Eigenzeit, Weltline, Schwarzschild Raumzeit
Betrachten wir die Eigenzeit für r=2M bis r=0.
Wenn wir uns zunächst auf Geodäten beschränken, liegt das Maximum der Eigenzeit nach MTW beim radialen Einfall. D.h. die radiale Eigenzeit pi*GM/c³ nimmt ab, unabhängig davon in welche Richtung die Geodäte von der Achse des Lichtkegels abweicht. Wie verändert sich die Eigenzeit im Falle der Beschleunigung nach unten bzw. nach oben relativ zur radialen Eigenzeit beim freien Fall? |
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Siehe hier:
https://arxiv.org/abs/0705.1029v1 No Way Back: Maximizing survival time below the Schwarzschild event horizon Authors: Geraint F. Lewis, Juliana Kwan Abstract: It has long been known that once you cross the event horizon of a black hole, your destiny lies at the central singularity, irrespective of what you do. Furthermore, your demise will occur in a finite amount of proper time. In this paper, the use of rockets in extending the amount of time before the collision with the central singularity is examined. In general, the use of such rockets can increase your remaining time, but only up to a maximum value; this is at odds with the ''more you struggle, the less time you have'' statement that is sometimes discussed in relation to black holes. The derived equations are simple to solve numerically and the framework can be employed as a teaching tool for general relativity. |
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Zitat:
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Anbei eine kurze Zusammenfassung:
Die häufig zu lesende Aussage, dass die Eigenzeit entlang einer Geodäten maximiert wird, gilt nur für Kurven mit festgehaltenem Start- und Endpunkt. D.h. das Argument ist nicht anwendbar, wenn man Kurven mit festgehaltenem Start- jedoch variablem Endpunkt vergleichen möchte (die Kurven innerhalb des Ereignishorizontes erreichen natürlich alle die Singularität bei identischer Raum- jedoch unterschiedlicher Zeitkoordinate). Daraus folgt, dass die Aussage, man solle innerhalb des Schwarzen Lochs nicht beschleunigen sondern frei fallen um die Eigenzeit bis zu Erreichen der Singularität zu maximieren i.A. falsch ist. Nun ist die Geodäte mit maximaler Eigenzeit zwischen Ereignishorizont und Singularität gerade diejenige, bei der man ausgehend vom Ruhezustand am Ereignishorizont frei fällt. Andere Geodäten, bei denen man ausgehend vom Ruhezustand an Punkten weiter außerhalb frei fällt, liefern zwischen Ereignishorizont und Singularität eine kleinere Eigenzeit. Die Strategie ist nun, dass wenn letztgenannte Situation vorliegt, man innerhalb des Ereignishorizontes dergestalt beschleunigen sollte, dass man sich einer „besseren“ Geodäte annähert und dann entlang dieser frei fällt. D.h. man wechselt sozusagen in Richtung hin zur optimalen Geodäten. Das Paper zeigt dies exemplarisch mittels konkreter numerischer Berechnungen. Die o.g. Strategie wird dadurch bestätigt. Die Analyse ist auf radiale Kurven beschränkt und nicht allgemeingültig. |
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Für mich überraschend, Fig.2., ist, daß mit zunehmender Beschleunigung innerhalb des Ereignishorizonts nach außen, die Eigenzeit bis zur Singularität verglichen mit der Freifallers zunächst größer, dann gleich und schließlich kleiner ist. Gibt es dazu einen intuitiven Zugang? Fig.5. zeigt, daß die Eigenzeit des Freifallers unterschritten wird, wenn wenn man nach außen und dann nach innen so beschleunigt, daß dieser bei r=0 "eingeholt" wird. Das macht Sinn, s. "Zwillingsparadoxon". Zur Eigenzeit nicht-radialer zeitartiger Geodäten habe ich außer dem etwas vagen Hinweis im MTW nichts gefunden, denke aber es macht Sinn, daß sie mit zunehmender Annäherung an die Null Geodäten abnimmt. |
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BTW: Null Geodäten beschreiben die Bahnen von Lichtstrahlen. Für massive Probekörper sind es einfach zeitartige Geodäten. |
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Die Frage war, ob es dazu einen intuitiven Zugang gibt. Zitat:
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MTW weisen in Exercise 31.4 darauf hin, daß die radiale Geodäte maximale Eigenzeit hat. Und ferner auf den mathematischen Hintergrund hierzu im Chapter 25. Es muß sich ja wohl um eine Winkelabhängigkeit der Eigenzeit handeln. Ich bin allerdings nicht fündig geworden; falls jemand dazu etwas sagen kann, wäre das super.
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Nochmal zu der Frage, welche Weltlinie innerhalb des Ereignishorizonts das Überleben maximiert.
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Nebenbei, außerhalb des EH sind die Linien t=const raumartig und innerhalb zeitartig, wovon man sich anhand der Lichtkegel überzeugen kann. Darin scheint sich das Vertauschen der Koordinaten bei r<2m auszudrücken. Hier noch Kruskal-Szekeres Diagramme. |
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