Einstein Universe
 

Können wir bitte mal ein bisschen über das "Einstein Universe" sprechen, also das Model des Universums, das Einstein 1917 angenommen hat und das statisch ist?

In Wikipedia
https://en.m.wikipedia.org/wiki/Static_universe
(Link von Bernhard im anderen Thread)
steht zB., dieses Universum ist "closed" und hat eine positive Krümmung. Wie kann ich mir das vorstellen?

Braucht man für diese "closedness" unbedingt höhere Dimensionen?

Bedeutet diese "closedness", dass ich, wenn ich immer in eine Richtung fliege, am Startpunkt wieder ankomme?

Oder hat es nur mit "Freiheit von Löchern" zu tun, so topologisch?

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Man braucht den Raum nur um eine Dimension reduzieren.

Dann ist das Universum eine Kugeloberfläche. Diese Fläche ist unbegrenzt, aber nicht unendlich!
Der Radius der Kugel ist die Zeit.
Die Oberfläche expandiert mit der Zeit.

Innehalb der Kugel liegt die Vergangenheit, der Mittelpunkt ist der Urknall mit dem Beginn der Zeit (T=0). Die Kugeloberfläche ist die Gegenwart, außerhalb der Kugel liegt die Zukunft.

Licht bewegt sich auf einer Fläche tangential zur Kugeloberfläche. Die Zeit bleibt für die Lichtwelle stehen (da die Fläche senkrecht zur Zeitachse steht).

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Hm... Stimmt das so? Ist das Einsteins Modell?

Dieses Modell ist nicht so wirklich eine Reduktion der Dimensionen, denn die Erdoberfläche krümmt sich ja innerhalb einer dritten räumlichen Dimension. Also diese Art Krümmung funktioniert nicht ohne zusätzliche Dimensionen. Oder?
Hm, Radius und auf der Fläche zwei Koordinaten(wohl Längen und Breitengrade) sind zumindest nicht linear abhängig. Also definieren sie den dreidimensionalen Raum.

Ich steh grade mal wieder auf dem Schlauch.

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Nein. Das Einstein-Modell hat vier Dimensionen. Man kann es sich als verallgemeinerte statische Kugel mit konstantem Radius vorstellen.

Genauso ist das. Ja.

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Ah, okok. Und da wäre dann diese positive Krümmung. Überall. Überall der gleiche Wert, wahrscheinlich, so wie bei der Kugel in 3D.

Ich kann mir das nicht vorstellen. In meinem Kopf geht nur "Fläche krümmt sich im dreidimensionalen Raum" oder "Dichteänderungen in 3D". Kann man sich diese "positive Krümmung" und gleichzeitig statisch irgendwie in 4D vorstellen?

Ich stelle mir 4D immer vor wie viele verschiedene Versionen der 3D- Welt. Die 4. Dimension ist ja die Zeit, also eine zeitliche Aneinanderreihung von 3D-Objekten.Geht ja. Kann man sich vorstellen. Quasi wie ein Film, nur mit 3D-Objekten, statt mit Bildern. Aber da ist alles gerade, nix gekrümmt. :-/

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Genau.

Die Zeit-Dimension ist einfach. Die Zeit läuft unabhängig vom Raum einfach von minus unendlich bis plus unendlich.

Der 3D-Raum ist aber in sich geschlossen: Kreis (=1D), Kugeloberfäche (=2D), Einstein-Modell (=3D)

EDIT: Man darf sich den "Einstein-Raum" gerne auch als 3D-Hyperfläche in einem höherdimensionalen Einbettungsraum vorstellen, muss das aber nicht. Die Mathematik kommt ohne diese Einbettung aus.

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Ok, als 3D Hyperfläche, da bin ich dann bei Gekus Modell. Verstehe.

