

AW: Math Verhulst 1989
 

Und da dies auch mit Fliesskomma funktioniert hier mal der Code von
r=3.9, y0=0.9 fuer 500 Iterationen :
EDIT
r=4.0, y0=0.9 fuer 500 Iterationen :


10101110010110000001111001001101010011000010101000 11000101010101111101110011001000110110110111100100 10111110010101111101111000001011110000011111010011 00101000010001001011010011000110100000011000010101 01100100001100111011001011111111111110101111011011 00001011011100101111011000100000001100101110111110 10011101011111101101110011101100100111001001001101 10110100011010001000000010001000110001111000101001 11111000010101000011001101000111111101000001011000 10000100011101111111110011011011000011111111100000


Vorzeichencode des 2 er Zyklus : r=3.4, y0=0.1

11111111101010101010101010101010101010101010101010 10101010101010101010101010101010101010101010101010 10101010101010101010101010101010101010101010101010 10101010101010101010101010101010101010101010101010 10101010101010101010101010101010101010101010101010 10101010101010101010101010101010101010101010101010 10101010101010101010101010101010101010101010101010 10101010101010101010101010101010101010101010101010 10101010101010101010101010101010101010101010101010 10101010101010101010101010101010101010101010101010

Hier fehlen aufgrund der Periodizitaet lediglich 2 bit Information.
(plus der nichtstationaeren Einschwingphase)


Dreierzyklus r=1+wurzel(8) mit chaotischer Intermettenz

10101101111101101011011011011011011010111111111011 11111011111011011011011011111110110101011101011110 11111010101010110110110110110110110110110110110110 11011011011011011011011011011011011011011011011011 01101101101101101101101101101101101101101101101101 10110110110110110110110110110110110110110110110110 11011011011011011011011011011011011011011011011011 01101101101101101101101101101101101101101101101101 10110110110110110110110110110110110110110110110110 11011011011011011011011011011011011011011011011011


http://home.arcor.de/richardon/richy...ytic/abb17.jpg

AW: Math Verhulst 1989
 

Ich würde eher sagen
10101110010110000001111001001101010011000010101000 11000101010101111101110011001000110110110111100100 10111110010101111101111000001011110000011111010011 00101000010001001011100011000110100000011000010101 01100100001100111011001011111111111110101111011011 00001011011100101111011000100000001100101110111110 10011101011111101101110011101100100111001001001101 10110100011010001000000010001000110001111000101001 11111000010101000011001101000111111101000001011000 10000100011101111111110011011011000011111111100001

AW: Math Verhulst 1989
 

Hehehe. Das ist mir auch sofort aufgefallen, dass da was nicht stimmen kann. Gut aufgepasst Hawkwind. :D

Immerhin mal was zum schmunzeln. Danach war mir vorhin nämlich ganz und gar nicht. War vorhin in der Veltins-Arena auf Schalke gegen den 1 FCK. :(

AW: Math Verhulst 1989
 

Meinst du wegen dem letzen Vorzeichen ? 1 statt 0 ? :-)

...11111111100001
...11111111100000

Hast du das numerisch simuliert ?
Das wuerde aber auch nichts aendern. Das Wort ist 500 Zeichen lang und ich kann keine Periodizitaet darin finden. Wenn ich jetzt also irgendeinen Versuch mit einer speziellen Vorzeichenfolge unternehme, so liegt die Wahrscheinlichkeit, dass ich den Anfangswert genau treffe bei 1/2^500.
Wenn man nach "Entropie logistisch Gleichung" googelt findet man auch jede Menge unterschiedlicher Entropiemaße fuer nichtlineare Prozesse.
Z.B
http://de.wikipedia.org/wiki/Blockentropie

Mir ging es lediglich um das Prinzip und eine Erklaerung, warum ich mich damals vergeblich bemueht habe die Iteration invers wieder auf den Ausgangswert zurueckzufuehren. Mit diesem einfachen Programmcode ist mir dies jetzt gelungen. Nun sehe ich :
Haette ich damals 1+Wurzel(5) verwendet haette die Umkehrung sogar geklappt. Da besteht das Vorzeichenmuster naemlich fuer anscheind alle Anfangswerte lediglich aus Einsen, also fuehrt fuer den doppelten goldenen Schnitt in der logistischen Gleichung stets der Hauptwert zum Ziel. Warum weiss ich nicht.

Gruesse

AW: Math Verhulst 1989
 

Ja, ein doch recht unerwarteter Ausgang. Immerhin hat Lüdenscheid-Nord gewonnen, wenn auch mit mehr Glück als Können.

@richy, ich blödel doch nur rum.

Gruß,
Hawkwind

AW: Math Verhulst 1989
 

Ach stimmt ja. Der Verein, der nördlich von Lüdenscheid angesiedelt ist. Die verbotene Stadt halt. Jetzt sind die auch noch Tabellendritter. :(

Und danke dass du den Namen der verbotenen Stadt nicht ausgesprochen hast.

Für uns Insider: Herne-West grüsst Lüdenscheid-Nord. Aber pssst... :D

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@Eugen:

danke für die Info. Das Buch von Brian Green habe ich bereits 2 mal durchgelesen und kenne auch den von dir zitierten Abschnitt.

