AW: Math Verhulst 1989
 

Es laesst sich auch der einfache Test durchfuehren, ob fuer einen festen Index n ( den groessten ermittelten Index ) sowohl der Wert fuer k als auch fuer k-1 widergegeben wird.

Maple Code fuer den Test :

Bei den von mir verwendeten Anfangswerten und Anzahl Iteratonen M wurde der Test erfuellt. D.h. die Umkehrfunktion wird von einem einzigen Funktionszweig mit dem Index fuer die Iteration M (groesstes n) vollstaendig wiedergegeben.Die Zweige der Umkehrfunktion erfuellen damit recht komplexe Bedingungen. Allerdings scheinen auch Ausnahmen zu existieren.

AW: Math Verhulst 1989
 

Eigenschaften der Loesungszweige der inversen Verhulst Gleichung
**************************************************
yi(k,n)=1/2*(1-cos(2^(-k)*(arccos(1-2*yi[0])+n*2*Pi)));

yi[0] ist der Anfangswert der Funktion.
k element N stellt die zeitliche Iterationsvariable dar.
n element N stellt die Zweige der mehrdeutigen arccos Funktion dar,

Ohne Beweis :
Die Funktion wiederholt sich ueber n fuer alle m*2^k Zweige :
yi(k,n)=yi(k,n+m*2^k) m element N
**************************
=>
Es existiert immer ein Loesungszweig n_min mit der Eigenschaft n_min < 2^k
************************************************** *******

Mit k_max sei der groesste Iterationsindex bezeichnet. Dessen n_min sei mit n_m bezeichnet.
yi(k_max,n_m) erfuelle die Bedingung :
yi(k_max,n_m)=yi[k_max] sowie
yi(0,n_m)=yi[0]

yi(0,n_m)=yi[0] laesst sich umformen :
yi(0,n)=1/2*(1-cos(2^(-0)*(arccos(1-2*yi[0])+n*2*Pi)))
yi(0,n)=1/2*(1-cos((arccos(1-2*yi[0])+n*2*Pi)))
yi(0,n)=1/2*(1-((1-2*yi[0])))
yi(0,n)=yi[0]
Die Bedingung fuer yi[0] ist fuer jedes n erfuellt.

Forderung :
Der Index n_m soll im Intervall 0...k_max fuer jedes k eine Loesung darstellen : yi(k,n_max)=yi[k]
Es existiere somit fuer jede Loesungsfunktion eine Umkehrfunktion eines einzigen Loesungszweiges n_max.
(Tests haben gezeigt, dass dies sehr oft erfuellbar ist.Aber es existieren Ausnahmen.)
Dann muss fuer den kleinsten Loesungsindex n_min jedes k gelten :

fuer k=0
(bereits ueber yi[0] behandelt)

fuer k=1
Sei 0 der Loesungsindes n_min so muessen alle n_min(k) gerade sein
Sei 1 der Loesungsindes n_min so muessen alle n_min(k) ungerade sein

Allgemein muss fuer jedes k gelten :
n_min(k_max)-n_min(k)=m*2^k, m element N
**********************************

Beispiele :
1)
k=0 n_min=0 y_invers=.5854205387341 2^k=1
k=1 n_min=1 y_invers=.8219392261227 2^k=2
k=2 n_min=3 y_invers=.2890137600000 2^k=4
k=3 n_min=3 y_invers=.9216000000000 2^k=8
k=4 n_min=11 y_invers=.6400000000003 2^k=16
k=5 n_min=27 y_invers=.2000000000000 2^k=32

n_m=27

k=4
27-11=16, 16/16=1
k=3
27-3=24, 24/8=3
k=2
27-3=24, 24/4=6
k=1
27-1=26, 26/2=13
k=0
27-0=27, 27/1=27

Weil es so schoen verblueffend ist noch ein Beispiel :

k=0 n_min=0 y_invers=.9615634951125 2^k=1
k=1 n_min=0 y_invers=.4019738492958 2^k=2
k=2 n_min=0 y_invers=.1133392473032 2^k=4
k=3 n_min=4 y_invers=.9708133262496 2^k=8
k=4 n_min=4 y_invers=.5854205387340 2^k=16
k=5 n_min=20 y_invers=.8219392261227 2^k=32
k=6 n_min=52 y_invers=.2890137600000 2^k=64
k=7 n_min=52 y_invers=.9216000000000 2^k=128
k=8 n_min=180 y_invers=.6399999999998 2^k=256
k=9 n_min=436 y_invers=.2000000000000 2^k=512

n_m =436

436-180=256, 256/256=1
436-52=384, 384/128=3
436-52=384, 384/64=6
436-20=416, 416/32=13
436-4=432, 432/16=27
436-4=432, 432/8=54
436-0=436, 436/4=109
436-0=436, 436/2=218
436-0=436, 436/1=436

Die Frage warum diese Eigenschaften gegeben sind duerfte nicht einfach zu beantworten sein.