Aber ohne Hyperraum? Das wäre ja so als würde ich sagen: Ich habe eine Fläche, die ist nur Fläche, hat keine Auslenkung in 3D. Also z. B. im x, y, z - Koordinatensystem die Fläche mit z=0. So. Und nun soll diese Fläche eine Krümmung aufweisen, so dass ich vom einen Ende direkt auf dem anderen Ende lande. Das geht doch nicht. :-/
Aber ok, wie Geku schreibt: Ihr habt ja als dritte Koordinate die Zeit gelassen. Aber irgendwie raff ich es immer noch nicht....

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Nochmal zusammenfassend

S²: 2-dim. Kugeloberfläche, unabhängig von einer Einbettung
S³: 3-dim. Analogon zur Kugeloberfläche, unabhängig von einer Einbettung, nicht mehr anschaulich vorstellbar

S² = Rand(B³): 2-dim. Kugeloberfläche als Rand eines Balles im 3-dim. Raum, d.h. mit Einbettung
S³: Rand eines Balles im 4-dim. Raum, d.h. mit Einbettung, nicht mehr anschaulich vorstellbar

Analog dazu:
S²: man nehme eine Kreisfläche B² aus Gummi und stülpe sie so über einen Ball B³, dass sie diesen ohne Lücke überdeckt

Einstein-Universum: S³ * R, d.h. die obige S³ mit einer zusätzlichen reellen Zeitkoordinate, d.h. insgs. 4-dim

Analogon zu Einstein-Universum um eine Dimension vermindert: S² * R, d.h. die obige S² = Kugeloberfläche mit einer zusätzlichen reellen Zeitkoordinate, d.h. insgs. 3-dim

Dieses Analogon mit Einbettung: die obige S² = Kugeloberfläche eingebettet in einen 3-dim. Raum, plus die zusätzlichen reellen Zeitkoordinate, d.h. insgs. 4-dim (eine davon Artefakt der Einbettung)

Letzteres zeigt auch schön den Unterschied zwischen einem Einstein- und einem expandierenden Universum: im ersten Fall ist die S² immer gleich groß, um zweiten Fall wird sie quasi aufgeblasen (wichtig: die Expansion weg vom Zentrum ist wieder ein Artefakt der Einbettung).

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Das geht.

Stell die die Erde bzw. einen Globus vor. Statt des Globus zeichnest du nun flache Karten in einen Atlas. Wie du sicher weißt, können diese nicht zugleich längen-, flächen- und winkeltreu sein; das ist ein Resultat der Krümmung der Oberfläche des Globus. Nun entscheidest du dich für eine winkeltreue Abbildung, z.B. die Mercator-Projektion. Hier schneiden sich Längen- und Breitengrade immer im rechten Winkel, sowohl auf der Karte als auch auf dem Globus. Die Projektion kann so angepasst werden, dass Abstände entlang der Längengrade unverzerrt sind, jedoch sind die Abstände entlang der Breitengrade hin zum Pol immer stärker versetzt. Um diesen Effekt der Krümmung zu korrigieren, schreibst du an jeden Breitengrad die tatsächliche Länge.

Nimm an, die Karte sei rechteckig mit den Abmessungen Breite * Höhe = 20 cm * 10 cm. Jeder Breitenkreis entspricht auf der Karte einer Linie vom linken zum rechten Kartenrand. Jeder Längenkreis entspricht auf der Karte insgesamt zwei Linien, eine geht vom Nordpol zum Südpol, die zweite wieder zurück zum Nordpol (dazwischen liegen 180°, z.B. 0° => Greenwich, 180° => Datumsgrenze). Ein halber Längenkreis von Nordpol zu Südpol entspricht dem halben Erdumfang, auf der Karte sind dies 10 cm. Der Äquatorialkreis vom linken zum rechten Kartenrand entspricht dem ganzen Erdumfang, auf der Karte sind dies 20 cm.

Geht vom Äquatorialkreis weg in Richtung eines Poles, so bleiben die Linien 20 cm lang, die tatsächliche Länge gemessen entlang eines Breitenkreises nimmt jedoch ab. Der Nordpol entspricht auf der Karte einer Linie von 20 cm Länge, seine Ausdehnung ist jedoch Null (die Karte hat hier eine Singularität, die Erde jedoch nicht ;-).