Wenn wir aber von der klassischen Vorstellung des Urknalls ausgehen, ist hier lediglich die Entropiezunahme in Richtung Zukunft relevant. Ein "davor" gab es ja nicht.

Im übrigen geht es ja hier lediglich um Wahrscheinlichkeiten. Also wie wahrscheinlich ist es, dass sich ein Zustand höherer Entropie einstellt?

Wir wir wissen, ist diese extrem hoch. Das ist für mich ein starkes Indiz dafür, dass der entropische Zeitpfeil in enger Beziehung mit dem tatsächlichen Zeitpfeil steht und keine weiteren Gründe heranzuziehen sind. Die von uns beobachtete Zeitrichtung, war demnach einfach die "wahrscheinlichste".

Gute Nacht,

Marco Polo

AW: Math Verhulst 1989
 

Ist ja super dass ihr aufpasst. Ich benutze keinen printf Befehl sondern lass Maple einfach den Variablenwert mittels Variable; anzeigen. Und Maple und Strings ist net so doll, also hab ich das ueber

if (s0-f[N-k])^2 < (s1-f[N-k])^2 then
s:=s0; inf:=inf+0*10^k;
else
s:=s1; inf:=inf+1*10^k;

mittels der "Hau Ruck Methode" ganz einfach geloest.
Schon moeglich dass hier ein Fehler im Detail steckt. Aber dass ihr den beide seht und ich nicht.
Lasst mich nicht dumm sterben :-)

0*10^k kann man natuerlich weglassen, aber ich mags gerne symetrisch.

Warum sollte die letzte Ziffer keine Null sein ?
Das ist das Vorzeichen von Wurzel(r^2-4*r*s)
Ich bilde aber (1/2/r*(r+/-Wurzel(r^2-4*r*s)))

Komm nicht drauf was falsch sein soll.

AW: Math Verhulst 1989
 

Hi richy,

das Universum stirbt unweigerlich den Wärmetod. Temperaturen gleichen sich mit der Zeit immer mehr an. Wenn also kein Wärmeaustausch mehr stattfinden kann, dann wars das mit der "Arbeitsfähigkeit".

Energie alleine ist ja schliesslich kein Garant für "Arbeitsfähigkeit". Dazu ist im Sinne der Thermodynamik immer ein Temperaturgefälle notwendig.

Grüsse, Marco Polo

AW: Math Verhulst 1989
 

Na, das waere eine Erklaerung :) Ich hab den Ausdruck nochmals in Maple geprueft und siehe da, ich habe tatsaechich eine falsche Angabe gemacht. Der Anfangswert y0=0.9 war richtig. Aber statt r=4, habe ich r=3.9 angegeben. Man gestatte mir dies zu korrigieren. :D
Es soll ja keine Diplomarbeit werden.

Und r=3.9 verhaelt sich zudem fast genauso chaotisch wie r=4.0. Wirklich ?
Ich hab noch eine kleine Beobachtung gemacht. Fuer y0=0.5 schwingt die Iteration scheinbar am schnellsten ein und zeigt am besten der Charakter des Parameters r. Also 01010101 oder 110110110 oder so was.

Tja und fuer y0=0.5 und r=4 erhaelt man das Muster :

11000000000000000000000000000000000000000000000000 00000000000000000000000000000000000000000000000000 00000000000000000000000000000000000000000000000000 00000000000000000000000000000000000000000000000000 00000000000000000000000000000000000000000000000000 00000000000000000000000000000000000000000000000000 00000000000000000000000000000000000000000000000000 00000000000000000000000000000000000000000000000000 00000000000000000000000000000000000000000000000000 00000000000000000000000000000000000000000000000000 0

Ja Potzblitz. Da herrscht doch angeblich das volle Chaos. Noe, ueberhaupt nicht.
Fuer r=4 herrscht in der logistischen Abbildung vollkommene Ordnung ueber alle Anfangswerte.
Fuer r=4 ist die Verhulst Gleichung analytisch loesbar !
Das ist lediglich noch nicht allgemein bekannt.
Keine maximale Entropie !
Sprunghaft minimale Entropie !
Die Iterationswerte werden lediglich unvorteilhaft abgetastet.
Prof Schroeder, Prof Wolfram und richy lassen Gruessen he he
http://home.arcor.de/richardon/richy...010/lsgana.htm

Gruesse

AW: Math Verhulst 1989
 

:D :D :D Man geht doch nicht auf Schalke um sich Fußball anzusehen. Man geht vielmehr auf Schalke, um mit Tausenden zu weinen.

AW: Math Verhulst 1989
 

Hoi Marco
Ist das nicht eine aeltere etwas zu vereinfachte Annahme ? Ok wenn es beschleunigt expandiert, so dass sich keine lokale Materieanhaeufungen mehr bilden koennen, wuerde dem so sein. Irgendo hab ich diesbezueglich eine sehr schoene Aussage eines Physikers gelesen (wohl KI) Das Universum vergisst sich dann selbst.

Na je kaelter um so besser oder ? Und was ist mit den Materiestrukturen ? Diese Materiezentren werden weiter Wasserstoff gravitativ anziehen. Neue Sonnen werden entstehen. Neue Energiequellen. Die Simulationen des Universums sehen ja nicht gerade wie eine lauwarme Suppe aus.

