Math - Bestimme Integral(1/x,x=-00..00)
 

Das funktioniert mit dem Integralsatz von Cauchy oder dessen Verallgemeinerung, dem Residuensatz.
Die Residuen lassen sich ueber eine Laurentreihe bestimmen.
Und 1/x stellt natuerlich bereits eine Laurentreihe dar.

Maple meint der Wert ist gleich -i*PI

Wer kann es mal vorrechnen und die Loesung begruenden ?

Hilfsmittel :
http://de.wikipedia.org/wiki/Cauchyscher_Integralsatz
http://de.wikipedia.org/wiki/Residuensatz
http://de.wikipedia.org/wiki/Laurentreihe

AW: Bestimme Integral(1/x,x=-00..00)
 

Waere foögendes nicht schon die Loesung ?
http://upload.wikimedia.org/math/3/0...aa89114376.png

Das passt ja, denn :
http://upload.wikimedia.org/math/b/a...a53edf1022.png

Und das Residuum ware eins, wie es auch der Fall ist, wenn man 1/z als Laurentreihe betrachtet.
Maple liefert hier also kein richtiges Ergebnis.
Komisch dass das Integral nicht im Bronstein steht.

AW: Bestimme Integral(1/x,x=-00..00)
 

So etwas ähnliches hatte ich auch schon schreiben wollen. War mir aber dann unsicher und habe es wieder gelöscht.

Im Bronstein steht es wahrscheinlich nicht, da das Integral im Reellen nicht lösbar ist.

Dein Programm liefert also abweichendes Vorzeichen und betragsmäßig die Hälfte. Ich denke, das könnte dennoch richtig sein: wenn du entlang der reellen Achse integrierst, dann hat du ja keinen geschlossenen Weg um das Residuum herum, sondern "umgehst" es oben oder untern herum - deshalb vielleicht nur die Hälfte. Das Vorzeichen hängt - wenn ich mich recht entsinne - davon ab, ob du im Uhrzeigersinn oder dagegen den Pfad um die Singularität durchläufst. Will sagen, wenn du entlang der reellen Achse oben herum im Halbkreis um die Singulariät gehst, kriegst du ein anderes Vorzeichen als unten herum. Da gibt es vielleicht eine Konvention, wie herum man zu gehen hat bei einer Integration entlang der x-Achse ?

Ich bin immer noch sehr unsicher, ob das, was ich da jetzt geschrieben habe, richtig ist. Alles 30 jahre her. Ich schaue nachher mal in ein Mathe-Buch.

Gruß,
Uli

AW: Bestimme Integral(1/x,x=-00..00)
 

Das Problem liegt darin, dass die Polstelle genau auf der reellen Achse liegt, über die du ja integrieren willst. Wenn Du den Residuensatz anwenden willst, musst du deinen Pfad so wählen, dass die Polstelle im umschlossenen Gebiet landet, also könntest du ersatzhabler über lim ep. -> 0 {1/(x+epsilon i)} integrieren, was dem Problem wohl sehr nahe kommt, aber trotzdem nicht das gleiche ist, denn lim ep. -> 0 {1/(x-epsilon i)} schiebt den Pol aus dem Gebiet raus und das Integral ist 0.

Ein ganz anderer Ansatz, der rein im reellen funktioniert, aber etwas heuristisch ist, ist, dass Integrale von -a bis a über funktionen, die ungerade sind, also für die gilt f(x)=-f(-x) immer 0 sind, wenn sie denn überhaupt existieren. Nun kann man darüber nachgrübeln, ob -inf..inf ein symmetrisches Intervall ist und ob das integral über 1/x in einem solchen intervall existiert. Wenn ja, dann ist die Lösung jedenfalls 0.

Da mir solche Symmetrieüberlegungen immer ganz gut gefallen, ist meine Antwort auf diese Frage also: Die reelle Lösung ist jedenfalls 0 unter dem Vorbehalt, dass es eine Lösung gibt.

AW: Bestimme Integral(1/x,x=-00..00)
 

Hi all. möchte nur kurz nochmal betonen, dass Mathe-Ecke und LaTEX definitiv kommen, es dauert leider nur noch ein bisschen, genauer gesagt leider erst im November. Bin grad ziemlich im Druck...

Viele Grüße,

Günter

AW: Bestimme Integral(1/x,x=-00..00)
 

Danke fuer die Antworten
@uli
Meines Wissens ist der mathematisch positive Umlaufsinn zu nehmen, also entgegen dem Uhrzeigersinn.
Wie will ich das aber feststellen wenn ich von -00..00 integriere.
Maple liefert zunaechst gar keine Loesung.
Ich habe daher die Grenzen erst allgemein als ein a forumiliert und dann den Grenzuebergang durchgefuehrt.SIcherlich auch nicht ganz korrekt.