AW: Math Verhulst 1989
 

Rueckblick:
********
In der bisherigen Vorgehensweise wurden m Iterationsschritte 0...k_max der chaotischen (r=4) Verhulst Gleichung untersucht. Die Umkehrfunktion dieser m Iterationen ist geschlossen angebbar, jedoch mehrdeutig. Welcher Loesungszeig verwendet wird laesst sich ueber einen Parameter n element N ausdruecken. In den letzten Beispielen wurde eine Abbildung des Anfansgswertes yi[0] auf den Wert yi[k], k=0...k_max als Loesung betrachtet.
Experimentell zeigte sich, dass fuer diese Abbildung fuer jedes K unendlich viele Zweige n als Loesung existieren. Eine weitere Annahme waere, dass der kleinste Index fuer n, n_min im Intervall 0...2^k-1 liegt und fuer jeden Index n gilt : y[n]=y[n+2^k] (Recht gesicherte Annahmen)
Um ueberhaupt eine eindeutige Loesung angeben zu koennen kann man fuer jeden Iterationsschritt n_min(k) angeben und erhaelt z.B. fuer m=4,5 und yi[0]=0.8 eine Reihe folgender Form :

m=4
k=0 n_min[0]=0
k=1 n_min[1]=1
k=2 n_min[2]=1
k=3 n_min[3]=5 = n_m

m=5
k=0 n_min[0]=0
k=1 n_min[1]=0
k=2 n_min[2]=2
k=3 n_min[3]=2
k=4 n_min[4]=10 = n_m

Die Reihe 0,1,1,5 stellt eine monoton (nicht streng monoton ) wachsende Funktion dar. Ebenso 0,0,2,2,10.
Den kleinsten Index n = n_min als Loesungszweig anzunehmen ist allerdings eine recht willkuerliche Annahme. Zwar wird die Iteration an den Stuetzstellen erfuellt, jedoch nur dort. Die abschnittsweise gegebene Loesung ist an den Stuetztstellen unstetig wie es folgende Grafik bereits zeigte :

http://home.arcor.de/richardon/2012/rohr3.gif

Grundueberlegung:
**************
Der Index n stellt eine Frequenz dar. Diese wird ueber den Term 2^(+-k) moduliert.

1) Voerwaertsiteration : Die Frequenz steigt ueber den FM Term
http://home.arcor.de/richardon/2012/rohr4.gif

2) Rueckwaertsiteration : Die Frequenz sinkt ueber den FM Term

Wegen 1) muss die Rueckwaertsiteration mit einer hohen Frequenz beginnen, die im weiteren Verlauf dann sinkt. Je mehr Iterationswerte m verwendet werden, umso hoeher ist die Ausgangsfrequenz bei yi[k=0]. Der kleinste Index n_min(k=0) ist hier jedoch stets gleich Null. Dies steht im Widerspruch zur Forderung einer hohen Ausgangsfrequenz der Rueckwaertsiterierten. Ebenso der monoton steigende Verlauf der Reihe bei willkuerlicher Wahl des jeweils kleinsten Index n.
Eine geeignete hoehe Ausgangsfrequenz wuerde zum Beispiel die Wahl von n_min(k_max)=k_m fuer k=0 liefern. Eine weitere sehr strenge Forderung waere es, dass dieser Index n fuer alle k den Loesungszweig darstellt. Mit dieser Forderung waere die Stetigkeit gesichert. Die n_min[k] muessen dazu folgende Eigenschaft erfuellen :

n_min(k_max)-n_min(k)=p*2^k, p element N
**********************************

Numerisch experimentell zeigte sich, dass diese sehr strenge Annahme "in der Regel" wohl erfuellt wird.