Gruesse

AW: Math Verhulst 1989
 

Bist du etwa auch einer von diesen Nord-Lüdenscheidern? :D

Bitte korrigiere mich: Aber du kommst doch meines Wissens eigentlich eher aus der Region Herne-West, oder? Und dann so ein Kommentar. Asche über dein Haupt. :D

AW: Math Verhulst 1989
 

Wer hat lokal eine geringere Entropie ?
Nord-Lüdenscheid
oder
Herne West ?
Fuer mich sind beides Fremdwoerter.
:D

AW: Math Verhulst 1989
 

Älter schon, aber nicht vereinfacht.


Mit beschleunigt hat das nix zu tun. Jedes Universum was ewig expandiert und nicht umdreht endet mit dem Wärmetot.


Die lösen sich Alle mit der Zeit auf, bis nur noch langwellige Photonen übrig sind.


Klar zur Zeit, das Universum ist ja grad geboren, im Vergleich zum Menschen Bruchteile ner Sekunde alt.

Gruesse[/quote]

AW: Math Verhulst 1989
 

Eben.

Ich habe ja mit dem Wärmetod nicht den Jetzt-Zustand beschrieben sondern einen in fernster Zukunft. Und da ist lauwarme Suppe noch untertrieben.

Je kälter umso besser gilt aber nur lokal und nicht global.

Grüsse, MP

AW: Math Verhulst 1989
 

Ike bin Berliner, von Herta kann man siegen lernen!
Zur Zeit lebend in der Region Münster-Süd, wo die Mädels Berliner besonders mögen.

AW: Math Verhulst 1989
 

Ach ja? Und wie hat die Hertha heute bei den Bayern gespielt? Na? :D

Du hattest imho mal geschrieben, dass du in Gelsenkirchen oder Umgebung wohnst. Habe ich das falsch in Erinnerung?

Deswegen hatte ich damals mal angeboten vor einem Heimspiel auf Bratwurst und Bier bei dir vorbeizuschauen. :rolleyes:

AW: Math Verhulst 1989
 

Hmm, ist das dann ein Looser Universum ? Koennen wir die Zeit umdrehen ? Dennoch sind wir keine Looser.
Und was passiert mit den schwarzen Loechern die es hinterlassen hat ?
Ich gehe mal davon aus, dass ich diesen Universums Waermetod nicht persoenlich miterleben werde :-)
Besteht nur der Bruchteil einer Chance, dass die Menschheit dies miterleben wird ? Nein.
Warum machen wir uns dann Gedanken darueber ?
Ok der Mensch ist neugierig.
Irgendwie schade.
Das kann man sich kaum vorstellen. Kleine Kinder sind voller Lebenskraft, Optimismus und haben noch alle Moeglichkeiten offen. Somit hat das Universum seine beste Zeit sicherlich noch vor sich :-)
Es ist aber jetzt schon schoen, gross, grandios und unbegreiflich. Alleine wenn man durch ein Fernrohr guckt sieht man das.

Viele Gruesse

AW: Math Verhulst 1989
 

Sagen wir mal so: Wenn es beschleunigt expandiert endet es aber schneller mit dem Wärmetod, als wenn es unbeschleunigt expandiert.

AW: Math Verhulst 1989
 

Wenn es wirklich welche gibt zerstrahlen die auch nach HAWKIG.
Auch deren langwellige Photonen werden dann immer nur länger und länger.
Die gesamte Materie im All besteht dann nur noch aus diesen Photonen in Summe zwar die gleiche Energie wie zu Beginn beim Urknall aber das ist dann genau so sinnlos wie heutzutage auf Schalke zu gehen.

AW: Math Verhulst 1989
 

Schon richtig Marco, Gelsenkirchen liegt doch in der südlichen Münster-Süd Region.

AW: Math Verhulst 1989
 

Richtig Marco,

nur macht das dann den Kohl auch nicht mehr fett.

Gruß EMI

AW: Math Verhulst 1989
 

Loooooooooool :)

AW: Math Verhulst 1989
 

Ihr Satansbrut wagt es tatsächlich euch gegenüber Herne-West despektierlich zu äussern? In den Staub ihr Würmer. :D

Liegt da nicht eher München? ;)

AW: Math Verhulst 1989
 

Sorry, na klar doch, auch München. Zwar bedeutunglos aber gehört auch dazu.

AW: Math Verhulst 1989
 

Kurze Zusammenfasung :
Das numerische Experiment hat gezeigt, dass die Nichtumkehrbarkeit von nichtlinearen Differenzengleichungen mit nichtbijektiver Abbildungsfunktion im chaotischen Fall von prinzipieller Natur ist. Ursache ist die Mehrdeutigkeit. Im Beispiel der logistischen Gleichung die Mehrdeutigkeit der Wurzelfunktion. Fuer den chaoischen Fall (Ljapunovexponent>0) ist das Vorzeichen der Wurzel in der Umkehrfunktion der logisischen Gleichung chaotisch und kann nicht auf den urspruenglichen Startwert zurueckverfolgt werden. Es existieren im Zeitschritt K dann 2^K Moeglichkeiten fuer das Vorzeichen.

