Gibt es ein "Immer"?
 

Hallo,

zunächst vorab möchte ich sagen, dass ich mir nicht sicher bin/war, ob diese Frage in Schulphysik oder "andere Theorien" - Forum kommen sollte. Weil die Frage mit Zufall und Wahrscheinlichkeit zusammenhängt, dachte ich, dass die Quantenmechanikschublade ein bisschen passt.

Meine Frage lautet einfach formuliert:

Gibt es eine Wahrscheinlichkeit bei der man davon reden kann, dass ein gesuchter Zustand (Fall, etc.) es immer bzw. nie eintreten wird? Oder: Gibt es so eine Art "Phasenübergang" (ich weiss, klingt saublöd)

Das Problem, das ich habe, ist, dass es eine mathematische Antwort auf meine Frage schon gibt, aber ich Frage mich, ob dies in der Realität auch so ist. Ich hab einfach Schwierigkeiten, dies in meinen Kopf zu bekommen.

So, nun die Frage anhand eines Beispiels (könnte auch ganz ganz anders formuliert sein, mir geht es nur ums Prinzip und ich weiss, dass dies ein Extremfall ist):

Bei zwei durch eine Membran getrennten Volumen (von mir aus gleich groß) gefüllt mit unterschiedlichen Gasen (von mir aus O2 oder N2) wird die Membran entfernt.

Nach einiger Zeit haben sich die Gase durchmischt (Diffusion, etc.).

Die Wahrscheinlichkeit, dass nach einiger Zeit bei so und so viel Molekülen doch wieder jeweils alle N2 auf der einen Hälfte bleiben und alle O2 betrage .... irgendetwas ... sei mal egal, auf jeden Fall sehr unwahrscheinlich z.B. 1/x.

Dieses Experiemt wird nun x mal wiederholt (oder von mir aus 10 x). Die Wahrscheinlichkeit beträgt nun 10:1, dass ich den Fall habe, dass dieser unwahrscheinliche Zustand, dass beide Gase sich wieder trennen auftritt. Also mathematisch lässt sich das Problem beschreiben und Wahrscheinlichkeiten berechnen.

Aber nun denke ich: Selbst bei sovielen Versuchen wird dieser Fall nie auftreten bzw. anders formuliert: Die Gase werden sich immer durchmischen.

Bei 2 Molekülen kein Problem, bei 4 etc. auch, sich bildlich vorzustellen, dass es Zeitpunkte gibt, wo sich alle gleichen Gasmoleküle einer Verbindung auf jeweils einer Seite befinden. Ab einem gewissen Zeitpunkt (bzw. gewissen Unwahrscheinlichkeit) behaupte ich jetzt einfach mal, geschieht es nie. Hab ich Recht????

Ggf. saublöde Gedanken, kam mir einfach.

Noch blöder formuliert: Gibt es eine Art (gerne auch verwischten) "Phasenübergang" von "unwahrscheinlich" zu "nie" oder: Gibt es ein Nie bzw. ein 1/Nie = Immer??

Viele Grüße

Slash

AW: Gibt es ein "Immer"?
 

1. In der Stochastik tritt ein Ereignis mit der Wahrscheinlichkeit 1 IMMER ein und mit 0 NIE.
2. Das ist ein Paradebeispiel der statistischen Physik.

Nehmen wir ein ideales Gas für dein Beispiel. Ein Gasteilchen hat eine bestimmte Aufenthaltswahrscheinlichkeit für jeden Ort in der Box.
Machen wir es einfach und sagen, sie sei für jede Hälfte der Box jeweils 1/2.
Wir haben 10^26 Teichen darin und die Aufenthaltswahrscheinlichkeiten sind unabhängig, also hat der Zustand, dass alle Teichen auf einer Seite sind (bzw. die Trennung der Gase)
die Wahrscheinlichkeit von etwa (1/2)^26 (naives Modell, die Experten mögen mir verzeihen)
und das ist so sehr nahe 0, dass es quasi NIE eintritt, aber unmöglich ist es nicht.

AW: Gibt es ein "Immer"?
 

Hallo Hamilton,

vielen Dank für deinen Beitrag. Vielleicht hab ich auch nur ein Problem, das keines ist.