Die Beispielreihen zeigen noch eine Besonderheit :

m=4
k=0 n_min[0]=0
k=1 n_min[1]=1
k=2 n_min[2]=1
k=3 n_min[3]=5 = n_m

m=5
k=0 n_min[0]=0
k=1 n_min[1]=0
k=2 n_min[2]=2
k=3 n_min[3]=2
k=4 n_min[4]=10 = n_m

A)
Erweitert man die Reihe mit m=4 um eine Iteration auf m=5, so wird nicht nur ein neues n_m hinzugefuegt sondern es aendern sich mehrere Elemente der Reihe.

B)
Offenbar laesst sich die Umkehrfunktion fuer jedes k durch einen einzigen Index n_m, somit eine einzelne Zahl beschreiben. Analog zum diskreten Fall muss mit wachsender Anzahl von Iterationen der Informationsverlust exponentiell erhoehen. Dies ist auch fuer n_m(m) gegeben, denn die Moeglichen Werte stammen aus dem Intervall x..2^m
(Ueber den Wert von x bin ich mir noch nicht ganz im Klaren)

Bildet man aus allen n_m(m) der Iterationsreihen eine neue Reihe, (Beispiel im naechsten Beitrag) so sollte diese wegen B eine monoton steigende Funktion darstellen. Dies ist jedoch nicht immer gegeben. Diese Ausnahmen moechte ich im naechsten Beitrag untersuchen :

Diskussion des Sonderfalls n_m(k2)<n_m(k1) fuer k2>k1
*****************************************

AW: Math Verhulst 1989
 

Beispiel fuer den Sonderfall n_m(k2)<n_m(k1) fuer k2>k1
******************************************
yi0=0.2

k=0 n_min=0 y_invers=.2000000000000

k=0 n_min=0 y_invers=.6399999999999
k=1 n_min=0 y_invers=.1999999999999

K=0 n_min=0 y_invers=.9216000000000
k=1 n_min=1 y_invers=.6399999999998
k=2 n_min=3 y_invers=.2000000000000

k=0 n_min=0 y_invers=.2890137599998
k=1 n_min=1 y_invers=.9216000000001
k=2 n_min=1 y_invers=.6400000000000
k=3 n_min=1 y_invers=.2000000000000

k=0 n_min=0 y_invers=.8219392261232
k=1 n_min=0 y_invers=.2890137600003
k=2 n_min=2 y_invers=.9215999999999
k=3 n_min=2 y_invers=.6400000000001
k=4 n_min=2 y_invers=.2000000000001

Fuer n_m(m) erhaelt man die Reihe n_m(m)=0,0,3,1,2, die nicht monoton wachsend ist (wegen ...3,1... )
Die Tabelle zeigt, dass dennoch alle Werte die Iteration an der Stuetzstelle k erfuellen.
Der Index n gibt "zufaelligerweise auch die Anzahl der Maxima an, die die Funktion widergibt. Diese Anzahl kann beim Hinzufuegen einer Iteration nicht abnehmen. Der Uebergang ...3,1... ist damit widerspruechlich.
Insgesamt wird die Umkehrfunktion die urspruengliche Funktion an allen Stellen als Umkehrung daher nicht richtig widergeben.

Welche der Indizes 0,0,3,1,2 sind nun "richtig" ?
Die richtigen Abtstwerte an den Stuetzstellen :

yi[0] := .8219392260
yi[1] := .28901376
yi[2] := .9216
yi[3] := .64
yi[4] := .2

Vorbemerkung :
***********
Es scheint tatsaechlich Faelle zu geben, in denen die Umkehrfunktion nicht fuer alle Werte mit der reversen Originalfunktion uebereinstimmt, sondern nur an den ganzzahligen Stutzstellen.

Graphische Beisiele dazu
******************
Alle Funktionen werden fuer die Darstellung an N_max Stellen abgetastet (gesampelt). Die Vergleichsfunktion wird durch Umindizierung, Umkehrung der analytischen Loesung der Vorwaertasiteration gewonnen .