Nun schreibst du an jeden Längenkreis 10 cm, an jeden Breitenkreis die tatsächliche Länge, am Äquator 20 cm, am Pol 0 cm; die LKänmge als Funktion der geographischen Breite kannst du mittels Winkelfunktionen recht einfach ausrechnen.

Zuletzt müsstest du noch für zwei Punktepaare auf dem Globus die kürzeste Verbindungslinie auf der Karte einzeichnen (auf der Karte ist das keine Gerade!!) und den tatsächlichen Abstand dazuschreiben. Das kannst du natürlich nicht für alle Punktepaare durchführen, sonst wird die Karte zu voll gekritzelt, jedoch für einige die dich interessieren.

Die Zusammenfassung von Koordinatensystem (Längen- und Breitengraden) sowie die Längen zwischen Punkten (mit jeweils gegebenen Koordinaten) entspricht der Metrik. Die Notation der Metrik in der ART ist sehr kompakt, sie fasst all dieses in einer einzigen Formel zusammen.

Und sie enthält letztlich die Information über die Krümmung, die du ohne Einbettung nicht graphisch darstellen kannst, jedoch über diese Zusatzinformation der Abstände erfasst.

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Also da geh ich nicht mit. Man kann doch keine 2D Kugeloberfläche bilden ohne eine dritte Dimension. Die 2D Oberfläche ist dann gekrümmt in der dritten Dimension.

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Doch, kann man. Gauß, Riemann u.a. haben die notwendige Mathematik entwickelt. Kein Mathematiker und kein Physiker betrachtet hier eine Einbettung.

Es ist ausreichend, die Geometrie der Fläche zu betrachten. Und wie das funktioniert, habe ich in meinem letzten Beitrag skizziert.

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https://de.m.wikipedia.org/wiki/Raumkr%C3%BCmmung

https://m.youtube.com/watch?v=Hl4AqfJUp6c

Die Kugeloberfläche ist im Raum gekrümmt.

Je mehr Masse und Energie im Raum vorhanden ist, umso stärker krümmt sich der Raum.
Je weiter sich das Universum ausdehnt, umso stärker verdünnt sich Energie und Materie, umso kleiner wird die Krümmung. Die Krümmung ist der Kebrwert des Kugelradius.

https://de.m.wikipedia.org/wiki/Kr%C3%BCmmung

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Das ist zwar richtig, allerdings keinesfalls trivial.

Von der Mathematik her sollte man da idealerweise zuerst die gausssche Flächentheorie studieren und dann die Abstraktion zur riemannschen Geometrie hin nachvollziehen.

Auch im Studium gewährt man den Studenten für diese Thematik mehr als einen Tag, um das nachzuvollziehen, begleitet von diverser Literatur.

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Stimmt.

Stimmt.

Stimmt.

Aber die Studenten wehren sich nicht ;-)

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Wie oben gesagt kann man das so sehen, aber im Kontext der Riemannschen Geometrie und der ART ist das unnötig. Niemand tut das.

Solange du die Mathematik dahinter nicht verstanden hast, ist die physikalische Abwendung noch nicht spruchreif.

Und du musst mir dazu nichts verlinken, ich habe Physik mit Schwerpunkt theoretische Physik studiert ;-)

Magst du es jetzt verstehen? Dann lies doch bitte mal meinen längeren Beitrag oben durch.

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Ja, gern. Deine Texte sind spitze. Den ersten (S2, S3 etc.) verstehe ich so weit - wenn ich den ersten Satz erst mal überspringe.
Der zweite ist wirklich gut. Aber die Sachlage schwer zu verstehen.

Hat die Mercator-Projektion auch überall den gleichen Wert für die Krümmung, wie die Kugeloberfläche?

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Danke ;-)

Du darfst „verstehen“ nicht mit „anschaulich vorstellen“ verwechseln. Gerade in der Mathematik geht es häufig um abstrakte Strukturen und Zusammenhänge, die anschaulich nicht zugänglich sind.