Was du schreibst, sehe ich genau so (soweit ich es verstehe).

Mein Problem ist, dass ich es mathematisch verstehe, aber ich frage mich, ob die Stochastik ihre Grenzen hat, und ob es vielleicht nicht doch eine Wahrscheinlichkeit gibt in der es zu "immer" übergeht bzw. zu "nie".

Ich denke, ich hätte die Frage vielleicht nicht stellen sollen. War nur ein Gedanke.

Auf der anderen Seite, wenn es so etwas wie das Planksche Wirkungsquantum gibt (irgendwo auch eine Grenze zu etwas wo ein "tiefer" hineingehen keinen Sinn mehr macht) - warum nicht auch in der Stochastik.

Nur zum Spass: Ich stelle einfach die Behauptung auf, (1/2)^26 (naives Modell, die Experten mögen mir verzeihen) * 10 (also zehnmal die Versuche durchgeführt) die Zustand, dass sich die Gase getrennt haben, doch nie augetreten ist.

Die Zeit für die vielen Versuche reicht wohl nicht...

Vielleicht mag ja ein noch etwas dazuschreiben:

Hat die Stochastik ihre Grenzen (dahingehend, dass 0 und 1 schon viel früher, d.h. 0 schon bei 0 + e und 1 bei 1-e schon erreciht werden)?

Nur so ein Gedanke ... vielleicht sollte dieser Thread auch in ein anderes Forum.

Slash

AW: Gibt es ein "Immer"?
 

Stochastik hat keine Grenzen, hier geht es um Mathematik.
Das Experiment ist mathematisch genau das gleiche wie ein Münzwurf mit 10²³ Münzen.
Die Wahrscheinlichkeit, dass zu einem bestimmten Zeitpunkt alle Teilchen einer Sorte auf der einen und die Teilchen der anderen Sorte auf der anderen Seite sind, hat die gleiche Wahrscheinlichkeit, wie das Ereignis, Du wirfst mit 10²³ Münzen und alle zeigen Kopf.
Das wiederum ist gleichwahrscheinlich mit dem Ereignis "du wirfst mit einer Münze 10²³ mal hintereinander und das Ergebnis ist immer Kopf"
Die Lösung ist, dass das Ereignis nicht unmöglich ist, es kann durchaus eintreffen, es ist aber dennoch sehr unwahrscheinlich. Versuch mal ein Gefühl für diese Zahl zu gewinnen:
10²³ - das ist eine Milliarde mal eine Milliarde mal 10000 - 23 Nullen hinter der 1, also 100000000000000000000000 - das sieht vielleicht nicht nach viel aus, aber überleg mal, dass das Alter des Universums gerade mal 14x10⁹ Jahre beträgt, das sind 14x10⁹x365x24x60x60 Sekunden, also ca. 4,4x10¹⁷ Sekunden. Wenn die Gasteilchen innerhalb einer Mikrosekunde von einer Seite der Box in die andere wechseln können, dann kommen wir in eine Größenordnung, wo es allmählich wahrscheinlich wird, dass der total getrennte Zustand wieder einmal eintritt, wenn wir den Versuch gleich nach Entstehung des Universums gestartet hätten. Die Box mit 10²³ Gasteilchen hätte bei Zimmertemperatur und Normaldruck eine größe von ca. ein- bis zwei Litern- also nicht gerade riesig.

Insofern finde ich es durchaus gerechtfertigt zu sagen, dass dieser Zustand NIE eintritt, sogleich ich auch weiß, dass es MÖGLICH aber unwahrscheinlich ist, dass der Zustand totaler Trennung auch nach 5 Minuten nach totaler Durchmischung eintritt. That's life.

AW: Gibt es ein "Immer"?
 

Es sind sogar 1 Mrd mal 1 Mrd mal 100.000.

Man müsste fast 1 Mrd * 1 Mio. mal den Jackpot im Lotto hintereinander knacken. Die Chancen dafür stehen also ausgesprochen gut. ;)

AW: Gibt es ein "Immer"?
 

