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Der Lagrange-Formalismus macht auch am meisten Sinn, bei Problemen mit konservativen Kräften mit holonomen Nebenbedingungen.
Dein Beispiel ist von daher denkbar ungeeignet (Reibung und keine Nebenbedingungen).
Wie leistungsfähig der Lagrange-Formalismus ist, kann man sehen, wenn man zum Beispiel die Bewegungsgleichungen aufstellt, für ein Doppelpendel aus zwei Massen, die sich in einer Ebene bewegen können und mit festen masselosen Stäben verbunden sind, ohne Reibung im Gravitationspotential.
http://de.wikipedia.org/wiki/Doppelpendel

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Und wozu brauchst du dieses Doppelpendel in praxi?

Ist dir eine diesbezüglich konkrete technische Anwendung bekannt, wo du mittels Lagrange besser rechnest, als es ein Maschinenbauer ohne Lagrange täte?

Gr. zg

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Lagrange- und Hamiltonsche Mechanik sind alternative Formalismen, auf die Bewegungsgleichungen zu kommen.

Ihre Stärke ist die Verallgemeinerung: statt Impuls und Ort kann man die Dynamik durch verallgemeinerte Koordinaten und Impulse ausdrücken.

Das muss man natürlich nicht tun, wenn mas es gerade nicht braucht wie in deinem Beispiel. :)

Ein interessanter Zusammenhang zwischen solchen Paaren zueinander konjugierter Impulse und Koordinaten zur Hamiltonfunktion sind die Poissonklammern, die alternative Formulierungen der Bewegungsgleichungen darstellen. Ersetzt man die Poissonklammern durch Kommutatoren, so erhält man im wesentlichen die Quantenmechanik. Ich nehme an, dass manche Pioniere der Quantenmechanik (v.a. Heisenberg) sich von der Hamiltonschen Klassischen Mechanik zur Quantenmechanik haben "leiten lassen".

http://de.wikipedia.org/wiki/Poisson-Klammer

Eine andere sehr nützliche Anwendung dieser Formalismen sind das Theorem von Emmi Nöther
http://de.wikipedia.org/wiki/Noether-Theorem

und das Wirkungsprinzip
http://de.wikipedia.org/wiki/Hamiltonsches_Prinzip

Ursache für eine jede physikalische Erhaltungsgröße ist eine entsprechende Symmetrie der Wirkung
Homogenität der Zeit ==> Energieerhaltung
Isotropie des Raumes ==> Drehimpulserhaltung
bis hin zur Erhaltung von Quantenzahlen wie Ladung etc..

Diese Formalismen werden auch in der Statistischen Mechanik intensivst angewendet.

Aus Feldtheorien sind sie - wie du schon sagst - kaum wegzudenken.

Gruß,
Uli

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Die analytische Mechanik besitzt sicherlich gewichtige Gründe für ihre Existenzberechtigung wie z.B. Invarianzeigenschaften bestimmter Funktionen unter allg. Transformationen. In der Beschleunigerphysik - um eine spezifische Anwendung zu nennen - ist es der Phasenraum (und damit verknüpft das Liouville-Theorem). Das sei unbestritten.

Für die QM - das sagt Uli ebenfalls richtig - war die Hamiltonsche Mechanik eine wichtige Stütze. Schrödinger hat den Hamilton-Jacobi-Formalismus genauestens studiert, darunter auch die Poissonklammern. Drüber hinaus aber auch Hilberts Mathematik. Und De Broglies Materiewellen spielten physikalisch gesehen eine wichtige Rolle auf dem Wege zur Schrödinger-Gleichung.

Wie Schrödinger über die Wintertage 1925/26 in der "Villa Herwig" im tiefverschneiten Arosa zu seiner Gleichung gekommen ist, weiss ich bis heute nicht.

Genial ist die Erkenntnis, dass HΨ = EΨ (H ist der Hamilton-Operator, E der Energie-Operator).

Zuvor fand Schrödinger ja die später als Klein-Gordon-Gleichung bekannt gewordene Gleichung. Feynman sagt irgendwo in sokratischer Manier, es gebe keine eigentliche Herleitung für die Schrödinger-Gleichung, die Wellenfunktion sei einfach Schrödingers Kopf entsprungen. Ein "Geschenk von oben" etwa? Veröffentlicht wurden diese Erkenntnisse im Jahre 1926 in zwei Mitteilungen, "Quantisierung als Eigenwertproblem".

Aufschlussreich in wissenschaftshistorischem Sinne ist ein Artikel von Straumann (Schrödingers Entdeckung der Wellenmechanik), der auch diesbezügliche Schwierigkeiten mit bestimmten Themen nicht ausklammert:

http://arxiv.org/PS_cache/quant-ph/p.../0110097v1.pdf

Aus einem Brief Schrödingers an Wien bspw.:

Ja, wer unter uns möchte das nicht auch können!