Zum Beispiel kannst du dir die 2-dim. Kugeloberfläche eingebettet anschaulich vorstellen, aber das ist nicht notwendig. Im Falle eines gekrümmten 3-dim. Raumes ist es auch nicht sinnvoll, denn das kannst du dir ohnehin nie anschaulich vorstellen.

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Die Mercator-Projektion alleine liefert nur ein Bild des Globus auf einer flachen Karte. Um Informationen zur Krümmung zu erhalten, benötigst du wiederum die Metrik

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Die Menschheit hat sehr lange gebraucht sich die Erde als Kugel vorzustellen. Man hat sich die Erde als Scheibe vorgestellt und über die Ränder spekuliert.

Man kann sich nicht vorstellen, dass die Einwohner von Neuseeland am Kopf stehen.

https://www.travelbook.de/fun/interk...der-welt-liegt

https://de.m.wikipedia.org/wiki/Flache_Erde

Auf die Kugelform der Erde könnte man durch den Vergleich der Ausrichtung zweier Lote an weit auseinanderliegen Orten schließen. Die Lote verlaufen nicht mehr parallel. Der Winkel nimmt mit der Entfernung zu. Die Lote verlaufen orthogonal zur Oberfläche.

Wie sieht das bei einer Dimension mehr (Raumzeit) aus?

Könnte es nicht sein, dass die Rotverschiebung ein solcher Hinweis ist?
Je weiter Galaxien entfernt sind umso größer ist die Rotverschiebung.
Wenn die Zeitachse orthogonal zu den Raumachsen steht, dann würde die Zeitachse mit zunehmender Entfernung an Parallelität verlieren, was die Rotverschiebung bewirkt.

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Man kann sich die Winkelsumme in Dreiecken ansehen. Ist diese nicht mehr gleich 180°, hat man keine euklidische Geometrie mehr.

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Da würde Eratosthenes dir zustimmen.
http://www.tiburski.de/cybernautensh...atosthenes.htm

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Erstaunlich wie genau Eratosthenes vor über 2000 Jahren den Radius der Erdkugel vermessen konnte. Danke für den interessanten Link!
Auf der anderen Seite ist es traurig, dass viel Menschen sterben mussten, weil nur die Meinung zulässig war, dass die Erde eine Scheibe ist und im Zentrum des Universums steht.

Wie lässt sich die Krümmung des Universums messen und falls eine Kugel deren Radius bestimmen?

Wenn jeder Stern, wie durch die Sonne (dort wurde es 1919 bei ein Sonnenfinsternis gemessen) die Lichtstrahlen "verbiegt", dann müsst der Lichtstrahl bei jedem weiteren passieren eines Sternes weiter verbogen werden und im Extremfall am Ort der Entstehung wieder eintreffen. (natürlich abgesehen von der Dämpfung, Aufweitung und der Laufzeit des Lichtrahls)

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Hättet ihr eine Formel (g my ny) oder einen Link wo es steht zur Metrik

- der Erdoberfläche als S2
- der Marcator-Projektion
- des Einstein-Universums?

Wahrscheinlich sagt eine Formel mehr als 1000 Worte. Ich verstehe nämlich nicht, ob das (Erdoberfläche in S2 und Mercator-Projektion) tatsächlich das gleiche ist oder nicht.

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Ich glaube, Bernhard hat schon auf die Winkelsumme im Dreieck hingewiesen. Bei einer 3-Sphäre ist diese > 180°. Daraus ist prinzipiell der Radius berechenbar.

Beispiel. Man kennt die Eigenlänge einer bestimmten Struktur im Mikrowellenhintergrund. Diese erscheint heute unter einem Winkel von 1°. Berücksichtigt man die Expansion des Universums, entspricht das einer Winkelsumme von ~180°.

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Das ist richtig. Und gleichbedeutend mit der Aussage, dass entferntere Objekte sich schneller wegbewegen. Eine gedrehte Zeitachse ist ja gleichbedeutend mit Geschwindigkeit.