Eine interessante Frage waere diesbezueglich wie dies zu interpretieren ist, wenn man die Verhust Gleichung als diskretisierte Differentialgleichung betrachtet. Indem man als Grenzwert die Laenge des Zeitschritts gegen Null streben laesst. Damit strebt K->00 und es existieren unendlich viele Moeglichkeiten, so dass jeder Funktionswert im Grunde akausal ist. Wie kann man sich dies erklaeren ? Die Loesung einer solchen DGL koennte z.B. unendlich mehrdeutig sein. Nun ist die Loesung der logistischen Gleichung fuer den Parameter r=4 gegeben und dies scheint tatsaechlich ein Erklaerungsansatz.

http://home.arcor.de/richardon/2010/verhulstlsg.gif
fe:=1/2*(1-exp(2^n*log(1-2*x)));
fc:=1/2*(1-cos(2^n*arccos(1-2*x)));

Wobei man die Loesungen auch ueber die veketteten Polynome darstellen kann.
Die Loesung fuer r=4 enthaelt die cos Funktion, so dass deren Umkehrfunktion unendlich mehrdeutig wird. Dies ist selbst dann gegeben wenn man sich stets auf das Intervall (0..1) beschraenkt. An den veketteten Polynomen sieht man, dass deren "Frequenz" zu den Intervallraendern abhaengig von n stetig steigt. Hier dargestellt fuer n=3,n=5

http://home.arcor.de/richardon/2011/vpolyr43.gif
http://home.arcor.de/richardon/2011/vpolyr4.gif

(Maple code)
>f[0]:=x;
>for i from 0 to 5 do;
>f[i+1]:=4*f[i]*(1-f[i]);
od;

Dies nur als kurze Zusammenfassung der Vorbetrachtung. Im naechsten Posting moechte ich die wenigen einfachen Schritte vorstellen, die mir schon 1989 zeigten, dass zwischen der Darstellung aller (Vorzeichen) Moeglichkeiten und dem Zufall ein Zusammenhang besteht, den ich schliesslich im Forum hier mittels dem Phasomaten nochmals vereinfacht in Form von Anwendungsmoeglichkeiten dargestellt habe.

AW: Math Verhulst 1989
 

Komplexwertiger Entscheidungsbaum und Zufall
**********************************
Zurueck an den Atari 1040 ST ins Jahr 1989. 0hne Kenntnis des Vorzeichenverlaufs der Wurzel gelang mir die inverse Iteration zurueck zum Annfagswert natuerlich nicht.
http://home.arcor.de/richardon/richy...tic/algo20.gif
Dass die Iterierte in fast allen Faellen komplexwertig wird war mir schnell klar und so war es naheliegend die Iteration rein interessehalber einfach mal im Komplexwertigen zu betrachten. Realteil und Imaginaerteil der Wurzel berechnen sich dort wie folgt (Bronstein S. 515) :

sqrt(x+iy)=u+iv
u = +-sqrt( (x+sqrt(x*x+y*y))/2)
v = +-sqrt( (-x+sqrt(x*x+y*y))/2)
http://home.arcor.de/richardon/richy...ic/nsalgo2.htm

Maple rechnet stets komplex, so dass die Programmierung hier besonders einfach ist :
Im Beispiel wird der doppelte goldene Schnitt fuer r verwendet und stets das positive Vorzeichen der Wurzel.

> s:=0.9; r:=1+sqrt(5);
> N:=10000;
> for i from 0 to N do
> s0:=evalf(1/2/r*(r-(r^2-4*r*s)^(1/2)));
> s1:=evalf(1/2/r*(r+(r^2-4*r*s)^(1/2)));
> s:=s0; # Stets positives Vorzeichen der Wurzel
> f[i]:=s;
> od:
> druck:=seq(f[i],i=0..N):
> complexplot([druck],0..1,-0.25..0.25,style=point,color=black);

Verwendet man stets das positive Vorzeichen erhaelt man folgendes Ergebnis:

http://home.arcor.de/richardon/2011/complex1.gif

Naja, ein bischen mehr hatte ich schon erwartet. Dass das stets positive Vorzeichen willkuerlich ist war mir klar und so war der naechste Schritt ein alternierendes Vorzeichen +-+-+-+ :
> if i mod 2 =1 then s:=s0 else s:=s1; fi;

Ergebnis :
http://home.arcor.de/richardon/2011/complex2.gif

4 er Zyklus +++-+++-+++-
> if i mod 4 =1 then s:=s0 else s:=s1; fi;

http://home.arcor.de/richardon/2011/complex3.gif

Eine gewisse Haeufungsstruktur ist erkenntlich, insbesonders wenn man die Bilder ueberlagert.Diese Ueberlagerungsstruktur interessierte mich natuerlich. Man muesste dazu die Iterationen aller moeglichen Vorzeichenmuster berechnen und darstellen. Alle 2^N Bilder ueberlagern. Dazu ist es erforderlich alle Pfade eines Binaerbaumes im Programm durchzugehen. Ein etwas groesserer Programmieraufwand.
http://home.arcor.de/richardon/richy...ic/nsalgo1.htm
Ich wollte das am naechsten Tag erledigen, da es schon spaet in der Nacht war. Naja, ein Versuch fiel mir noch ein, den man in wenigen Minuten implementieren kann.
Was passiert wenn ich das Vorzeichen zufaellig waehle ?
Dann erhaelt man fuer r=1+Wurzel(5) dieses Bild :

