AW: goldener Schnitt-Raumstruktur
 

Kennst Du

Prime Curios!
The Dictionary of Prime Number Trivia
von Caldwell und Honaker?

Das ideale Buch (eine Fete...) für Prime-Fetischisten... ;)

Gruß,
Lambert

PS. Primes interessieren mich nur als "Raumtrenner"... sonst überhaupt nicht...

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Noch ein muehsam erarbeitetes Ergebnis :

Gegeben ist die Fibonacci Reihe :
fib[k+1]=fib[k]+fib[k-1]
Es gilt der oben bereits erwaehnte Zusammenhang :
fib[k-1]*fib[k+1]-fib[k]^2=(-1)^(k-1)

VERALLGEMEINEREUNG :
Gegeben ist die allgemeine Fibonacci Reihe :
frs[k+1]=r*frs[k]+s*frs[k-1]
Fuer diese gilt der Zusammenhang
frs[k-1]*frs[k+1]-frs[k]^2=(-s)^(k-1)*(r+s-1)
****************************************

Das koennte noch nuetzlich werden um einige DZGL's zu knacken
Wollte es nur mal festhalten.

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Hi Lambert
Seit wann sind die Fib Zahlen Primzahlen ?
Hier geht es gerade um etwas ganz anderes.
Die wenigsten Fib Zahlen sind prim. Primzahlen finde ich auch nicht so interessant.
Die entziehen sich zu sehr unserer Kenntnis. Fib Zahlen kommen dagegen in der Natur ueberall vor.
Und wie du siehst rudere ich im Moment auch nur rum.
Gruesse

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ach ja, ich lese auch nur halb mit. Meine Interessen liegen woanders.

Gruß,
Lambert

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Nur damit ich es nicht vergesse .

Implementation eines nichtregulaeren Kettenbruches :
Beispiel 4/Pi
http://upload.wikimedia.org/math/0/a...3aa607af92.png

Programmcode

restart;
N:=500;
s[1]:=1;

for i from 1 to N do
q:=N-i+1;
k:=2*(q-1)+1;
s[i+1]:=2+(k)^2/s[i];
od:

evalf(factor(s[N+1]))-1;
evalf(4/Pi);

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Hallo Richy,

was ist das für ein Programmcode? Ich kenne nur FORTRAN 77.

M.f.G. Eugen Bauhof

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Hi Bauhof
Ah Fortran 77 kenne ich auch noch. Die Juengeren sicherlich nicht mehr :-)
Der Programmcode oben ist Maplecode.
http://de.wikipedia.org/wiki/Maple_%28Software%29
Eine mathematisches auf C basierendes Rechneralgebrasystem, das neben Mathematica und C im wissenschaftlichen Bereich verwendet wird. Mathematica ist numerisch orientiert. Man koennte sagen ein komplexes Exel fuer Naturwissenschaftler. Maple ist dagegen ein echtes Algebrasystem, das analytische Loesungen berechnen kann. Fuer sehr aufwendige Simulationen sind beide Programme zu langsam, aber man kann damit auch C oder Fortran Code erzeugen.

Bei Maple muss man sich sehr wenig um programmiertechnische Details kuemmern. Es ist fast so einfach zu bedienen wie ein Basic Interpreter und rechnet permanent komplexwertig, so dass man sich nichteinmal um dieses Detail kuemmern muss. Der groesste Vorteil ist aber der, dass das Wissen aus so ziemlich allen Bereichen der Mathematik direkt zur Verfuegung steht.
Will man in einem Programmteil z.B. mit dem Intergral einer Funktion f(x) weiterrechnen genuegt die Programmzeile g(x):=int(f(x),x); Das kann keine andere Programmiersprache.
Um ein Polynom hoher Ordnung analytisch zu loesen genuegt ebenfalls eine Programmzeile :
meine_loesung:=solve(a*x^5+b*x^3+c*x=0, x) ... kein Problem
In dem Beispiel erzeugt Maple fuer meine_loesung z.B. automatisch einen Vektor mit 5 Eintraegen. Tippt man "meine_Loesung[1]" ein erhalt man in dem Fall eine der Loesungen :
1/2/a*(-2*a*(b-(b^2-4*a*c)^(1/2)))^(1/2)

Das sind nur einfachste Beispiele.
Kaum jemand wird heute eine Differentialgleichung noch per Hand loesen. Bei vielen Aufgabenstellungen wuerde dies viel zu viel Zeit beanspruchen oder waere unmoeglich praktizierbar, weil die Ausdruecke zu unhandlich waeren. Natuerlich sollte ein guter Ingenieur wissen, wie er eine Problemstellung per Hand loesen koennte, aber ebenso welches Programm dies erledigen kann.
Gruesse

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Beispiel einer Maple Anwendung :