Als Rekapitulation gewissermassen habe ich abschliessend ein paar Kurzfragen an die Gemeinde notiert (woraus ich mir in prägnanten Worten einiger kompetenter Leser zunehmende Luzidität in dieser Sache erhoffe):

a) Generalisierte Koordinaten sind?

b) Holonome Bedingungen sind?

c) Beispiele zu skleronom und rheonom wären?

d) Symplektische Form bedeutet?

e) Kanonische Gleichungen besitzen welche Bedeutung?

Im Übrigen stehen noch zwei weitere Bücher auf meinem Wunschzettel:

Goldstein, Klassische Mechanik (Wiley-VCH)

Szabo, Höhere Technische Mechanik (Springer)

Zuerst muss ich mich jedoch in den Kuyper vertiefen und einige Beispiele durchrechnen.

Gr. zg

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In dem oben erwähnten Buch "QUANTEN" findet sich dazu:

Vorausgegangen war, daß Debey bemängelt hatte, Niemand habe versucht, für de Broglie's Materiewelle eine zugehörige Wellengleichung zu finden. Davon fühlte Schrödinger sich angesport, als er in der Villa Herwig in Arosa seinen gelegentlich so zitierten "späten erotischen Ausbruch" hatte.

Gruß, Timm

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Dieses Buch werde ich mir irgendwann zulegen. Wie es scheint, hat de Broglie einen nicht unbedeutenden Einfluss auf Schrödingers Gedankenwelt ausgeübt.

Ein weiterer Titel, der vermutlich Licht ins Dunkel bringt, stammt von:

Karl von Meyenn, Eine Entdeckung von ganz außerordentlicher Tragweite (Springer)

Es handelt sich um eine gebundene Ausgabe von 700 Seiten Umfang über Schrödingers Briefwechsel zur Wellenmechanik und zum Katzenparadoxon.

Auch Biografien sind zwischendurch zur Erweiterung des Allgemeinwissens von Nutzen, z.B. von:

Bird und Sherwin, J. Robert Oppenheimer (Propyläen-Verlag)

Eine Biografie über den "Vater der Atombombe" und damit die angewandte Quantenphysik. Innert weniger Jahre erwies sich dieser Zweig der Physik als entscheidend im Kampf gegen totalitäre Regimes. Was viele nicht wissen, auch die Deutschen arbeiteten an einer taktischen Kernwaffe. Es gab min. zwei erfolgreiche Test's (einer auf Rügen, einer in der Nähe von Ohrdruf). Doch zum Glück für die freie Welt kam es nicht mehr zum Feindeinsatz.

Dass physikalisch-technische Erungenschaften mitunter auch für brachialische Zwecke gebraucht werden, liegt in der Natur der Sache. Bereits Archimedes baute Kampfmaschinen und Katapulte. Mit einer Strahlenwaffe (vermutlich Parabolspiegel aus polierter Bronze, möglicherweise auch Brenngläser aus Quarzkristall) setzte er reihenweise die Boote der römischen Aggressoren im zweiten Punischen Krieg in Flammen:

http://upload.wikimedia.org/wikipedi...Titelblatt.jpg

So zumindest die Legende. Als Syracus im Jahre 212 v. Chr. schliesslich doch noch erobert wurde, starb der grösste Mathematiker der damaligen Welt durch das Kurzschwert eines römischen Legionärs, zuvor noch ausrufend: Noli turbare circulos meos! (Störe meine Kreise nicht)

Über diese antike Mechanik lese man selbst nach bei:

Novelli, Archimedes und der Hebel der Welt (Arena)

Taschenbücher wie das obige eignen sich übrigens hervorragend für die Badewanne. Ich meine das so: Du nimmst ein heisses Schaumbad, dazu ein Weissbier, und nach ein, zwei Stunden hast du das Buch durch. Zwischendurch darfst du dabei nicht versäumen, mit den Zehen den Warmwasserhahn zu betätigen. Mit dieser praxiserprobten Methode hast du auf einen Schlag etwas für Geist, Seele und Leib getan.

Gr. zg

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Ja, aber ironischerweise hat de Broglie sich wenig später der Kopenhagener Deutung zugewandt, was Einstein als etwas wie "Fahnenflucht" empfand. Dem Sog, sich Bohr anzuschließen, widerstanden nur wenige, wie Einstein und Schrödinger. Auch Einsteins Freund Ehrenfest fiel ab. Eine recht unabhängige Persönlichkeit muß Dirac gewesen sein. Jedenfalls zeigte er keinerlei Interesse an den Deutungen. "Er hielt das für eine sinnlose Beschäftigung, die zu keinen neuen Gleichungen führte."


Darauf bin ich schon seit Weihnachten sehr neugierig. Manches lese ich parallel, aber nicht zwei solche Wälzer.

Suum cuique,

Gruß, Timm

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Du trinkst Weissbier in der Badewanne? Hihihi. Cool.

2 Stunden in der Badewanne. Schrumpelt man da nicht zusammen zu so einer Art Krokotasche? Und das beste Stück sieht danach bestimmt aus wie ne römische Türklinke. :D

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Ja, von aussen heiss, von innen kühl.

Doch, in etwa. Die Normalität kehrt aber schnell zurück. Ich mach' das bereits seit Jahrzehnten so.

Gr. zg