http://home.arcor.de/richardon/2011/complex4.gif

AW: Math Verhulst 1989
 

Ich war natuerlich voellig platt :)
Wie kann denn eine zufaellige Wahl des Vorzeichens dieses komplette Bild hervorzaubern ?
(Es ist qualitativ das selbe Bild wie wenn man alle Vorzeichenfaelle ueberlagert)
Tja, so ganz genau weiss ich das bis heute nicht.
Und nebenbei : Man sieht das Muster der Mandelbrotmenge, wobei die Punktmenge selbst eine Juliamenge darstellt. Um 1989 eine Julia oder Mandelbrotmenge zu berechnen benoetige man am Atari mindestens 15 Minuten. Und ich erhielt diese Juliamenge in ein paar Sekunden.
Denn mit jedem Iterationsschritt erzeuge ich einen neuen Punkt der Juliamenge. Dank dem Zufall :-)

AW: Math Verhulst 1989
 

Wozu existiert somit ein (determinierter oder objektiver) Zufall ?
Er ermoeglicht es alle Zustaende eines Binaerbaumes zu durchlaufen. Warum weiss ich allerdings immer noch nicht :-) Ohne Zufall wuerde die Evolution in Periodizitaeten stagnieren.

Im Thread hier hatte ich numerisch gezeigt, dass bei einer nichtlinearen Iteration mit jedem Rechenschritt Information ueber die Anfangswerte verloren geht, wenn das Vorzeichen der inversen Iteration nicht periodisch ist. D.h. wenn es zuaellig ist.
Ich fasse einen Gedankengang dazu (der vielleicht etwas unverstaendlich anmutet) aus einem anderen Thread nochmals zusammen :

Das ist die Form der bekannten Verhulstloesungen. Jedoch mit deren Umkehrfunktionen.
Ich stelle das Thema erstmals zurueck.

AW: Math Verhulst 1989
 

Nochmals zur Funktion ;
f:=1/2*(1-cos(2^t*arccos(1-2*x0)));

Das ist die geschlossene Loesung der Iteration
y(k+1)=4*y(k)*(1-y(k))
Und die Iterationsfolge erscheint uns voellig zufaellig, chaotisch. Es ist allgemein nicht bekannt dass ueberhaupt eine Loesung existiert. Und dass die Folge chaotisch sei, wird man darin bestaetigt sehen, dass der Ljapunovexponent hier groesser Null ist. Sogar maximal fuer die Parameter 1..4.
Was hier wirklich ablaeuft sieht man jedoch in dieser Grafik .

http://home.arcor.de/richardon/2012/v4.gif

Das Chaos basiert auf einer Kosinusschwingung, deren Frequenz ueber den Term 2^t stetig anwaechst. Nach wenigen Iterationsschritten auf riesige Werte. Die Schwingung wird aequidistant abgetastet und darauf basieren die zufaelligen Werte.
Der Ljapunovexponent kann dies nicht wiedergeben. Rein formal habe ich diesen durch eine Modifikation ersetzt in der statt dem ln der arccos bzw arcsin verwendet wird. Diese Vorgehensweise muesste man sich aber nochmals genauer ueberlegen.

http://home.arcor.de/richardon/2012/v5.gif

Interessant ist der geringe Wert bei 3.8. Das duerfte das Fenster der Ordnung sein also r=1+Wurzel(8)

AW: Math Verhulst 1989
 

Auch ohne physikalische Aspekte waere es interessant wie denn die zugehoereige DZGL aussieht, wenn man 2^t durch andere Funktionen ersetzt. Zum Beispiel auch durch die sin oder cos Funktion. Eine quadratische Nichtlinearitaet wird sich dann wohl nicht mehr ergeben, da der Term 2^t gerade die Verkettung binaerer Entscheidungen Vorzeichen der Wurzel darstellt.

Ich habe noch kene Ahnung wie das Ergebnis aussehen koennte und lege einfach mal los :

Zur Uebung waehle ich nochmals den einfacheren Fall r=2

y(k+1) = y(k)^2
ln(y(k+1))=2*ln(y(k))

Substitution
f(k)=ln(y(k))

f(k+1)=2*f(k)
Ich loese die Gleichung mittels Z-Transformation, da ich allgemeinere Funktionen verwenden moechte :
Wobei man im folgenden Fall auch einfacher zum Ziel kommen koennte.


http://de.wikipedia.org/wiki/Z-Transformation

http://upload.wikimedia.org/wikipedi...04759e8452.png
************************************************** *****


f(k+1)=2*f(k)
o-o
z*F(z)-z*F(0)=2*F(z)
F(z)*(z-2)=z*F(0)
F(z)=z/(z-2)*F(0)
Aus der WIKI Korrespondenztabelle folgt
o-o
f(k)=2^k*f(0)

Substitution rueckwaerts
f(k)=ln(y(k))
ln(y(k))=2^k*ln(y(0))

Der inverse Vorgang fuer eine Funktion
G(y(k))=H(k)*G(y(0))
besteht somit zunaechst darin G(y(k)) wieder zu f(k) zu substituieren.
Dann laesst sich die Z Transformation fuer allgemeinere H(k) anwenden.

