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Culpa 08.10.21 08:28

Einstein Universe
 
Können wir bitte mal ein bisschen über das "Einstein Universe" sprechen, also das Model des Universums, das Einstein 1917 angenommen hat und das statisch ist?

In Wikipedia
https://en.m.wikipedia.org/wiki/Static_universe
(Link von Bernhard im anderen Thread)
steht zB., dieses Universum ist "closed" und hat eine positive Krümmung. Wie kann ich mir das vorstellen?

Braucht man für diese "closedness" unbedingt höhere Dimensionen?

Bedeutet diese "closedness", dass ich, wenn ich immer in eine Richtung fliege, am Startpunkt wieder ankomme?

Oder hat es nur mit "Freiheit von Löchern" zu tun, so topologisch?

Geku 08.10.21 09:03

AW: Einstein Universe
 
Man braucht den Raum nur um eine Dimension reduzieren.

Dann ist das Universum eine Kugeloberfläche. Diese Fläche ist unbegrenzt, aber nicht unendlich!
Der Radius der Kugel ist die Zeit.
Die Oberfläche expandiert mit der Zeit.

Innehalb der Kugel liegt die Vergangenheit, der Mittelpunkt ist der Urknall mit dem Beginn der Zeit (T=0). Die Kugeloberfläche ist die Gegenwart, außerhalb der Kugel liegt die Zukunft.

Licht bewegt sich auf einer Fläche tangential zur Kugeloberfläche. Die Zeit bleibt für die Lichtwelle stehen (da die Fläche senkrecht zur Zeitachse steht).

Culpa 08.10.21 09:22

AW: Einstein Universe
 
Hm... Stimmt das so? Ist das Einsteins Modell?

Dieses Modell ist nicht so wirklich eine Reduktion der Dimensionen, denn die Erdoberfläche krümmt sich ja innerhalb einer dritten räumlichen Dimension. Also diese Art Krümmung funktioniert nicht ohne zusätzliche Dimensionen. Oder?
Hm, Radius und auf der Fläche zwei Koordinaten(wohl Längen und Breitengrade) sind zumindest nicht linear abhängig. Also definieren sie den dreidimensionalen Raum.

Ich steh grade mal wieder auf dem Schlauch.

Bernhard 08.10.21 09:30

AW: Einstein Universe
 
Zitat:

Zitat von Culpa (Beitrag 96678)
Braucht man für diese "closedness" unbedingt höhere Dimensionen?

Nein. Das Einstein-Modell hat vier Dimensionen. Man kann es sich als verallgemeinerte statische Kugel mit konstantem Radius vorstellen.

Zitat:

Bedeutet diese "closedness", dass ich, wenn ich immer in eine Richtung fliege, am Startpunkt wieder ankomme?
Genauso ist das. Ja.

Culpa 08.10.21 09:55

AW: Einstein Universe
 
Ah, okok. Und da wäre dann diese positive Krümmung. Überall. Überall der gleiche Wert, wahrscheinlich, so wie bei der Kugel in 3D.

Ich kann mir das nicht vorstellen. In meinem Kopf geht nur "Fläche krümmt sich im dreidimensionalen Raum" oder "Dichteänderungen in 3D". Kann man sich diese "positive Krümmung" und gleichzeitig statisch irgendwie in 4D vorstellen?

Ich stelle mir 4D immer vor wie viele verschiedene Versionen der 3D- Welt. Die 4. Dimension ist ja die Zeit, also eine zeitliche Aneinanderreihung von 3D-Objekten.Geht ja. Kann man sich vorstellen. Quasi wie ein Film, nur mit 3D-Objekten, statt mit Bildern. Aber da ist alles gerade, nix gekrümmt. :-/

Bernhard 08.10.21 10:00

AW: Einstein Universe
 
Zitat:

Zitat von Culpa (Beitrag 96684)
Ah, okok. Und da wäre dann diese positive Krümmung. Überall. Überall der gleiche Wert, wahrscheinlich, so wie bei der Kugel in 3D.

Genau.

Zitat:

Ich kann mir das nicht vorstellen. In meinem Kopf geht nur "Fläche krümmt sich im dreidimensionalen Raum" oder "Dichteänderungen in 3D". Kann man sich diese "positive Krümmung" und gleichzeitig statisch irgendwie in 4D vorstellen?
Die Zeit-Dimension ist einfach. Die Zeit läuft unabhängig vom Raum einfach von minus unendlich bis plus unendlich.

Der 3D-Raum ist aber in sich geschlossen: Kreis (=1D), Kugeloberfäche (=2D), Einstein-Modell (=3D)

EDIT: Man darf sich den "Einstein-Raum" gerne auch als 3D-Hyperfläche in einem höherdimensionalen Einbettungsraum vorstellen, muss das aber nicht. Die Mathematik kommt ohne diese Einbettung aus.

Culpa 08.10.21 11:46

AW: Einstein Universe
 
Ok, als 3D Hyperfläche, da bin ich dann bei Gekus Modell. Verstehe.

Aber ohne Hyperraum? Das wäre ja so als würde ich sagen: Ich habe eine Fläche, die ist nur Fläche, hat keine Auslenkung in 3D. Also z. B. im x, y, z - Koordinatensystem die Fläche mit z=0. So. Und nun soll diese Fläche eine Krümmung aufweisen, so dass ich vom einen Ende direkt auf dem anderen Ende lande. Das geht doch nicht. :-/
Aber ok, wie Geku schreibt: Ihr habt ja als dritte Koordinate die Zeit gelassen. Aber irgendwie raff ich es immer noch nicht....