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Die Metrik von S2 ist ds²=r²(d\theta²+sin(theta)d\phi²). Da in einer Mercator-Projektion auch theta und phi aufgetragen sind, gilt sie auch dafür.
Im Einstein-Universum ist der Raum dreidimensional, du hast die Metrik von S3.
ds²=R²(d\xi²+sin(\xi)²(d\theta²+sin(theta)d\p hi²)).

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Ich vermute die Geschwindigkeit wird durch Ausdehnung des Raumes verursacht, in dem die Sterne eingebettet sind. Diese Bewegung wird durch die Eigenbewegung überlagert. Darunter fällt z.B. die Bewegung der Sterne um das galaktische Zentrum.

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Ich bin mir gerade nicht mehr sicher, dass ich dich richtig verstanden hatte. Hast du von einem statischen Universum gesprochen? Dann war meine Antwort falsch.

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Ich habe von einem sich ausdehnenden Universum gesprochen. Ein Universum mit einem Anfang der Zeit und einer Ausdehnung in Raum und Zeit.

Alle vier Achsen der Raumzeit sind orthogonal zu einander. Wir "wandern" gezwungenermaßen auf der Zeitachse mit der Zeit, ohne uns im Raum bewegen zu müssen. Ein weit entfernes Objekt erfährt die gleiche Bewegung in seiner Zeit (in seiner eigenen Zeitrichtung!). Das Kreissegment in der Raumzeit zwischen den beiden Objekten vergrößert sich durch diese Ausdehnung. Das bewirkt eine Geschwindigkeit, die die Eigenbewegungen der beiden Objekte überlagert.

Das Licht (Welle oder Photonen) bewegt sich orthogonal zur Zeitachse. Daher vergeht die Zeit laut ART nicht und das abgestrahlte Licht macht auch unsere Bewegung in der Zeit nicht mit.

Einem weit entfernten Objekt begegnet das Licht mit seiner eigenen orthogonalen Zeitachse.
Der Winkel zwischen den Zeitachsen der beiden Objekte bestimmt die Rotverschiebung. Man denke an die verlängerte Achse bei einem schrägen Kegelschnitt. So verlängert sich für das Zielobjekt die Wellenlänge des Lichtes.

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Im Prinzip ja, aber ein paar Punkte möchte ich kommentieren:
- Die Achsen der Raumzeit kann man beliebig wählen, aber in expandierenden FRW-Koordinaten sind sie alle senkrecht aufeinander.
- "Mitbewegte" Objekte bewegen sich auf diesen Linien. Wir haben dazu ~300 km/s Geschwindigkeit.
- Das Kreissegment ist eigentlich ein Hyperbelsegment. Wegen der Energiedichte im Universum kommt es aber ziemlich gerade raus.
- Das "bewirkt" keine Geschwindigkeit im Sinne einer Kausalbeziehung. Es beschreibt einfach Objekte, die sich auseinanderbewegen.

Lichtartige Linien sind nicht linear unabhängig von der Zeitachse, in dem Sinne auch nicht orthogonal. Es vergeht keine Zeit, weil sie Nulllinien sind, das ist unabhängig von der Wahl einer Zeitachse.

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Die 300km/s ist die Geschwindigkeit unseres Sonnensystem um das galaktische Zentrum.
Aus dem letzten Kommentar werde ich nicht schlau. Ist meinem Mangel an der Fachsprache geschuldet.

Danke für die Kommentierung!

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Nein. Das ist die Geschwindigkeit der Erde relativ zum Bezugssystem des kosmischen Mikrowellenhintergrundes. Diese kann gemessen werden:

https://www.inaoep.mx/~itziar/clases/cmb10_2.pdf

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Ich weiß nicht, wo deine Kenntnisse anfangen oder aufhören. Dir ist bekannt, dass es Vektoren der "Länge" Null gibt? Die heißen "lichtartig", und ein solcher Vektor ist trotzdem nicht orthogonal zu sich selbst. Für alle lichtartigen Vektoren gilt eben definitionsgemäß, dass keine Eigenzeit vergeht. Trotzdem kann man aus zwei lichtartigen einen zeitartigen Vektor zusammensetzen, was nicht möglich wäre, wenn sie orthogonal zu diesem wären.