Ich waehle fuer H(k) zunaechst einen besonders einfachen Fall :
H(k)=k. Die Korrespondenz im Z Bereich lautet z/(z-1)^2

Ausgangspunkt :
f(k)=k*f(0)
********
o-o
F(z)=F(0)*z/(z-1)^2
Den Nenner teilt man am zweckmaessigsten auf :
F(z)*(z-1)=F(0)*z/(z-1)
F(z)*z-F(z)=F(0)*z/(z-1) erweitere
F(z)*z-F(0)*z-F(z)=F(0)*z/(z-1)-F(0)*z
F(z)*z-F(0)*z-F(z)=F(0)*(z/(z-1)-1)
F(z)*z-F(0)*z-F(z)=F(0)*(z/(z-1)-(z-1)/(z-1)
F(z)*z-F(0)*z-F(z)=F(0)*(1/(z-1))
Die Korrespondenz fuer 1/(z-1) ist gleich eins
o-o
f(k+1)=f(k)+f(0)
************

Das Ergebnis haette man natuerlich auch einfacher haben koennen mittels :
f(k)=k*f(0)
f(k+1)=(k+1)*f(0)=f(k)+f(0), f(k)=0 fuer k<0
Leider geht hier der Anfangswert direkt mit ein. (Das war abzusehen)
Ob die Z Transformation eine Hilfe darstellt bleibt ebenfalls noch offen.

AW: Math Verhulst 1989
 

Weiterer Versuch.
Statt 2^n verwende ich exp(a*n). Fuer ein imaginaeres a erhaelt man dann eine komplexe Schwingung.

f(n)=exp(a*n)*f(0)
Auch ohne Z Transformation folgt :
f(n+1)=exp(a*n+a)*f(0)

f(n+1)=exp(a)*f(n)
***************
der Fall a=ln(2) entspricht der einfachen Verhulst Gleichung r=2
Wir waehlen deren Substitution :
f(n)=ln(y(n))
ln(y(n+1))=exp(a)*ln(y(n))
ln(y(n+1))=exp(a)*ln(y(n))
y(n+1)=y(n)^exp(a)
(Das sieht schonmal interessanter aus :-)

Laesst sich dieser Speziallfall verallgemeinern ?
Die zentrierte VDZGL lautet :

x(k+1)=1/2*r*(x(k)-1)*(x(k)+1))+1
somit
x(k+1)=1/2*r*(x(k)^2-1)+1
Dass sich sich -1+1 fuer r=2 aufhebt gilt fuer alle Exponenten also auch fuer :

y(k+1)=r/2*(y(k)^exp(a)-1)+1
************************
Vollstaendigkeitshalber noch die dezentrierte Form :
y(k)=(1-2*x(k))

x(k+1)=r/4*( 1-(1-2*x(k))^exp(a) )
***************************

Ich habe damit schon einige Versuche durchgefuehrt. Die Ergebnisse sind interessant :-)

Folgende Bemerkung im Thread hatte ich wieder vergessen :
Das gibt es doch eigentlich gar nicht. Dem muss ich nochmals nachgehen.

AW: Math Verhulst 1989
 

Ich schalte nochmals einige Gaenge zurueck. Was beschaeftigt mich gerade ?
Ich moechte den Unterschied zwischen Differenzen und Differenzialgleichungen etwas genauer untersuchen. Insbesonders hinsichtlich der Mehrdeutigkeit. Ein Beispiel war hier die Umkehriteration zu y(n+1)=y(n)^2 die ich im Phasomaten angewendet habe. z(k+1)=+-Wurzel(z(k)). In jedem Iterationsschritt ergibt sich ein neuer Loesungszweig so dass deren Anzahl mit 2^n waechst :

http://home.arcor.de/richardon/2010/mathe/wurzel.gif

Meine Frage lautet nun wie die Loesung im kontinuierlichen Fall aussehen koennte. Das ist schon etwas komplizierter, da bei einer s-ten Wurzel die Anzahl der Loesungen vom Charakter der Zahl s abhaengt. Ist diese irrational so ergeben sich z.B. unendlich viele Loesungen. Ist die Zahl rational so folgt die Anzahl aus der Bruchdarstellung. Dies ergibt sich aus dem Fundamentalsatz der Algebra und zeigt sich in der Mehrdeutigkeit des komplexen Logarithmus der sich wie folgt berechnet :

http://upload.wikimedia.org/math/5/4...986c51dc0a.png

Die kleine Umformung fuer den diskreten Fall habe ich auf dieser Seite dokumentiert :
http://home.arcor.de/richardon/richy...omat/phaso.htm
Im kontinuierlichen Fall laesst sich genauso vorgehen und man erhaelt zunaechst die analytische Loesung

ln(z(n))=2^(-n)*ln(z(0))

aufgeloest :

