metrischer Tensor
 

Hallo!
Isch hätte da mal bitte ne Frage :)
Ich kenn einige Beispiele, bei denen sich Metrik-Koeffizienten invers zueinander verhalten:
äussere Schwarzschild-Metrik: grr = 1/gtt
Gravitationswellen zB in Z-Richtung: hxx ungefähr 1/hyy
in der SRT aus einer konst Sicht: nx = 1/nt
Gilt das auch ganz allgemein unter jedem Umstand für den Metrik-Tensor?
Worunter firmiert das ? Determinante der Metrik oder was anderes?
DANKE!
ghosti

AW: metrischer Tensor
 

Nein, das gilt i.A. nicht.

Der metrische Tensor ist symmetrisch, hat ein Inverses, und kann durch Koordinatentransformationen lokal au die Form (1,-1,-1,-1) gebracht werden.

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Äh klar. Die Metrik ist ja in Wirklichkeit relativ, und zB ein mitbewegter Beobachter hat aus seiner Sicht die ungestörte Metrik (wie unten mein Spruch :) )
Verschiebt sich dann alles?
Haben die Koeffizienten der transformierten Basis dann immer noch lokal das inverse Verhalten (1/1 ist auch 1... ich meine aber in einem gew. Abstand zum neuen Ursprung der Koord.) ?
Anders gefragt: welche Größe eines Metrik-Tensors ist invariant? Determinante, Signatur ...?
Findet sich die Inversion ev irgendwie in den Ableitungen wieder, besonders im immer gleichen lokalen Krümmungstensor?

NACHTRAG! Also, das Wegelement ds^2 ist eine Invariante, egal wohin ich den Ursprung einer Metrik lege. Damit ändert sich meine Fragestellung:
Gibt es Lösungen der ART, bei denen eine Krümmung zu einem RELATIVEN Verhalten einer Metrik führt, deren Koeffizienten sich nicht invers zueinander Verhalten, deren Determinante also ungleich +- 1 ist ?
Ich kenne keine...
Sicherlich ist das Verhalten im allgemeinsten Fall nicht so leicht ersichtlich, aber man kann eine Metrik immer diagonalisieren und dann wird es einfacher ihr Verhalten zu bestimmen.

Ich hab mir mal die Mühe gemacht, das Verhalten eines Vierervolumen-Elementes zu bestimmen: in den oben genannten Fällen ist dV4 immer eine Invariante! Und genau das ist der Grund warum ich frage..
Denn eine Invarianz eines dV4 korreliert mit einer Invarianz einer Wirkung H.
Wenn ich mich nicht irre, ist das auch die Bedeutung der sogenannten Einstein-Hilbert-Wirkung.

MfG ghosti

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Ist die Antwort zu schwierig?

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Klar gibt's welche, z.B. FRLW und Rindler. Ich denke, dass die Determinante -1 einfach praktisch ist für irgendwelche Herleitungen oder so, aber keine tiefere physikalische Bedeutung hat.

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Mh, schade! Ich hatte gehofft, dass die tiefere Bedeutung im Wirkungsprinzip liegt..

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Die Determinante det g hat selbst keine Bedeutung.

Sie transformiert außerdem nicht-trivial unter Koordinatentransformationen; zusammen mit d^4x folgt das skalare Volumenelement

dV = det^1/2 |g| * d^4x

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...und prompt haben wir hier AE, der von der tiefen physikalischen Berechtigung einer Koordinatenwahl mit konstanter Determinante spricht.
Wie auch immer...

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Das ist doch nur eine spezielle Eichung, oder?

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Ja, schon. Aber wie bei Eichungen auch hat's da wohl spezifische Vorteile, die Einstein zu dieser Aussage bringen. Er hat das auch schon in seiner Originalveröffentlichung oBdA verwendet.
Ich bin mir nicht sicher, was der Vorteil ist. Vielleicht irgendwas mit Energie/-Impulserhaltung?