AW: Gravitative Zeitdilatation und Entkommen des Gravitationsfeldes bei Interstellar
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Eine Näherung, die ich implizit vorausgesetzt habe, ist der Start des Raumschiffs vom Planeten selbst; letztlich müsste man den nämlich mit einberechnen. Ich denke, man kann in guter Näherung annehmen, dass der Planet selbst einen zusätzlichen Energieaufwand wie für den Start von der Erde verursacht, und dass dieser im Falle von Extremsituationen, also wenn der Planet sich nahe am Ereignishorizont des Schwarzen Lochs befindet, vernachlässigbar ist. D.h. wir betrachten letztlich die Fluchtgeschwindigkeit bzw. die benötigte Energie für das Schwarzschildproblem. Dafür könnte man sich nun überlegen, ob sich qualitative viel ändert, wenn die Startbedingung des Raumschiffs nicht statisch bei r = const. und phi = const. angenommen wird (also für den künstlichen Fall, dass das Raumschiff mit eigenem Antrieb schwebt), sondern wenn man das Raumschiff antriebslos mit L > 0 auf einen stabilen Schwarzschild-Orbit setzt und von aus starten lässt. |
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In der Schwarzschildmetrik gibt es natürlich Kreisbahnen, und ich würde Millers Planet auch auf eine setzen.
Dann gilt laut Wikipedia ω²=rs/2r³, wobei ω=dφ/dt. Die lokale Geschwindigkeit v des Planeten ist dann rω/sqrt(1-rs/r). Die gesamte Zeitdilatation ist dann sqrt(1-v²)*sqrt(1-rs/r) = sqrt(1-3rs/2r). Bei einer Zeitdilatation von 7000 liegt das quasi genau auf der Photonsphäre, von wo aus man eine gravitative ZD von sqrt(3)~=1,73 hat. Die zugehörige Rapidität ist w=areacosh(sqrt(3))~=1,14. In die klassische Raketengleichung kann man also 1,14c als Zielgeschwindigkeit einsetzen und kommt so auf das Verhältnis Nutzlast/Treibstoff. Bei einer Ausstoßgeschwindigkeit von 5 km/s ist das etwa 10^-30000. Also macht man einen Swingby und alles ist gut. :cool: |
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Ich habe gerade Probleme damit, meine eigene Argumentation nachzuvollziehen. Muss noch mal drüber nachdenken.
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Der Dilatationsfaktor divergiert bei r = 3/2 r_s, so dass bei den beschriebenen Kreisbahnen prinzipiell jeder Dilatationsfaktor von 1 bis "fast unendlich" realisiert werden kann. Den Satz: Zitat:
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Ich habe die Ergebnisse für die Kreisbahnen gleich mal mit der Formel für die Energie aus der Wikipedia verknüpft und komme damit auf interessante Ergebnisse:
Das Mutterschiff bei 10 Schwarzschildradien ist gemäß Formel aus der WP mit einem kleinen Energiegewinn zu erreichen. Diesen Energiegewinn will ich mal vernachlässigen. Um Millers Planet bei etwa 1,5 Schwarzschildradien zu erreichen muss eine Menge Energie aufgewendet werden. Geht man von einem idealen Antrieb aus, der Masse zu 100% in Energie verwandeln kann so erhalte ich insgesamt die folgende genäherte Formel: 1 + Masse_Treibstoff / Masse_Raumgleiter = f / 3 mit guter Genauigkeit, falls f > 100. Dabei ist f der Dilatationsfaktor von Millers Planet. 1 Stunde auf Millers Planet entspricht 61362 Stunden auf der Erde. Es gilt also f = 61362, bzw. f/3 = 20454. Für jedes kg vom Raumgleiter + Mannschaft braucht das Raumschiff also bei idealer Energienutzung etwas mehr als 20 Tonnen "Treibstoff" um Millers Planet zu erreichen. Hier "flunkert" der Film also schon ein wenig. Ohne Energiezufuhr von außen oder gänzlich neuartige Reisemöglichkeiten, wäre die Reise zu Millers Planet so nicht machbar. |
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Wenn da einer wäre, dann müsste man, wie du schon sagst, stark beschleunigen, um dahin zu kommen. Wenn ich nicht wieder einen Denkfehler mache, auf einen Gammafaktor von 35427. Die restlichen 1.73 kriegt man aus dem Gravitationspotential des SL. Bei einem noch so kleinen Navigationsfehler stürzt man entweder ins SL oder rast mit fast c davon. Für das Treibstoffverhältnis komme ich aber auf 70855:1 ~=2f. (Bei 5 km/s Ausstoßgeschwindigkeit auf 10^291000:1). *Der Gammafaktor ist nicht 7000, wie ich mich fälschlicherweise erinnerte, sondern 61362, wie du sagst. |
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