z(n)=exp(ln(abs(z0))/2^n+I*argument(z0)/2^n+I*2*floor(k)*Pi/2^n);
************************************************** **1
n ist hier nicht auf ganze Zahlen beschreaenkt. Das ist der Trick.
Ich kenne die (komlexwertigen) Loesungen nun nicht nur fuer ganze Zahlen !
k stellt dabei die Mehrdeutigkeit dar.
Das Argument ist somit ein Maß fuer die Mehrdeutigkeit und diese habe ich mittels einem kleinen Programm dargestellt. Um auch grosse Mehrdeutigkeiten darzustellen umlaufe ich den Einheitskreis fuer jede Zahl in 100 Versuchen. (k=0..100) Mein Rechner ist etwas aelter und daher stelle ich teilweise nur den Bereich 0..PI dar. Fuer ganze Zahlen ist dieser symetrisch zu 0..-Pi. Die Darstellung ist dann wie im folgenden Bild zu deuten.

http://home.arcor.de/richardon/2012/deut1.gif

Die 2-te Wurzel weist 2 Losungszweige auf
Die 4-te Wurzel weist 4 Losungszweige auf
Die 8-te Wurzel weist 8 Losungszweige auf
Wie die Grafik zeigt weist eine 1.5 te Wurzel natuerlich keine 1.5 Loesungszweige auf.

Bei Darstellungen des Arguments von -Pi ...Pi ist zu beachten dass die Argumente Pi und -Pi ein identisches Argument darstellen ( Das negative Vorzeichen)

Im folgenden der Programmcode :

Die komplexe Rechnung dient dabei lediglich der bequemeren Darstellung.
Der untere Darstellungswert von -3.15 bedingt die Darstellung von -Pi (doppeldeutig). Ein Wert von -3.14 waere im Grunde vorteilhafter um dies zu vermeiden.

Mit dem Programm laesst sich nun die Mehrdeutigkeit im reellen Zahlenbereich darstellen. Eine genaue Interpretation ist mir dabei nicht moeglich, denn es gibt kein uebergeordnetes Gesetz vor allem wie die irrationalen Zahlen genau verteilt sind. Es zeigen sich interessante Strukturen, die dies widerspiegeln:

http://home.arcor.de/richardon/2012/deut2.gif

Auffaellig sind in der Grafik :

- "Verschmierte" Haeufungspunkte
- Strukturen ueber den laufenden Parameter n

Die Sonderstellung der natuerlichen Zahlen geht in der Grafik verloren.
EDIT : Aufgrund der logarithmischen Darstellung

Hier nochmals eine hoehere Aufloesung des Bereichs 2 hoch 2 bis 2 hoch 3

http://home.arcor.de/richardon/2012/deut3.gif

EDIT :
Die Darstellung der horizontalen Achse ist logarithmisch.
Die weissen vertikalen Streifen repraesentieren die ganzen Zahlen.

Anregungen wie ich das Wort "Darstellung" umschreiben kann sind willkommen :-)

AW: Math Verhulst 1989
 

Letzendlich moechte ich den Uebergang von den natuerlichen Zahlen zu den nichtnatuerlichen Zahlen untersuchen und habe daher nochmals weitere Bereiche dargestellt um zu beurteilen welcher am geeignesten sein koennte :

n=3..4

http://home.arcor.de/richardon/2012/deut5.gif

n=5..6

http://home.arcor.de/richardon/2012/deut4.gif

AW: Math Verhulst 1989
 

Die folgenden Grafiken zeigen Faelle wie man sich diesen Uebergang in etwa vorzustellen hat. Dabei habe ich nun die Darstellung von -Pi..Pi statt 0..Pi im Argument gewaehlt.

http://home.arcor.de/richardon/2012/abloes1.gif

Hier der Uebergang zur Zahl vier, zur 16 ten Wurzel :

http://home.arcor.de/richardon/2012/abloes2.gif

Warum die Zahl 3.9xx scheinbar Eigenschaften einer ganzen Zahl aufweist klaert sich wie folgt :

EDIT :
Wenn man die Zweige bei 3.9x nachzaehlt so sind es 15 Stueck.
Das sind die 15 Zweige der 15 ten Wurzel !
Der Wert ergibt sich aus 2**x=15 und betraegt 3.906890595
Dies zeigt sich auch bei feinerer Aufloseung. Es ist der Wert ln(15)/ln(2)
Ebenso zeigt sich bei ln(14)/ln(2)=3.807354922 ein vergleichbares Verhalten fuer die 14 te Wurzel.

EDIT
Das Beispiel zeigt :
Wenn man das Darstellungsprinzip zur Beurteilung von Zahlencharakteristiken (ganz,rational,irrational ...) verwenden will, so ist zu beachten, dass nicht der Wert n die zu beurteilende Zahl darstellt, sondern es wird 2**n beurteilt.
2**( ln(15)/ln(2) ) = 15

AW: Math Verhulst 1989
 

Lineare Darstellung
*****************

Fuer eine lineare Darstellung muss der Programmcode nur leicht geaendert werden :

