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richy 23.11.11 00:06

Diskussion DZGL
 
Hi Merman
Den Katalog will ich nicht allzusehr vollsschreiben, damit er uebersichtlich bleibt.

Zitat:

In dieser Gleichung kann man jede Zahl einsetzen, das Ergebnis ist immer Phi.
Das waere ein Wunder.
"Deine" Gleichung ergibt nur fuer x=1 den goldenen Schnitt.
Es gibt sehr sehr viel Darstellungen fuer diesen Zahlenwert.
Man muss einfach die Gleichung x^2-x-1 Loesen:
x1/2 =
1/2+-Wurzel(1/4+1)=
1/2+-Wurzel(1/4+1)=
1/2+-Wurzel(5)/2

Zitat:

dass die Kurve aussieht, wie der Blick in ein Füllhorn, welches nach unten rechts wegbiegt :- )
In der Natur spielt der goldene Schnitt auch bei Spiralen eine Rolle. Somit wohl kein Zufall.
Die Loesung besteht aus einer Sinus und Cosinusschwingung, wobei der Sinus recht schnell ausgedaepft wird. Und diese treffen die reelle Achse bei ganzen Zahlen. Die Schnecke ergibt sich fuer negative Zahlen.
Zitat:

Frage: Ist Mathe dein Vergnügen, ... so nebenbei?
An der Uni hatte ich damit zu tun. Aber jetzt ist es nur Hobby. Und diese Form war schon immer mein Hobby.
Zitat:

Kannst du vom Musizieren leben,
Gerad noch so. Aber wohl nichtmehr lange. Ein H4 hat mehr Einkommen als ich momentan. Vor allem regelmaessiger.
Zitat:

wenn ja, dann Allerherzlichsten, und dickes toitoitoi hinterher, ditt hättick ooch gean.
Vielen Dank und Gruesse

mermanview 23.11.11 12:27

AW: Diskussion DZGL
 
.. um den DZGL Katalog nicht zu sehr zerstückeln, setze ich unter eigenem Thread fort (goldener Schnitt o.ä.)

Edit:

Mist, das hier war ja schon ein neuer Thread, ich dachte ich wär im DZGL Katalog,
ich hätte garkeinen eigenen aufmachen müssen, naja ich versuche alles hier rüber zu schieben,

Merman

soon 23.11.11 13:29

AW: Diskussion DZGL
 
Zitat:

Zitat von richy (Beitrag 64803)
Das waere ein Wunder.

Doch, das stimmt schon. (wenn ich richtig umgeformt habe)

Link

Gruss

mermanview 23.11.11 15:16

AW: Diskussion DZGL
 
Noch mal :

Fortsetzung bezügl. Fragen aus richy's DZGL - Katalog:

Habe gesehen, dass es laut Wiki viele Phi für viele Bereiche gibt(Physiker, Elektroniker, Informatiker usw)

Das in der Mathematik besprochene wird wohl Symbol-technisch unterschieden in das große Phi , für den goldenen Schnitt,
und das kleine Phi der eulersche Funktion und das große Phi des gauß'schen Fehlintegrals.

Das von mir gewählte habe ich vom "glodenenSchnitt - Phi" abgeleitet, es ergibt sich aus dem Verhältnis:

(a+b)/a = a/b

Ein Längeverhältnis, z.B. für die beiden Seitenlängen eines Vierecks, welches man den goldenen Schnitt nennt.

In meiner Umformung und Herleitung ergibt sich für das Verhältnis Phi = a/b und =(a+b)/a, folgende Formel :

b = wurzel(a^2 + (a/2)^2) - a/2, da Phi = a/b, lässt sich a mit x verallgemeinern, so ergibt sich:

http://upload.wikimedia.org/wikipedi...f584b2d46b.png


... das Ergebnis ist (laut MS Taschenrechner) bis zu 30 möglichen Nachkommastellen für alle eingesetzten bisher (1 - 17) natürlichen Zahlen gleich:

das große Phi (goldener Schnitt): 1,6180339887498948482045868343656

( das gleiche Ergebnis, welches auch die herkömmliche Formel ergibt : 1+ Wurzel(5)/2.)

Die Fibonaccifolge nähert als Quotient zweier aufeinanderfolgender Iterationsschritte wohl auch diese Verhältniszahl.

Veranschaulichung zu Fibonacci (von Wikipedia):

http://upload.wikimedia.org/wikipedi...Blocks.svg.png

(Obwohl viereckig, man erkennt bereits die Spirale)

Das hier beschriebene stammt aus meinem nun überflüssigen eigenen Thread, wurde also vor soons Antwort geschrieben.

soon, bedankt

Gruß Merman

richy 23.11.11 18:42

AW: Diskussion DZGL
 
Hi Merman
Ok es waere kein Wunder, denn x kann man im Nenner ausklammern und kuerzt sich dann mit dem Zaehler. Deshalb frage ich mich aber auch warum du es ueberhaupt verwendest.
Gruesse

richy 23.11.11 19:00

AW: Diskussion DZGL
 
Zum goldenen Schnitt

Das ist nun eher Zufall, dass dieser eine Rolle spielt. Ich bin einfach mal von einer elementaren wichtigen DZGL ausgegangen. Der Fibonacci Folge. Und diese kann man wie du bereits siehst verallgemeinern. Ueber Faktoren und ueber die Anfangswerte. (Das ist alles bekannt) Ich habe 2008 spezielle Faelle betrachtet will diese nur nochmal zusammenstellen, weil ich weitere Loesungsmoeglichkeiten fuer Gleichungen anderer Form gefunden habe.