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Ich habe einen technisch orientierten Maturaabschluß. Vektoren sind mir ein Begriff.
Die Begriffe Nullvektor (Vektor mit der Länge 0 ?) und "Lineare Unabhängigkeit" kann ich nachgoogeln und so mein Verständnis erweitern. Danke für eure Hilfe und Geduld.

Ich hatte einen allseits gefürchten Professor in Physik (er behaupte ein Schüler von Schrödinger gewesen zu sein). Er legte sehr großen Wert auf eine extrakte Ausdrucksweise *).
Wen man bei ihm sagte, man fuhr mit 50kmh (statt 50km/h), dann war man unten durch. So hat er mein Interesse an Physik geweckt. Leider musst er sich an den Lehrplan und an das Niveau des HTLs halten. Physik alleine hätte nicht gereicht, es muss das einsprechende mathematische Wissen verfügbar sein!

*) Der Kommentar ""Das "bewirkt" keine Geschwindigkeit im Sinne einer Kausalbeziehung. Es*beschreibt*einfach Objekte, die sich auseinanderbewegen" hätte von ihm stammen können.

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Vorsicht, hier geht es um eine Eigenart des Minkowskiraums. Der exakte Begriff für einen solchen Vektor heißt "lichtartig". Weil man die "Länge" nicht über den Pythagoras s²=t²+x²+y²+z² berechnet, sondern über s²= -t²+x²+y²+z², kann das auch 0 werden, wenn der Vektor selbst von 0 verschieden ist.
Es ist weit verbreitet, dass man der "Raumausdehnung" zuschreibt, sie hätte irgendwelche Wirkungen auf Körper. Dass sie z.B. alles auseinandertreibe, was nicht gravitativ gebunden ist. Es war über ein paar Jahre ein Steckenpferd von mir, gegen diese falsche Vorstellung anzuschreiben. Deswegen meine Anmerkung.
Die Expansion des Universums unterscheidet sich in nichts von einem einfachen Auseinanderbewegen, zumindest solange es nicht um die Topologie des Universums insgesamt geht. Natürlich wird die Expansion selbst von Gravitation angetrieben oder gebremst, und diese Gravitation hat durchaus prinzipiell messbare Auswirkungen.

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Wenn ich es richtig verstanden habe, dann kann s im Gegensatz zum Pythagoras nicht nur 0 , sondern auch ein komplexer Wert sein. Der Vektor kann, trotz s = 0, da t,x,y,z ungleich 0 sind eine Richtung besitzen.

Ich bin davon ausgegangen, dass sich die Abstände durch die Expansion nicht auf die Größe der Atome (auf Quantenebene) auswirkt, sondern nur im Abstand der Himmelskörper. Vergleichbar mit einer Eplosion, bei der sich das Gas ausdeht.

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So ist es. Du kannst z.B. aus den zwei lichtartigen Vektoren (t,x)=(1,1) und (1,-1) einen zeitartigen Vektor (2,0) zusammensetzen. Die sind also nicht linear unabhängig voneinander.

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Genau.

Ebenfalls korrekt :) .

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Da das uU mißverstanden werden kann:

(1,1) und (1,-1) sind linear unabhängig, aber (2,0) ist linear abhängig von den beiden genannten.

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Genauer: s² kann < 0, = 0 oder > 0 sein. Damit kann s imaginär, 0 oder reell sein - nicht beliebig komplex.

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Hatte ich übersehen. Danke.

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Wenn t imaginärist dann geht die Formel für den euklidischen Raum in in Minkovskyraum über.

Pythagoras s²=(jt)²+x²+y²+z² => s²= -t²+x²+y²+z² da j² = -1

Warum wird die Zeitachse imagiär angenommen bzw. das Universum als Minkovskyraum betrachtet?