Vermutlich ist die Wahrscheinlichkeit sogar noch geringer, wenn die Wahrscheinlichkeit gegenseitiger Stösse hoch ist.
Je mehr Teilchen schon auf einem Haufen wären, desto grösser wäre die Wahrscheinlichkeit, dass sie kollidieren und andere Teilchen wieder aus dem Bereich herauskatapulieren. Aber darauf kommt es dann auch nicht mehr an.

AW: Gibt es ein "Immer"?
 

Hallo an alle,

also wie gesagt, das mit der Mathematik ist schon klar - keine Frage.

Meine Frage war, ob es bei so geringer oder so großer Wahrscheinlichkeit es einen "Übergang" zu immer gibt.

Ich meine dies nicht als theoretische Frage, sondern praktische Frage.

Dass sie ggf. blöd klingt ist mir bewusst. Ich denke einfach an bspw. den Schwarzschildradius, Quanten, etc. wo einfach plötzlich schon vor der Singularität oder dem unendlich kleinen etwas "nicht zerteilbares" besteht.

Das macht irgendwie keinen Sinn ggf. in der Statistik drüber nachzudenken..... hm... es gibt wohl keine Lösung. Die Statistik liefert halt doch immer einen Zahlenwert, der nicht wegzudiskutieren ist.

Trotzdem danke für die Antworten.

Interessehalber: Kann sich denn jemand "vorstellen" dass ich irgendwann bei bspw. 1 Liter O2 und 1 Liter N2 sich jemals der Zustand einstellt, dass sich alle Moleküle jeweils einen Gases auf einer Seite befinden? Ich kann es nicht, aber ich kann mir ja auch nicht 10 hoch 2000 vorstellen, somit .... :confused:

:-) Vielen Dank und viele Grüße
(waren wie gesagt, nur Gedanken)

AW: Gibt es ein "Immer"?
 

Vorstellen schon, aber ich erwarte eher, dass in den nächsten 5 Minuten ein Alien in meinem Vorgarten landet, in mein Zimmer stürmt und mir das Stück Käsekuchen wegfuttert, dass ich noch hier stehen habe, als dass ich beobachte, wie sich die Gase entmischen. :D

AW: Gibt es ein "Immer"?
 

Ich hatte die Illustration mit der "das kann solange dauer, wie das universum existiert"-Aussage eigentlich gerade deshalb eingeführt, damit leute wie du ein gefühl dafür kriegen, wie sehr unwahrscheinlich das ist- das war wohl nicht genug- eh?

In diesem Fall gibt es keinen endlichen Wert der Teilchenzahl N, bei dem ein Übergang von p > 0 auf p = 0 stattfindet um das mal klar zu sagen. Das bedeutet, dass es immer möglich sein wird, aber so unwahrscheinlich ist, dass du darauf nicht zu hoffen brauchst. Ich weiß jetzt auch nicht mehr, wie man dir das noch besser und verständlicher klarmachen kann.
Vielleicht setzt du dich zu hause mal hin und wirfst münzen. Das machst du so lange, bis du 3 mal hintereinander kopf geworfen hast. Oder du wirfst gleich mit 3 münzen gleichzeigtig und machst das so lange, bis alle 3 kopf zeigen. (ach ja, kopf gibt's ja nicht mehr, dann eben zahl). Stoppe die zeit, die du gebraucht hast um das ergebnis hinzukriegen und dann versuchst du es mit 4 münzen und stoppst wieder. Interpretiere die differenz.

AW: Gibt es ein "Immer"?
 

Jetzt stell Dir nur so zum Spaß eines der im Verhältnis zur Gesamtuniversenmenge absurd seltenen Universen vor, in denen genau das wirklich :D passiert...
Ich wüßte wirklich gerne sicher, ob die Schöpfung so irre ist, daß das wirklich vorkommt.

AW: Gibt es ein "Immer"?
 

Hmmm. Ob Schöpfung oder ewige Natur, der Effekt mag der gleiche sein. Wenn es weder Anfang noch Ende gibt, kann ohne weiteren Dimensionsbedarf alles realisiert sein. Nicht jetzt und hier, sondern irgendwo, irgendwann halt. Das hat dann mit unserem Kosmos nix zu tun. Es hätte sich einfach so entwickelt, weil es so möglich ist.