Eine modifizierte Fib Folge ist besonders interessant. Die mit der Loesung 2^k-^1. Die ist damit verwandt zu den Mersenne Primzahlen. Dazu hatte ich mal einen eigenen Thread aufgemacht :
http://www.quanten.de/forum/showthre...light=Mersenne
Eine Problematik stellt dann fib(a*b) dar. Und dieser Zusammenhang ist schon wenigstens einem Mathecrack aufgefallen :
http://www.quanten.de/forum/showthre...light=Mersenne
http://de.wikipedia.org/wiki/Benutzer:Helmut_Rasinger
Aber ich meine er ist wie ich auch nicht viel weiter gekommen. Das mit den Fib Zahlen ist auch so eine Sache. Da wird seit hunderten Jahren gerechnet und geforscht. Fuehre mal eine Statistik der ersten Ziffer der Fib Zahlen. Du wirst dich wundern :-)
Ah genau dies war bei Raisinger noch interessant :
Zitat:

Über logische Verbindungen bei Primzahlen. In einem Buch über Fermat (Quelle? Singh) wurde erzählt, daß autistische Zwillingsbrüder sich damit amüsierten, sich gegenseitig große Primzahlen mitzuteilen. (Fortsetzung später ..., muß zuerst nachlesen.)
Koennte natuerlich auch ironisch gemeint sein. Primzahlzwillinge !


Mein Ziel waere es zu versuchen die Verhulst Gleichung in eine lineare DZGL 2 ter Ordnung umzuformen. Das Teil ist aber ungemein stoerrsich. Vielleicht geht es ueberhaupt nicht. Ich meine eine Loesung fuer 3 oder 1 + Wurzel(5) waere eventuell noch drin. Obwohl ich die ganzen Problematiken schon sehe.

Viele Gruesse

richy 02.12.11 15:24

AW: Diskussion DZGL
 
Hi
Nachdem ich nun 2 Nachte von der zentrierten Verhulst DZGL getraeumt habe versuch ich mal folgendes um diese auf die Fib Form zu bringen :

x(k+1) = 1/2*r*(x(k)-1)*(x(k)+1)+1
****************************
x0=-1..1

Loesungen :
*********
r:=2
x(k)=exp(2^(k)*ln|x0|) (strebt gegen 0)
*****************

Zuerst muss ich versuchen das x0 in der Fib Form zu implementieren. In dieser gibt es feste Vorgaben fuer die Anfangswerte. Scheiter dies ist dieser Weg soundso keine Loesung :
Wie kann ich in der Kuehlschrankgleichung x0 durch ein k implementieren ?

Kuehlschrankform :
f(n+2)=f(n+1)+2*f(n), f(0)=1, f(1)=2
Loesung : 2^n
**************

Herr MAPLE walten sie ihres Amtes ! :-)
1 Versuch :
sg:=rsolve({y(n+2)=y(n+1)+2*y(n), y(0)=1,y(1)=[b]2*k},y(n));
Herr MAPLE bitte mehr konzentration !
(MAPLE : Seggel. Sie haben das doch eingetippt)

2 Versuch :
sg:=rsolve({y(n+2)=y(n+1)+2*y(n), y(0)=k,y(1)=2*k},y(n));

TREFFER !
lsg := k*2^n
=>
Aufnahme in den Katalog
http://www.quanten.de/forum/showpost...9&postcount=14


Der Weg ist somit gangbar. Und man sieht alleine jetzt schon, dass ein Verhaeltnis wie y(1)/y(0) nicht Frage kommt.

richy 03.12.11 03:21

AW: Diskussion DZGL
 
Auf was moechte ich zusteuern ?

Eine DZGL 2 ter Ordnung die das selbe Ergebnis liefert, wie eine loesbare Verhulst Gleichung.
Ausgangspunkt sei die Kuehlschrankgleichung :

f(n+2)=f(n+1)+2*f(n), f(0)=k, f(1)=2*k
Loesung : y(n)=k*2^n

Die zentrierte VDZGL fuer r=2 ist aehnlich
x(n+1)=x(n)^2
Loesung : x(n)=exp(ln|x0|*2^n)=exp(k*2^n) mit k= ln|x0|

