Math DZGL Katalog
 

Hi

Im Folgenden moechte ich mal einige Loesungen (nichtlinearer) DZGL's zusammenstellen, die sich im Laufe der Zeit so ergaben. Ebenso einen Platz schaffen um weitere loesbare DZGL's die sich synthesieren lassen zu dokumentieren. Allerdings weiss ich noch nicht ob ich lediglich die Loesung angeben soll oder auch kurz den Loesungsweg.

Gruesse

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Fibonacci DZGL
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f[k]=f[k-1]+f[k-2]

f0=1, f1=1

Loesungsweg A
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Loesung von Binet

Loesung:
******
http://upload.wikimedia.org/math/5/5...74d832b354.png
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mit

http://upload.wikimedia.org/math/8/4...062e0b431c.png

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Loesungsweg B
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Z-Transformation oder
Maple:
lsg:=rsolve({y(n+2)=y(n+1)+y(n), y(0)=1,y(1)=1},y(n));
evalc(lsg);

http://home.arcor.de/richardon/2011/maple3.gif

Darstellung in der komplexen Ebene
complexplot(lsg,n=0..5);

http://home.arcor.de/richardon/2011/maple2.gif

complexplot(lsg,n=-6..4);

http://home.arcor.de/richardon/richy...fibspirale.gif

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"Kuehlschrank" DZGL
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f[k+2]=f[k+1]+2*f[k]
f0=1,f1=2

Loesung :
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y[k]=2^k

lsg:=rsolve({y(n+2)=y(n+1)+2*y(n), y(0)=1,y(1)=2},y(n));

Synthese :
********
ueber die verallgemeinerte Fibonacci DZGL (folgt noch)

Namensursprung :

http://www.quanten.de/forum/showthre...t=Kuehlschrank

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"Mersenne" DZGL
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f[k+2]=f[k+1]+2*f[k]+2
f0=0,f1=1

Loesung :
*******
f[k]=2^k-1

Loesungsweg :
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Substitution
f[k]=z[k]-1
z[k+2]-1=z[k+1]-1+2*(z[k]-1)+2

fuehrt auf die "Kuehlschrankform"
z[k+2]=z[k+1]+2*z[k]

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"Phi" DZGL (Kettenbruchform)
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f[k+1]=1+1/f[k]
f0=1

Loesung :
*******

(Phi^(k+1)+phi^(k+1))
----------------------- =f[k]
(Phi^(k)+phi^(k))

Phi=1-phi=(1-sqrt(5))/2

(index muss noch geprueft werden)

Loesungsweg :
***********
Substitution
f[k]=z[k+1]/z[k]

fuehrt auf die "Fibonacci DZGL"

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Hallo,

ich kann Differenzengleichungen noch nicht lesen,
aber was ist mit der allgemeinen Formel für Phi:

http://upload.wikimedia.org/wikipedi...f584b2d46b.png

, die sich aus der Vorgabe (a+b)/a = a/b ergibt ?

Tut diese schlichte Formel hier nichts zur Sache,
weil es um's elegantere oder allgemeinere Herleiten per DZGL geht?


Gruß, Merman

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Hi merman
Woher hast du dieser Gleichung ? Phi ist ein fester Zahlenwert. In dieser Gleichung jedoch nicht. Der Wert ist die Loesung von :
x^2=x+1
oder umgeformt
x=1+1/x
und eine verkettete Loesungsmethode liefert ueber den Fixpunktsatz :
x[k+1]=1+1/x[k], x0=1
Diese Iteration konvergiert gegen Phi. Aber wie verhaelt sich die Iteration genau ? Es gibt fuer eine nichtlineare DZGL in der Regel keine expliziten Loesungsmethode. Mein Katalog soll einige darstellen. Er ist noch lange nicht fertig. Es gibt einen weiteren Weg diese Reihe herzuleiten. Ueber die Fibonacci Reihe. Und da diese linear sind ist deren Loesung bekannt und damit kann man die Phi DZGL loesen.

Gruesse

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Hi richy,

habe die Gleichung nach der Vorgabe des goldenen Schnittes (a+b)/a = a/b
selber hergeleitet, habe sie dann bei wiki (unter Diskussion) gepostet, um sie hier hoch zu laden.

In dieser Gleichung kann man jede Zahl einsetzen, das Ergebnis ist immer Phi.

Ich vermute, dass die Formel hier beim DZGL-Katalog nichts zur Sache tut.

Habe mir deine Plots angesehen, complexplot(lsg,n=0..5) und complexplot(lsg,n=-6..4), ... sehen gut aus, verdammt, sowas will ich auch können.

(Ich kann beim Betrachten von complexplot(lsg,n=-6..4) nicht ganz ausblenden, dass die Kurve aussieht, wie der Blick in ein Füllhorn, welches nach unten rechts wegbiegt :- )

(Überhaupt, ... müsste doch auch die Seitenansicht einer räumlichen Spirale (complexplot(lsg,n=0..5) eine Art Sinuskurve ergeben, insofern wäre doch interessant, ob elmag. Starhlung tatsächlich schwingt, oder eher entlang der Zeitachse kreiselt, ausgelöst z.B. von einem Elektron, als Kreisel (<- Spin))

Ich muss z.Zt. meinem Linuxrechner unter C- Programmierung erstmal beibringen (Headerdatei finden und einbinden) überhaupt Koordinaten zu zeichnen.

Aber das wird schon, ...

Wie du siehst ist mein Umgang mit Mathematik unbedarft, und es macht mir dabei ungeheuren Spass selber zu entdecken.
Gemessen an deinen Kenntnissen, bewege ich mich aber eher im Trivialen.

Ich habe unter dem youtube-Thread deine und Marco Polos Beiträge um "La Paloma" herum gelesen:
Frage: Ist Mathe dein Vergnügen, ... so nebenbei?
Kannst du vom Musizieren leben, wenn ja, dann Allerherzlichsten, und dickes toitoitoi hinterher, ditt hättick ooch gean.

Aber zurück zu den DZGLs,

Gruß Merman

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"Kuehlschrank" Kette
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f[k+1]=1+2/f[k]
f0=1,f1=2

Loesung :
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y[k]=2

trivial