"Alles, was schief gehen kann, geht auch irgendwann mal schief!" (uralte Kernkraftwerksbetreiber-Regel)

AW: Gibt es ein "Immer"?
 

Ja Parallelwelten müssen nicht zwangsläufig nur in anderen Raumzeiten vorkommen:
http://www.of-the-infinite.com/infin...rallelwelt.htm

Das Universum müßte aber deutlich größer als der beobachtbare Teil "Hubble-Volumen" mit 46 Milliarden Lichtjahren sein. Nach dem Link wird der durchschnittliche Abstand zur nächsten identischen Parallelwelt mit

angegeben.

:eek: Ziemlich weit weg...
Die ähnlichsten Parallelwelten einer Viele-Welten-Interpretation sind dagegen nur eine Plancklänge entfernt.

Entropie
 

Hallo Hamilton (und an die anderen), die ihr dankenswerterweise geantwortet habt.

Ja, also ich geb euch Recht und wie gesagt, ist es auch für mich mathematisch und theoretisch kein Problem, das einzusehen.

Mir kommen nun zwei verschiedene Beispiele, wo ich euch gerne fragen würde, ob es da einen Unterschied gibt.

Es hat nun auch nichts mehr mit der vorherigen Frage zu tun (in dem Sinne, dass ich jetzt um des Rechthabens willen oder nicht Nachgebens-willen nochmals antworte, sondern kam mir einfach noch zusätzlich):

Das erste Beispiel ist das mit den Lottozahlen:
Die Zahlenfolge 1,2,3,4,5,6 ist genauso wahrscheinlich bzw. unwahrscheinlich wie jede andere. Da würde mir sicherlich jeder zustimmen (idealer Lottoapparat vorausgesetzt). Man könnte ja auch einen Lottoapparat bauen, z.B. 38 aus 1024, der dann eben auch die unwahrscheinliche Wahrscheinlichkeit von 10^25 (nicht ausgerechnet) hätte - also beispielsweise so wie die Gasmoleküle und dann muss man eben so lange Lotto spielen.

Das andere Beispiel ist das mit den Gasmolekühlen.
Hier ist es doch so, dass mathematisch, theoretisch auch jedes Anordnungsszenario (der Moleküle) - sag ich jetzt mal - die gleich Wahrscheinlichkeit besitzt. Meine Frage: Kommt jetzt aber nicht noch so etwas wie Harald Lesch´s Bierschaum in´s Spiel, bei der eine Anordnung mit höherer Ordnung (also niedrigerer Entropie) - ja unwahrscheinlicher (?) ist? Die Anfangsanordnung, wo wie die Gase getrennt sind, ist ja (glaube ich) sogar in der Lage, Arbeit zu verricheten (Diffusion), um einen ungeordneteren Zustand zu bekommen (mit höherer Entropie).

Bei den Lottozahlen ist ja die Zahlenfolge 1,2,3,4,5,6 eine (willkürliche) Anordnung, die sich nicht unterscheidet von anderen Anordnungen. Bei dem Gasbeispiel ist es aber so, dass die eine Anordnung eine höhere Entropie hat als die andere (bzw. umgekehrt).

Hm... also wie ihr seht ist mein Problem, das mit Wahrscheinlichkeit und Entropie übereinzubekommen.

Ist nun die Molekülanordnung, dass die Gase N2 und O2 wieder getrennt sind, und sich wie anfangs (Anfangszustand) auf ihre beiden Volumenhälften einfinden nun doch unwahrscheinlicher als andere Molekülanordnungen (wegen der niedrigeren Entropie) ??

:confused:

Viele Grüße
Slash

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Es gibt keine dummen Antworten, nur dumme Fragen.

AW: Gibt es ein "Immer"?
 

@Slash:

Das ist eine interessante Frage bezüglich der Entropie!
Und sie stellt sich mir auch: Wäre es nach den Gesetzmäßigkeiten der Entropie bzw nach denen der physikalischen Wechselwirkungen zwischen den unterschiedlichen Molekülen überhaupt möglich, daß sich beide Gase schön säuberlich wieder trennen?!