> restart;
> N_max:=100; #Anzahl Abtastwerte
> ta:=0; te:=3;
> dt:=(te-ta)/(N_max-1);
> t:=ta;
> for i from 0 to N_max-1 do
> y[i]:= evalf(1/2*(1-cos(2^(t)*arccos(1-2*0.2))));# Analytisch Vorwaerts
> t:=t+dt;
> od:
> t:=ta;
> for i from 0 to N_max-1 do
> yi[i]:=y[N_max-1-i]; #Invertieren der Vorwaertsiteration
> yi0[i]:=evalf(1/2*(1-cos(2^(-t)*(arccos(1-2*yi[0])+0*2*Pi))));
> yi1[i]:=evalf(1/2*(1-cos(2^(-t)*(arccos(1-2*yi[0])+1*2*Pi))));
> yi2[i]:=evalf(1/2*(1-cos(2^(-t)*(arccos(1-2*yi[0])+2*2*Pi))));
> yi3[i]:=evalf(1/2*(1-cos(2^(-t)*(arccos(1-2*yi[0])+3*2*Pi))));
> yi4[i]:=evalf(1/2*(1-cos(2^(-t)*(arccos(1-2*yi[0])+4*2*Pi))));
> yi5[i]:=evalf(1/2*(1-cos(2^(-t)*(arccos(1-2*yi[0])+5*2*Pi))));
> yi6[i]:=evalf(1/2*(1-cos(2^(-t)*(arccos(1-2*yi[0])+6*2*Pi))));
> yi7[i]:=evalf(1/2*(1-cos(2^(-t)*(arccos(1-2*yi[0])+7*2*Pi))));
> yi8[i]:=evalf(1/2*(1-cos(2^(-t)*(arccos(1-2*yi[0])+8*2*Pi))));
> yi9[i]:=evalf(1/2*(1-cos(2^(-t)*(arccos(1-2*yi[0])+9*2*Pi))));
>
> t:=t+dt;
> od:
>
> druck_yi:=seq([i, yi[i]],i=0..N_max-1):
> druck_yi0:=seq([i,yi0[i]],i=0..N_max-1):
> druck_yi1:=seq([i,yi1[i]],i=0..N_max-1):
> druck_yi2:=seq([i,yi2[i]],i=0..N_max-1):
> druck_yi3:=seq([i,yi3[i]],i=0..N_max-1):
> druck_yi4:=seq([i,yi4[i]],i=0..N_max-1):
> druck_yi5:=seq([i,yi5[i]],i=0..N_max-1):
> druck_yi6:=seq([i,yi6[i]],i=0..N_max-1):
> druck_yi7:=seq([i,yi7[i]],i=0..N_max-1):
> druck_yi8:=seq([i,yi8[i]],i=0..N_max-1):
> druck_yi9:=seq([i,yi9[i]],i=0..N_max-1):

> plot([[druck_yi],[druck_yi9]]);

Graphische Ergebnisse im naechsten Beitrag

AW: Math Verhulst 1989
 

Graphische Darstellungen und Diskussion :

k=0 n_min=0 y_invers=.6399999999999
k=1 n_min=0 y_invers=.1999999999999

plot([[druck_yi],[druck_yi0]]);

http://home.arcor.de/richardon/2012/m1n0.gif

Die beiden Loesungen ueberdecken sich

K=0 n_min=0 y_invers=.9216000000000
k=1 n_min=1 y_invers=.6399999999998 1,3,5 ...
k=2 n_min=3 y_invers=.2000000000000

plot([[druck_yi],[druck_yi3]]);

http://home.arcor.de/richardon/2012/m2n3.gif

Alle drei Stuetzwerte werden erfuellt. Lediglich die Zwischenwerte stimmen nicht ueberein. Bei einem Index groesser 3 wird die gruene Loesungsfunktion noch welliger. Eine sehr gute Uebeinstimmung ergibt sich seltsamerweise fuer n etwa 1.8

http://home.arcor.de/richardon/2012/n18.gif

k=0 n_min=0 y_invers=.2890137599998
k=1 n_min=1 y_invers=.9216000000001
k=2 n_min=1 y_invers=.6400000000000
k=3 n_min=1 y_invers=.2000000000000

plot([[druck_yi],[druck_yi1]]);

http://home.arcor.de/richardon/2012/m3n1.gif

Die beiden Loesungen ueberdecken sich

k=0 n_min=0 y_invers=.8219392261232
k=1 n_min=0 y_invers=.2890137600003
k=2 n_min=2 y_invers=.9215999999999
k=3 n_min=2 y_invers=.6400000000001
k=4 n_min=2 y_invers=.2000000000001

plot([[druck_yi],[druck_yi2]]);