Nun sieht man sehr schoen dass die charakteristischen weissen vertikalen Streifen als jene der natuerlichen Zahlen zu interpretieren sind :

http://home.arcor.de/richardon/2012/ablinear.gif

Hier nochmals die zwei Uebergaenge in linearer Darstellung

http://home.arcor.de/richardon/2012/abloes2b.gif

http://home.arcor.de/richardon/2012/abloes1b.gif

Sehr deutlich zeigt sich hier nochmals ein Streifen bei 15.5. Es handelt sich um 31 Zweige und damit um den einfachen Sachverhalt 15.5=31/2. Im weiteren moechte ich Ergebnisse darstellen hinsichtlich der Funktion des Algos als Detektor irrationaler Zahlen. Wobei sich im Grunde schon vermuten laesst, dass die charakteristischen Boegen das Kennzeichen irrationaler Zahlen darstellen koennten. Denn diese sind wie die folgende Abbildung zeigt nicht symmetrisch.

http://home.arcor.de/richardon/2012/abloes3.gif

AW: Math Verhulst 1989
 

Zwischenbemerkung.

Meine letzten Beitraege lassen sich auf folgende Frage reduzieren.

Gegeben sei folgende Gleichung :
z hoch s = 1, z element C (komplexwertig)

Aufgabenstellung :

Wieviele Loesungen ergeben sich fuer z nach dem Hauptsatz der Algebra wenn :
- s element natuerliche Zahlen
- s element rationale Zahlen p/q
- s element irrationale Zahlen

Im Folgenden werde ich noch haeufiger den Bergriff des Grades der Irrationalitaet einer Zahl verwenden. Im Forum wurde dies in der Vegangenheit schon einmal als esoterische oder selbstgebastelte Angabe bemaengelt. Natuerlich voellig zu unrecht. Der Begriff basiert auf dem Fehler der Bruchapproximation einer irrationalen Zahl und dem Satz von Liouville :
(1)
http://www.quanten.de/forum/showthread.php5?t=1404

Eventuell lassen sich mit der neuen Methode, die auf dem Hauptsatz der Algebra basiert, sogar einige Fragen aus dem damaligen Thread (1) beantworten. Ist Wurzel(13) irrationaler als Wurzel(2) ? (Ungenauer ueber einen Bruch approximierbar )

Ich kann eines bereits vorausschicken. Die Zahl Pi wird einige Ueberraschungen bieten und sowohl meine Aussagen des damaligen Threads (1) als auch die Funktionsweise der neuen Methode bestaetigen. Und natuerlich hoffe ich, dass man mir folgen kann. Wenigstens Bauhof zum Beispiel, dessen mathematisches Wissen ich schon immer sehr geschaetzt habe. Mal abgesehen von der nichtlinearen Systemdynamik. :-)
Zwischenfragen wuerden mich freuen. Das Prinzip der "neuen" Methode ist im Grunde sehr einfach. Die Kenntnis der komplexen Zahlen natuerlich vorausgesetzt.

Der Sachverhalt der logarithmischen Darstellung der horizontalen Achse war mir Anfangs selbst nicht ganz klar. Er war auch unerheblich bezueglich der anfaenglichen Aufgabenstellung. Ich habe die Beitraege nochmals editiert um den logarithmischen Sachverhalt, der sich aus dem Verkettungsprinzip des diskreten Falls ergibt, von Anfang an zu verdeutlichen. Vielleicht wird damit einges klarer. Es waere anschaulicher gewesen von Anfang an die lineare Darstellung zu waehlen.

Gruesse :-)

AW: Math Verhulst 1989
 

Moin richy,

Antwort aus der Talsohle:

Die Deutungen deiner Diagramme/ Graphiken:
Ja, meistenteils, am verständlichsten wurde es durch die zusammenfassenden Beschreibungen.
Wenn ich's richtig verstanden habe, dann geht es u.A. um den Begriff "irrational".

"Ist Wurzel(13) irrationaler als Wurzel2) ?" gemessen anhand der Häufigkeit von möglichen Ergebnissen (einer komplizierten Gleichung)

Bin gespannt auf die Aussagen zu Pi.
( da ich nur flüchtig lesen konnte, befürchtete ich zunächst einen Schreibfehler, .. dachte zunächst du meinst Phi, ich glaub es ging dir aber um Pi 3.1415926536 (aus dem Kopf : )).

Es ist glatt schade, dass man nicht mehr Zeit hat, in der inneren Ordnung von Zahlenräumen spazieren zu gehen.

Gruß Merman

AW: Math Verhulst 1989
 

Hi merman

Neben Bauhof hatte ich erwartet dass du mathematisch folgen kannst.
Ich weiss. Du bist ein guter Mathematiker und daher dazu in der Lage.
BTW: Ich weiss auch dass du ein ganz schlechter Physiker bist :-)
Wobei sich Mathematik und Physik gar nicht ausschliessen muessen.
Ist gerade bischen frueh/spaet. Alles weitere also "morgen"

Aufgabe :
Beschreibe mir den Hauptsatz der Algebra. Wieviele Loesungen hat die Gleichung

x hoch 2 = 1
x hoch 4 = 1 ( dazu benoetigt man schon komplexe Zahlen)
Wenigstens wieviele Loesungen existieren gibt dir der Hauptsatz der Algebra an.
Auch ohne dass du alle Loesungen kennst.

allgemein
x hoch s = 1
besser
z hoch s = 1 (z steht fuer komplexe Zahlen)

ciao :-)