@hamilton
Du hast recht. Die Polstelle muss vom Integrationsweg umschlossen sein. Und das ist hier ja gar nicht gegeben. Ich werde deine Idee mal ausprobieren. Man kann epsilon dann gegen 0 gehen lassen.
Oder ich waehle -00+i*s ... 00+i*s als Integrationsweg. Das waere auch mal interessant.

Der Gedanke mit der Symetrie ist einleuchtend.
Da ist alles symetrisch. Der Wert muesste doch gleich Null sein.
Es ist vielleicht so wie Uli bemerkte. Wenn ich das Intervall -00..00 als eine geschlossene
Kurve betrachte muss ich mich entscheiden ob diese Kurve im unendlichen nach "links" oder "rechts" abbiegt. Ob ich im oder gegen den Uhrzeigersinn laufe. Und das waere ein Symetriebruch. Per Definition. Das Ergebnis damit auch eine Definitionssache.

Obige Abbildungen sind von WIKI. Ich meine das Ergebnis stimmt schon.
Im Zusammenhang mit den angegebenen Definitionen und Methoden.

@quant Solange Wiki nicht meckert geht es ja zum Teil mit den Formeln :-)

AW: Bestimme Integral(1/x,x=-00..00)
 

Hallo richy,

Integrale mit unendlichen Grenzen sind uneigentliche Integrale.
Diese sind bestimmte Integrale, die auf einer Seite nicht begrenzt sind und trotzdem einen endlichen Flächeninhalt haben.

Die Berechnung von uneigentlichen Integralen erfolgt über die Grenzwert-Rechnung.
Das Integral(0bis1) dx/x existiert im reelen nicht, da ln0 nicht existiert.

Mit dem Residuensatz kann man reele Integrale mit unendlichen Grenzen berechnen. In der komplexen Ebene wird dazu eine geschlossene Kurve eingeführt.
Die komplexe Ebene wird dabei durch einen Punkt im unendlichen ergänzt(Riemannsche Zahlenkugel).

Auf der Riemannschen Zahlenkugel/Riemannschen Fläche ist der Wertevorrat der Funktion f(z) in völlig eindeutiger Weise ausgebreitet.

Wenn das Integral dz/z den im positiven Sinne durchlaufenden Einheitskreis um den Ursprung bedeutet, dann ist in Parameterdarstellung
x=cost, y=sint für 0<=t<=2PI, dz=(-sint + icost)dt und daraus wegen
(-sint + icost)*(cost - isint) = -sint*cost + sint*cost + i(sin²t+cos²t)
Integral dz/z = Integral(0bis2PI) ((-sint + icost)/(cost + isint))dt=

Integral(0bis2Pi) idt = 2PIi

Gruß EMI

PS: Wer ist Maple?

AW: Bestimme Integral(1/x,x=-00..00)
 

@EMI
Ja, der Trick mit dem Residuensatz ist aber schon so gedacht, dass man den Halbkreis entlang der reellen Achse mit dem Bogen über "unendlich" nimmt- da kann man nicht einfach über den EK gehen, das ist gegen die Regeln :)

Das ist nett, dass du das mal per Hand gemacht hast, aber es ist tatsächlich so, dass für das komplexe Problem 1/z der Integrationspfad egal ist, solange er irgendwie um die Polstelle rumläuft, es zählt nur, dass der Pol im Gebiet liegt -und die Windungszahl. Das ist der bereits zitierte Cauchy'sche Integralsatz.

AW: Bestimme Integral(1/x,x=-00..00)
 

Hi

Ich finde die explizite Loesung, ohne Residuensatz, auch recht interessant, da man hier vielleicht erkennen koennte warum die Symetriebetrachtung nicht greift.
Mir ist das schon bischen ein Raetsel. Und auch warum die Methode mit dem Residuum anscheinend dennoch funktioniert, obwohl man ueber die Unstetigkeitsstelle rauscht und sie nicht umschliesst.
Mir der Rechnung kann man das sicher recht gut nachvollziehen.

Es sollte cost heissen nicht const oder ?
Aber ich hab jetzt 10 Stunden nen Faschingssong programmiert.
Mir reichts erstmal mit Knoepfen druecken :-)

ciao

AW: Bestimme Integral(1/x,x=-00..00)
 

Womit und wie programmierst du denn Faschingsongs?