Ich glaube 'Entropie' ist kein unglaublich exakt wirkendes Naturgesetz, und es wird lokal immer wieder ausgehebelt.
Beispielsweise von der Evolution, von uns selbst, von den hochorganisierten Computern usw die wir bauen!
Ähnlich wie bei den Gasen ist es mit der Wahrscheinlichkeit, daß 'zufällig' die richtigen Aminosäuren in der Ursuppe entstehen die dann nach sehr vielen weiteren Schritten schließlich ihre Ansichten über das Internet verbreiten. Bei der Entstehung von Leben hat man sich wohl darauf geeinigt, daß es überall entsteht, wo es die Möglichkeit dazu hat. Nur bei den Gasen fehlt ja wohl eher dieser nicht näher definierte 'Trieb zur Lebensbildung' als angenommene 'Richtkraft'.

AW: Gibt es ein "Immer"?
 

DANKE! Tut gut!


Ja, das frage ich mich auch. In den vorherigen Beiträgen, hatte ich dies wohl fälschlicherweise damit ausgedrückt, dass ich einen "Übergang" von unwahrscheinlich zu nie bzw. von sehr wahrscheinlich zu "immer" machen wollte. Das ist ganz sicherlich nicht richtig.

Entropie ist sicherlich eine ganz interessante Sache.

Kann man sich fragen, dass Entropie sich immer auf eine "Vielzahl" von Einzelnen (Molekülen, Teilchen, was auch immer) bezieht und sozusagen eine "Systemeigenschaft" dieser Vielzahl Einzelner ist.

Das hieße, dass in unserem Universum, eine Vielzahl Einzelner mehr Eigenschaften hat als, die Summe der Einzelnen.

Das hat doch mal jemand gesagt: Es ist mehr als die Summe der Einzelteile.

Woher kommt dieses "Mehr" von außen oder steckt es schon "drin", so wie das "komplexe" Apfelmännchen schon in dem 12 zeiligen Algorithmus seiner Berechnung steckt.
(PS: Vielleicht ist das Apfelmännchen aber gar nicht so komplex, sondern wirklich nur ein "12 Zeiler") .

Schon interessant....

VG Slash

AW: Gibt es ein "Immer"?
 

Oha, Entropie- na ich will mal versuchen was dazu zu sagen:
Es gibt ja so zwei Sorten der Entropie- einmal über den klassischen Ansatz der Thermodynamik über Differentiale, nach der z.b. gilt dS = δQ/T
und den statistischen Ansatz für den der zentrale Satz S = k ln Ω gilt. (k ist die Boltzmannkonstante)
Letztere Aussage motiviert die popwissenschftliche Formulierung nach der Entropie ein Maß für die Unordnung eines Systems sei.
"In Wirklichkeit" ist das so:
Man macht einen Ensemble Ansatz: Man betrchtet ein Ensemble aus N Teilchen, diese Befinden sich in einem Volumen V und haben jeweils die Energie U.
Aus der Punktmechanik kennt man den Satz H(x,p) = p²/2m (entspricht E=v²m/2) für freie Teilchen, also Teilchen, die sich nicht in einem Potential befinden.
In einem 3D-Raum gilt p = px + py +pz und x = x + y + z
Dabei ist H die Hamiltonfunktion (die Energie der Teilchen) und die ist von 6 Variablen abhängig. Die Vorgabe E < H < E + ΔE definiert ein Volumen in dem 6-dimensionalem "Phasenraum", also ein Volumen in dem jeder Punkt (der 6 Koordinaten hat) die Bedingung H(x,p) ≅ E erfüllt. Teilt man dieses Volumen durch das Elementarvolumen h^(3N) eines Zustands, erhält man die Anzahl aller Zustände, die das System einnehmen kann und die Bedingung erfüllen, dass die Teilchen die Energie E haben.
Diese Zustände sollen alle gleichwahrscheinlich sein. Die Anzahl dieser "Mikrozustände" bekommt den Namen Ω. Folglich ist die Wahrscheinlichkeit, dass das System in einem bestimmten Mikrozustand ist, ist p = 1/Ω.
Die Entropie ist S = k ln Ω und damit auch abhängig von E,V und N
All diese Betrachtungen gelten für abgeschlossene Systeme. Das bedeutet, dass es in deinem Fall keinen entropischen Unterschied macht, ob das Gemisch getrennt ist, oder nicht.