http://home.arcor.de/richardon/2012/m4n2.gif

Die beiden Loesungen ueberdecken sich

Folgerung :
Die Reihe m=3 mit k=0,1,3 (3,3,3) stellt fuer y0=0.2 somit die gesuchte Ausnahme dar. Es werden zwar alle Werte der Stuetzstellen (sogar mit dem einzigen Index n=3) getroffen, aber keine Zwischenwerte.
Der Spezialfall erfuellt alle Iterationswerte und kann mit einer darauf basierenden Methode nicht erkannt werden ! Auch die besondere Eigenschaft n_min(k_max)-n_min(k)=m*2^k, m element N hilft daher fuer eine Detektion nicht weiter.
Lediglich das Kriterium, dass die k_m(m) Reihe nicht monoton wachsend war lieferte den Hinweis fuer die besondere Eigenschaft.
Tritt diese Ausnahme auch ohne dieses Kriterium auf ?
Antwort : Ja. Beispiel Anfangswert 0.4 und selbe Reihe K=0,1,2

Beobachtung :
1) Die Verletzung der Monotonieeigenschaft ist vom Anfangswert abhaengig.
2) Die Verletzung der Monotonieeigenschaft kann auch bei hohen Indizes auftreten.
3) Die Verletzung der Monotonieeigenschaft tritt eher selten auf.
4) Die Verletzung der Monotonieeigenschaft ist hinreichendes aber nicht notwendiges Kennzeichen einer punktuellen Loesung.
punktuelle Loesung : k element N

AW: Math Verhulst 1989
 

************************************************** *********
Wie genau approximiert der analytisch berechnete Zweig n der Umkehrfunktion die exakte reverse Funktion, wenn beide sich graphisch scheinbar ueberdecken ?
************************************************** *********

Numerisches Experiment :

Es wird ein Loesungszweig n fest vorgegeben und yi0 von 0.1 bis 0.9 in 50 Schritten durchschritten. Die Fehlerabweichung der beiden Funktionen wird mittels der Methode der kleinsten Quadrate bestimmt.
Fuer yi0=0.2 stellt n=1 einen geeigneten "ueberdeckenden" Loesungszweig dar :

k=0 n_min=0 y_invers=.2890137599998 2^k=1
k=1 n_min=1 y_invers=.9216000000001 2^k=2
k=2 n_min=1 y_invers=.6400000000000 2^k=4
k=3 n_min=1 y_invers=.2000000000000 2^k=8


Darstellung des Fehlers fuer drei Zeitschritte m=3 ueber yi0 = 0.1 ... 0.9 (n=1)

http://home.arcor.de/richardon/2012/gauss1.gif

Bereich y0=0.2 ... 0.3

http://home.arcor.de/richardon/2012/gauss2.gif

Die Umkehrfunktion ist hier nicht nur an den gazzahligen Stuetzstellen exakt, sondern ueber den ganzen Funktionsverlauf.

Weiteres Beispiel :
n=2 m=4

http://home.arcor.de/richardon/2012/gauss3.gif

Quellcode :

> restart;
> N_max:=100;
> ta:=0; te:=3;
> dt:=(te-ta)/(N_max-1);
>
> Z_max:=50;
> ya:=0.1; ye:=0.9;
> dy:=(ye-ya)/(Z_max-1);
> y0:=ya;
>
> for jj from 0 to Z_max-1 do
> t:=ta;
> y0:=y0+dy;
> for i from 0 to N_max-1 do
> y[i]:= evalf(1/2*(1-cos(2^(t)*arccos(1-2*y0))));
> t:=t+dt;
> od;
>
> t:=ta;
> err[jj]:=0;
>
> for i from 0 to N_max-1 do
> yi[i]:=y[N_max-1-i];
> yi1[i]:=evalf(1/2*(1-cos(2^(-t)*(arccos(1-2*yi[0])+1*2*Pi))));
> t:=t+dt;
> err[jj]:=err[jj]+( yi1[i]-yi[i] )^2 ;
> od:
>
> od; #of jj#
> druck_err:=seq([jj, err[jj]],jj=0..Z_max-1):
> plot([[druck_err]]);

AW: Math Verhulst 1989
 

Vier Zeitschritte (der Fall m=4) vollstaendig erfasst.
**************************************
In der folgenden Grafik sind die Fehlerquadrate fuer m=4, n=0,1,2,3,4,5,6,7 ueberlagert dargestellt. yi0 reicht von 0.01 bis 0.99

http://home.arcor.de/richardon/2012/gaussall.gif

(Quellcode Rohrbach11.mws)