TomS 08.10.21 11:46

AW: Einstein Universe
 
Nochmal zusammenfassend

S²: 2-dim. Kugeloberfläche, unabhängig von einer Einbettung
S³: 3-dim. Analogon zur Kugeloberfläche, unabhängig von einer Einbettung, nicht mehr anschaulich vorstellbar

S² = Rand(B³): 2-dim. Kugeloberfläche als Rand eines Balles im 3-dim. Raum, d.h. mit Einbettung
S³: Rand eines Balles im 4-dim. Raum, d.h. mit Einbettung, nicht mehr anschaulich vorstellbar

Analog dazu:
S²: man nehme eine Kreisfläche B² aus Gummi und stülpe sie so über einen Ball B³, dass sie diesen ohne Lücke überdeckt

Einstein-Universum: S³ * R, d.h. die obige S³ mit einer zusätzlichen reellen Zeitkoordinate, d.h. insgs. 4-dim

Analogon zu Einstein-Universum um eine Dimension vermindert: S² * R, d.h. die obige S² = Kugeloberfläche mit einer zusätzlichen reellen Zeitkoordinate, d.h. insgs. 3-dim

Dieses Analogon mit Einbettung: die obige S² = Kugeloberfläche eingebettet in einen 3-dim. Raum, plus die zusätzlichen reellen Zeitkoordinate, d.h. insgs. 4-dim (eine davon Artefakt der Einbettung)

Letzteres zeigt auch schön den Unterschied zwischen einem Einstein- und einem expandierenden Universum: im ersten Fall ist die S² immer gleich groß, um zweiten Fall wird sie quasi aufgeblasen (wichtig: die Expansion weg vom Zentrum ist wieder ein Artefakt der Einbettung).

TomS 08.10.21 12:10

AW: Einstein Universe
 
Zitat:

Zitat von Culpa (Beitrag 96687)
Das wäre ja so als würde ich sagen: Ich habe eine Fläche, die ist nur Fläche, hat keine Auslenkung in 3D. Also z. B. im x, y, z - Koordinatensystem die Fläche mit z=0. So. Und nun soll diese Fläche eine Krümmung aufweisen ...

Das geht.

Stell die die Erde bzw. einen Globus vor. Statt des Globus zeichnest du nun flache Karten in einen Atlas. Wie du sicher weißt, können diese nicht zugleich längen-, flächen- und winkeltreu sein; das ist ein Resultat der Krümmung der Oberfläche des Globus. Nun entscheidest du dich für eine winkeltreue Abbildung, z.B. die Mercator-Projektion. Hier schneiden sich Längen- und Breitengrade immer im rechten Winkel, sowohl auf der Karte als auch auf dem Globus. Die Projektion kann so angepasst werden, dass Abstände entlang der Längengrade unverzerrt sind, jedoch sind die Abstände entlang der Breitengrade hin zum Pol immer stärker versetzt. Um diesen Effekt der Krümmung zu korrigieren, schreibst du an jeden Breitengrad die tatsächliche Länge.

Nimm an, die Karte sei rechteckig mit den Abmessungen Breite * Höhe = 20 cm * 10 cm. Jeder Breitenkreis entspricht auf der Karte einer Linie vom linken zum rechten Kartenrand. Jeder Längenkreis entspricht auf der Karte insgesamt zwei Linien, eine geht vom Nordpol zum Südpol, die zweite wieder zurück zum Nordpol (dazwischen liegen 180°, z.B. 0° => Greenwich, 180° => Datumsgrenze). Ein halber Längenkreis von Nordpol zu Südpol entspricht dem halben Erdumfang, auf der Karte sind dies 10 cm. Der Äquatorialkreis vom linken zum rechten Kartenrand entspricht dem ganzen Erdumfang, auf der Karte sind dies 20 cm.

Geht vom Äquatorialkreis weg in Richtung eines Poles, so bleiben die Linien 20 cm lang, die tatsächliche Länge gemessen entlang eines Breitenkreises nimmt jedoch ab. Der Nordpol entspricht auf der Karte einer Linie von 20 cm Länge, seine Ausdehnung ist jedoch Null (die Karte hat hier eine Singularität, die Erde jedoch nicht ;-).

Nun schreibst du an jeden Längenkreis 10 cm, an jeden Breitenkreis die tatsächliche Länge, am Äquator 20 cm, am Pol 0 cm; die LKänmge als Funktion der geographischen Breite kannst du mittels Winkelfunktionen recht einfach ausrechnen.

Zuletzt müsstest du noch für zwei Punktepaare auf dem Globus die kürzeste Verbindungslinie auf der Karte einzeichnen (auf der Karte ist das keine Gerade!!) und den tatsächlichen Abstand dazuschreiben. Das kannst du natürlich nicht für alle Punktepaare durchführen, sonst wird die Karte zu voll gekritzelt, jedoch für einige die dich interessieren.

Die Zusammenfassung von Koordinatensystem (Längen- und Breitengraden) sowie die Längen zwischen Punkten (mit jeweils gegebenen Koordinaten) entspricht der Metrik. Die Notation der Metrik in der ART ist sehr kompakt, sie fasst all dieses in einer einzigen Formel zusammen.

Und sie enthält letztlich die Information über die Krümmung, die du ohne Einbettung nicht graphisch darstellen kannst, jedoch über diese Zusatzinformation der Abstände erfasst.

Culpa 08.10.21 20:27

AW: Einstein Universe
 
Zitat:

Zitat von TomS (Beitrag 96688)
Nochmal zusammenfassend

S²: 2-dim. Kugeloberfläche, unabhängig von einer Einbettung.

Also da geh ich nicht mit. Man kann doch keine 2D Kugeloberfläche bilden ohne eine dritte Dimension. Die 2D Oberfläche ist dann gekrümmt in der dritten Dimension.


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