AW: Gibt es ein "Immer"?
 

Hallo,

@Hamilton bist mir grad zuvorgekommen.
Spart mir Arbeit, Wärme und lässt die Entropie nicht so stark wachsen;) .

Ich sehe die Entropie auch nicht als "ein Maß der Unordnung", eher "ein Maß der Unwissenheit" oder "Wandlungsgehalt".

In Slash's Frage dreht es sich um Mischungsentropie. Wenn überhaupt trifft hier, wie von Boltzmann gezeigt, zu, das sich die Entropie statistisch erfassen lässt.
Hamilton hat oben die zutreffende Gleichung dafür bereits angegeben: S = k ln Ω

Ω gibt hier die Anzahl der Zustände an, welche die Teilchen eines abgeschlossenen Systems insgesamt einnehmen können.
Das heist mit Ω werden alle Möglichkeiten in die Gleichung eingegeben, die Entropie S ist konstant, da die Möglichkeiten ja konstant sind.
Die 2 Möglichkeiten der Trennung von O2 und N2 sind dabei in allen Möglichkeiten gleichberechtigt vorhanden.

Ich gebe dabei noch zu bedenken ob es eine Mischungsentropie überhaupt gibt?

Nehmen wir Slash's zwei getrennte Volumen gefüllt mit O2 und N2.
Das Volumen gefüllt mit N2 tauschen wir aus gegen ein Volumen gefüllt mit O2.
Wir haben jetzt also zwei getrennte Volumen gefüllt mit je O2. Nun entfernen wir hier die Trennwand. Wie berechnet sich hier die Mischungsentropie????

Gruß EMI

AW: Gibt es ein "Immer"?
 

Danke für eure Beiträge, Hamiliton und EMI.

So wie ich es verstanden habe, ist es nun so, dass im Fall der getrennten Gase der getrennte Zustand gleichberechtigt ist jedem anderen Zustand.

Den Grund, warum sich die Gase nie (zumindest nicht in 10^2000 Jahren) entmischen sehe ich nun (für mich - bitte korrigieren, wenn falsch) darin, dass es unendlich viele Zustände insgesamt unter der Voraussetzung gibt, das der Raum in dem sich die Gasmoleküle aufhalten ein Kontinuum ist.

Für mich hat sich die Antwort nun ergeben:
- die Statistisch, mathematische Berechnung ist richtig (Wahrscheinlichkeit = Anzahl gesuchte Zustände / Anzahl möglicher Zustände)
- da es jedoch unendlich viele Zustände (Aufenthaltsorte für die Gasteilchen) gibt (Annahme Kontinuum), wird sich der getrennte Zustand nie wieder (und das "nie" meine ich jetzt für mich so - wie gesagt, bitte korrigieren, falls falsch) einstellen


Richtig?

VG
Slash

PS: So ganz nebenbei brauch ich dann auch keine Angst zu haben, dass in diesem Universum sich plötzlich die Gase der Kläranlage des Nachbarorts in meinem Zimmer alle einfinden....

AW: Gibt es ein "Immer"?
 

eher ca. 10¹⁰ Jahre, das hatte ich so auch geschrieben, bitte genau lesen!
nein, es sind endlich viele, aber eben seeeeeehr viele.

AW: Gibt es ein "Immer"?
 

Hallo Hamilton,

keine Frage, die 10^2000 kamen von mir. Es war nur als Beispiel gedacht. Ist ja auch die Frage, wie groß die Stoffmenge ist (wieviel Mol) und ggf., welche Temperatur / Druckverhältnisse herrschen ( - für eine Zeitangabe).
Hm.... dennoch denke ich, dass es statistisch eigentlich wie du schreibst, erfassbar ist - nur halt für die Stoffmengen, mit denen wir im Alltag umgehen so groß sind, dass die unwahrscheinlichen Fälle sich einfach nicht im Alltag bei uns einfinden...
Also alles in allem bestimmt keine schlagartiger Übergang zum "immer" ... damit wäre meine Frage auch ziemlich beantwortet. Danke!

Viele Grüße

Slash