Fuer vier Zeitschritte stellen nur die Aeste n=0,1,2,3 (bedingt 4 lila) deckungsgleiche Loesungen dar. Deckungsgleich bedeutet Loesungen fuer k element R. Fuer Anfangswerte yi0 die an die schwarzen Flaechen grenzen liegen somit keine Loesungen dieser Form vor. Fuer diese Anfangswerte existieren jedoch Loesungen fuer k element N, also ganzzahlige Werte. Der Loesungszweigindex n kann dann auch hoehere Werte annehmen.

Loesungen fuer k element N (punktuelle Loesung)

yi0=0.1 n=7
http://home.arcor.de/richardon/2012/n7.gif

weitere punktuelle Loesungen :
yi0=0.4 n=6
yi0=0.8 n=5

AW: Math Verhulst 1989
 

Metazeit
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Den Bezug zwischen der nichtlinearen logistischen Gleichung und dem physikalischen Aspekt der Zeit habe ich seit laengerem nicht mehr angesprochen. Dieser ist ueber die Kopplung der Richtung des Zeitpfeils an den Entropiegradienten gegeben. In der kopenhagener Version wuerde dies einem Informationsgradienten entsprechen.Von solchen Ueberlegungen uebernehme ich lediglich die Bedingung der Irreversibilitaet eines Vorgangs, wenn dieser die globale Entropie aendert. Dies fuehrt zu dem Aspekt, dass reversible Vorgaenge keine realen Vorgaenge darstellen koennen, denn die Realitaet ist zeitlich nicht reversibel. Dies spiegelt sich auch im Dekohaerenzprogramm und den Interpretationen wieder. Dekohaerenz tritt dann ein, wenn ein Prozess in die globale Entropie eingebunden wird (eine Informationsaenderung darstellt). In allen Interpretationen ist erst dann der Prozess als real zu betrachten. In der KD entspricht dies dem Wellenkollaps und die Konsequenzen sind noch weitreichender. Denn erst nach dem Wellenkollaps ist dort ein Prozess, Auftrittsmerkmal als physikalisch (damit auch real) zu betrachten. Davor existiert in der KD aus physikalischer Sicht nichts. Es darf dort lediglich eine abstrakte Existenz angenommen werden. Eine mathematische Eigenschaft stellt die Existenz einer abstrakten Eigenschaft / Groesse dar. Damit auch die Eigenschaft der Linearitaet und nichtbijektiven Nichtlinearitaet. Eine entscheidende Groesse bezueglich der Realisation eines Vorganges stellt die zeitliche Nichtumkehrbarkeit dar. Meiner Meinung nach ist fuer diese wiederum nicht die Nichtlinearitaet entscheidend, sondern die Nichtbijektivitaet. Diese ist immer nichtlinear, aber die Umkehrfunktion einer Nichtlinearitaet kann durchaus eindeutig, damit bijektiv sein.

Fuer die logistische (Verhulst) Abbildung habe ich in diesem Thread bereits einige Ursachen und Konsequenzen der Nichtbijektivitaet untersucht. Diese entspricht einem zunehmenden Informationsverlust mit jedem Iterationsschritt. Dieser Aspekt ist nicht neu und wird auch als Entropie einer Iteration bezeichnet.
Neu ist dagegen die Nichtbijektivitaet fuer den kontinuierlichen, nichtdiskreten Fall zu untersuchen. Die Loesung der r=4 Verhulstgleichung ist kaum jemandem bekannt und daher auch nicht deren Umkehrfunktion.
Hierzu ergeben sich auch neue Fragen.
Z.B. wie der Fall der punktuellen Loesungen zu betrachten, bewerten ist. Wenn nur fuer ganzzahlige Werte die analytische Umkehrfunktion dem (zeitlich) reversen Prozess entspricht. Man koennte es sich einfach machen und annehmen, dass die kontinuierliche Version der diskreten Version entspricht. Die zweideutigkeit der Wurzelfunktion ist aequivalent zur Zweier Periodizitaet der Cosinusfunktion. Numerisch passt dies alles ertstaunlich gut zusammen. Wuerde eine kontinuierliche Welt dann gar nicht existieren koennen ? Die Zeit muesste quantisiert sein ? Interessant ist hiezu auch, dass die Verhulst Umkehrfunktion im Gegensatz zu anderen diskreten Funktionen fuer nichtganzzahlige Werte nicht komplexwertig wird, sondern reell bleibt.
Hat jemand Vorschlaege dazu ?
Dabei stellt die punktuelle Loesung eher die Ausnahme dar. Fuer mich eher unerwartet existieren in den meisten Zahlenbereichen Loesungen fuer die eine eindeutige Umkehrfunktion fuer alle k element Reell existiert. Ein "solches k" (besser das System) wuerde ich als kontinuierliche Variable t interpretieren. t element R. Die punktuellen Loesungen koennte man vermeiden, indem einige Anfangswerte y0 abhaengig vom Zeitschritt (Beispiel war yo=0.1, 0.4, 0.8 fuer 4 Zeitschritte) ausgeklammert werden muessen. Allgemein, dass einige Systemzustaende eines chaotoischen Systems verboten sind. Abhaengig von einem absoluten Zeitwert.
Waere damit eine kontinuierliche Welt, Zeitkoordinate gerettet ? Nicht unbedingt.