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Diese Darstellung mit imaginärere Zeitkoordinate (it) ist in der Literatur unüblich. Man verwendet reelle Koordinaten (t,x,y,z) und eine reelle Metrik, z.B. diag(-1,+1,+1,+1) mit s² = -t² + x² + y + z².

Das Universum wird nicht als Minkowski-Raumzeit betrachtet, sondern als allgemein pseudo-Riemannsche Mannigfaktigkeit. Die Minkowski-Raumzeit ist ein Spezialfall, nämlich der der flachen Raumzeit (insbs. in der speziellen Relativitätstheorie).

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Bzw. hoffnungslos veraltet.

Es gibt oder gab tatsächlich Literatur, wo das verwendet wurde. Heute kann man auf diese verwirrende Konvention zum Glück sehr gut verzichten.

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Es geht hier eben um die raumzeitliche 4D-Minkowskimetrik mit entgegengesetzter Signatur von Raum und Zeit, definiert über ein Pseudo-Skalarprodukt.
Vermessen wird diese Raumzeit mit Lichtstrahlen, daher kann s^2 negativ, null oder positiv sein. Es ist negativ, wenn Lichtstrahlen Raumzeitpunkte nicht erreichen kann. In 4D bewegt sich gewissermaßen alles mit Lichtgeschwindigkeit, im raumnartigen Kegel hast du die Chance, mit 3D-Lichtgeschwindigkeit alle Punkte zu erreichen, bis zur Grenze der Lichtgeschwindigkeit, das ist auch Kausalität, weil sich 3D nichts schneller als Licht bewegen kann.

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Weil das die eleganteste und sinnvollste Erklärung für die beochteten Phänomene ist. Interessant und historisch wichtig ist der Originalvortrag von Minkowski.

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Aha. Vielen Dank! Also ist die Krümmung, der metrische Tensor, in der Mercator-Projektion (die ja wirklich rein 2D ist) und auf der Kugeloberfläche die gleiche. Interessant.

Ich stelle mir die Art Krümmung in der Mercator-Projektion immer als eine "Dichteänderung" vor. Ist das korrekt? Spricht irgendwas dagegen?

Die Mercator-Projektion hat an den Polen eine "bösartige" Singularität. (Ich glaube, das heißt eigentlich anders...) Die Kugeloberfläche hat an den Polen keine bösartige, sondern nur eine "Koordinatensingularität" (dieser Begriff ist glaub ich korrekt).

Eine von Stephen Hawkings Errungenschaften war es glaub ich zu zeigen, dass ein schwarzes Loch nur eine Koordinatensingularität ist und keine bösartige. Wie hat er das gezeigt!? Und was bedeutet das überhaupt? Und kommt er dabei ohne zusätzliche Dimensionen aus, also reicht es, die Zeit als vierte Dimension zu haben um zu zeigen, dass das SL nur eine Koordinatensingularität ist?

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Und jetzt mal noch was Verrücktes: Die Mercator-Projektion hat an beiden Polen eine Singularität. Ein schwarzes Loch ist eine Singularität. Kommt es euch auch manchmal so vor, als wäre die Relativitätstheorie, so wie wir sie momentan verstehen, eine einbeinige Theorie, als würde sie nicht mit zwei Füßen auf der Erde stehen, weil die zweite Singularität am anderen Ende fehlt? Der Minkowskiraum als Grenzwert ist doch viel zu harmlos als Gegenstück für ein schwarzes Loch.

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Der Begriff "bösartig" wird in diesem Zusammenhang eigentlich überhaupt nicht verwendet, aber ich denke, es ist klar, wie es gemeint ist.

Es bedeutet, dass die Physik an diesen Stellen noch korrekt beschreibbar ist.

Das gilt übrigens "nur" für den oder die Ereignishorizont(e) des Schwarzen Loches.

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EDIT: Solange man die Relativitätstheorie nicht anhand von weltanschaulichen Überlegungen bewertet, gibt es auch keine Probleme damit.