Sei ein f(n) gegeben so stellt z(k)=exp(f(n)) den Wert fuer x(n) dar oder

*************
SUBSTITUTION :
f(n)=ln|x(n)|
*************
=>

f(n+1)=ln|x(n+1)|
f(n+2)=ln|x(n+2)|

Durchfuehren der Substitution (das geht locker per Hand) :

ln|x(n+2)|=ln|x(n+1)|+2*ln|x(n)|, ln|x(0)|=k, ln|x(1)|=2*k
ln|x(n+2)|=ln|x(n+1)|+2*ln|x(n)|, ln|x(0)|=ln|x(0)|, ln|x(1)|=2*ln|x(0)|
ln|x(n+2)|=ln|x(n+1)|+2*ln|x(n)|, x(0)=x(0), x(1)=x(0)^2
ln|x(n+2)|=ln|x(n+1)|+ln|x(n)^2|, x(0)=x(0), x(1)=x(0)^2
ln|x(n+2)|=ln(|x(n+1)|*|x(n)^2|), x(0)=x(0), x(1)=x(0)^2
|x(n+2)|=|x(n+1)|*|x(n)^2|, x(0)=x(0), x(1)=x(0)^2

Zitat:

x(n+2)=|x(n+1)|*x(n)^2, x(0)=x(0), x(1)=x(0)^2
(Es kann nur eine Aussage ueber den Betrag getroffen werden.)
Die DZGL ist in sich logisch
Dennoch ein Test :

Zitat:

Zitat von quellcode
> x0:=0.1; x[0]:=x0; x[1]:=x0^2;

> for n from 0 to 5 do
> x[n+2]:=abs(x[n+1])*x[n]^2;
> od;

Passt ! sitzt, wackelt und hat Spiel :-) Und ist leider eine nichtlineare DZGL.
=>
Aufnahme in den Katalog
http://www.quanten.de/forum/showpost...1&postcount=20

richy 04.12.11 03:53

AW: Diskussion DZGL
 
Sonderlich vielversprechend scheint die Form der VDZGL als DZGL 2 ter Ordnung nicht zu sein.
Aber wer weiss wozu es mal nuetzlich sein koennte.

EDIT

Fuer r=4 komme ich im Moment aufgrund der Mehrdeutigkeit nicht weiter:

richy 05.12.11 17:30

AW: Diskussion DZGL
 
Das letzte Ergebnis kann man auch sehr viel einfacher erhalten, indem man in der Ausgangsgleichung vom quadratischen Teil einen Faktor x(n) durch x(n-1) ausdrueckt.

Beispiel :

x(n+1)=x(n)^2
x(n+1)=x(n)*x(n)
x(n)=x(n-1)^2
x(n+1)=x(n)*x(n-1)^2

Da der Faktor x(n-1)^2 stets positiv ist muss nun auch x(n) stets positiv sein.

x(n+1)=|x(n)|*x(n-1)^2
*****************

Diese Verkettung kann man auch sukzessive weiterfuehren

x(n+1)=|x(n)|*|x(n-1)|*|x(n-2)|*|x(n-3)|....|x(1)|*x(0)^2

Damit laesst sich zum Beispiel der Ljapunovexponent genauer abschaetzen.
Ebenso koennte die Produktbildung als Grundlage fuer ein Loesungsverfahren dienen.


Anwenden auf den chaotischen Fall :
(nur eine Testrechnung)

x(n+1)=2*x(n)^2-1
x(n+1)+1=2*x(n)^2
x(n+1)+1=2*|x(n)|*(2*x(n-1)^2-1)

x(n+1)=2*x(n)*(2*x(n-1)^2-1)-1
**************************

Hier darf kein Betrag verwendet werden.

> v[0]:=0.1;
> f[0]:=v[0]; f[1]:=2*v[0]^2-1;

> for n from 0 to 50 do
> v[n+1]:=2*v[n]^2-1;
> f[n+2]:=4*(f[n+1])*f[n]^2-2*f[n+1]-1;
> od:
> druck:=seq([i,f[i]],i=0..100):
> druckv:=seq([i,v[i]],i=0..100):
>
> plot([druck,druckv]);

Dei Vergleichsgroessen weichen nach ca 40 Iterationen voneinander ab
Mit dem Ausdruck
f[n+2]:=2*(f[n+1])*(2*f[n]^2-1)-1;
nach etwa 100 Iterationen


SUKZESSIVE TEILVERKETTUNG:

x(n+1)+1=2*x(n)*2*x(n-1)^2 - 2*x(n)
x(n+1)+1+ 2*x(n)=2*x(n)*2*x(n-1)^2
x(n+1)+1+2*x(n)=2*x(n)*2*x(n-1)* (2*x(n-2)^2-1)
x(n+1)+1+2*x(n)+2*x(n)*2*x(n-1)=2*x(n)*2*x(n-1)* (2*x(n-2)^2)
x(n+1)+1+2*x(n)+2*x(n)*2*x(n-1)=2*x(n)*2*x(n-1)*2*x(n-2)*x(n-2)
x(n+1)+1+2*x(n)+2*x(n)*2*x(n-1)=2*x(n)*2*x(n-1)*2*x(n-2)*(2*x(n-3)^2-1)

x(n+1)+1 + 2*x(n) + 2*x(n)*2*x(n-1) + 2*x(n)*2*x(n-1)*2*x(n-2) =
2*x(n)*2*x(n-1)*2*x(n-2)*2*x(n-3)^2


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