VORAUSSCHAU .
************
Es wird sicherlich noch zu weiteren Komplikationen bei den nichtpunktuellen, (reellen, deckungsgleichen ) starken Loesungen kommen. Dies folgt aus meinem Thread zur graphischen Darstellung der irrationalitaet der reellen Zahlen. Hier zusammengefasst:
http://home.arcor.de/richardon/richy...irrational.htm
An den ganzzahligen Stuetzstellen weist die kontinuierliche Funktion bezueglich der Mehrdeutigkeit, Information, Entropie die von der diskreten Version, der Iteration bekannten "vernuenftigen" Eigenschaften auf. Diese basieren bei Verhulst auf einer Mehrdeutigkeit hervorgeufen durch Periodizitaet.
Fuer nichtganzzahlige Werte t ist nun zu erwarten, dass die Eigenschaften abhaengig ist vom Charakter der Zahl t. Eine physikalische Strukturierung aufgrund des Charakters von Zahlen ist zwar nichts Neues (man denke an den goldenen Scbintt als Nichtresonator oder natuerliche Zahlen als Resonator, Moden-Quantenzahlen), aber an dieser Stelle waere dies schon ungewoehnlich.
Sodele jetzt muss ich kurz wie jeden Abend unter den Linearbeschleuniger LB3 in Neuenfeld

Gruesse aus Rohrbach
richy

Edit : Begriff "schwache Loesung" geaendert in "punktuelle Loesung"

AW: Math Verhulst 1989
 

So ist es wohl. Und das ist wohl auch der Grund, warum Zeilinger Aussagen trifft wie: Die Wirklichkeit und Information seien dasselbe.

Grüße, AMC

AW: Math Verhulst 1989
 

Hi amc
Und wenn der home.arcor server ausfaellt, dann fehlen meine Graphiken in den Beitraegen und damit jede Menge Information. Hoffe arcor funzt wieder :-)
Ansonsten :
In den populaerwissenschaftlichen Beitraegen verwendet Zeilinger zwar den Begriff der Information aber ich meine genau genommen meint er damit etwas anderes. Naemlich eine abstrakte Form der Entropie. Von Neumann Entropie.
Und dann koennte vereinfacht deine Annahme zutreffen.
Ich meine auch, dass dem so ist. Allerdings legt sich Zeilinger hier populaerwissenschaftlich wohl extra nicht so genau fest.

Ich kann mir uebrigends vorstellen, dass man meinen letzten Beitraegen nur etwas widerwillig folgen kann. Ich habe diese Umkehrfunktion so dokumentiert, wie sich die Aufgaben im Ablauf fuer mich stellten. Ich hoffe einige Eigenschaften die ich gefunden habe gehen dabei nicht unter. So sitze ich gerade vor zwei Grafiken, die zwar genau das Erfuellen wie ich es erwartet habe, aber warum diese Loesungsfunktion solch teilweise seltsame Eigenschaften aufweist ist fuer mich ein Raetsel.

Den Aspekt zur Zeit moechte ich vor lauter Verwunderung ueber die mathematischen Eigenschaften nicht in Vergessenheit geraten lassen.

Viele Gruesse
richy