Die Fibonacci Differenzengleichung ist linear und laesst sich daher mittels Z-Transformation loesen. Die Z-Transformation stellt die diskrete Variante der La Placetransformation dar und ist daher fuer diese Aufgabenstellung geeignet. Man transformiert somit die Gleichung in den Z-Bildbereich. Das ist nicht sonderlich schwierig. Im Bildbereich muss man eine Partialbruchzerlegung durchfuehren und die Ruecktransformation fuehrt zum Ergebnis :
http://home.arcor.de/richardon/richy...c/fib/fib1.htm
(Auf der Seite habe ich alles per Hand gerechnet)

Ich denke mal, dass man "per Hand" gut eine halbe Stunde fuer diese Aufgabe benoetigt. Mit Maple erhaelt man die Loesung innehalb weniger Sekunden.
Das Schluesselwort zu Loesung rekursiver Gleichungen lautet "rsolve". Um eine Anleitung und Beispiel dafuer zu finden tippt man ein "?rsolve". Man kopiert ein geeignetes Beispiel und kann so die Aufgebe besonders schnell formulieren :
lsg:=rsolve({y(n+2)=y(n+1)+y(n), y(0)=1,y(1)=1},y(n));
http://home.arcor.de/richardon/2011/maple1.gif
Die Loesung ist natuerlich komplexwertig. Das sieht man besonders schoen, wenn man, sie in Realteil und Imaginaerteil zerlegt. Ein Befehl genuegt dazu :
evalc(lsg);
http://home.arcor.de/richardon/2011/maple3.gif
Ein Plot ist somit nur in der komplexen Ebene Moeglich. Dafuer bietet Maple eine Vielzahl von Plotroutinen an, die man mit dem Befehl with(plots) zur Verfuegung stehen.
with(plots);
complexplot(lsg,n=0..5);
http://home.arcor.de/richardon/2011/maple2.gif
Man sieht sehr schoen wie die Fibonacci Zahlen fuer positive Indizes aus einer frequenzmodulierten harmonischen Schwingung in der komplexen Ebene hervorgehen. Die evalc Darstellung liefert hier die Erklaerung. Mit der analytischen Loesung kann man nun auch negative Indizes (Zeiten) betrachten :

http://home.arcor.de/richardon/richy...fibspirale.gif

Die Cosinusfunktion des Imaginaerteiles fuehrt dabei zu einer Spiralform.
Fuer diese Darstellung waren nur 3 Maple Zeilen notwendig :

Ich meine das ist sehr viel anschaulicher, wie wenn man nur die Loesung von Binet betrachtet.

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Was MAPLE in Version 4 nicht kann
Danach muss man sehr lange suchen. Maple V R4 kann nichtlineare auch partielle Differentialgleichungen loesen falls eine Loesung (auch implizit) existiert. Aber es kann keine nichtlinearen Differenzengleichungen loesen.
Nun kann man sich einfach eine solche herleiten, deren Loesung man kennt.
Fuehrt man in der Fib DZGL die Substitution g(n)=y(n+1)/y(n) durch erhaelt man die DZGL g(n+1)=1+1/g(n)

lsg:=rsolve({y(n+1)=1+1/y(n), y(0)=1},y(n));
Maple versagt muerrisch seinen Dienst :D
Aber wir kennen die Loesung ! Das ist ja lediglich der Quotient zweier Fib Folgen deren Argument um den Wert eins verschoben ist :

http://home.arcor.de/richardon/2011/maple4.gif

Der Mensch bleibt in dem Fall der Sieger :-) Maple erledigt dafuer die unhandliche Schreibarbeit. Der Ausdruck dieser komplexwertigen Loesung ergibt erwartungsgemaess eine huebsche Spirale, die gegen den goldenen Schnitt strebt.


http://home.arcor.de/richardon/2011/maple5.gif

Gruesse

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Das Beispiel des unregularen Kettenbruches ist uebrigends schon bischen zu kompliziert um die Besonderheit von MAPLE darzustellen. Ich habe da einfach eine Uminduzierung vorgenommen um die Euler Transformation zu vermeiden.

Ein einfaches Beispiel fuer Maple waere die Kettenbruchdarstellung z.B. des goldenen Schnittes :

for k from 1 to 10 do
y(k+1):=1+1/y(k);
od;

Welches Ergebnis wuerde hier Fortran77 liefern ? Wahrscheinlich einen Programmabsturz, denn fuer y(1) ist kein Wert festgelegt. Maple rechnet dagegen stets symbolisch und fuehrt genau das aus was in dieser Schleife angegeben ist und in dem Fall zu einem Kettenbruch fuehrt :

http://home.arcor.de/richardon/2011/maple6.gif

Den Thread habe ich wieder hervorgekramt, weil hier die Euler Transformation angegeben ist und mir die Frage noch nicht geklaert scheint ob Zahlenklassen die Wurzel(2) oder Zahlenklassen die Wurzel(13) enthalten als Bruchapproximation schneller konvergieren.