Fluchtgeschwindigkeit: Ellipse vs. senkrechter Start
 

Hallo liebes Forum,

Es gibt ja die Fluchtgeschwindigkeit root(2Gm/r).
Ein Probekörper benötigt von/bei der Erdoberfläche 11,2 km/s. um der Erde zu entkommen.

Im Allgemeinen wird die Flucht durch eine sich öffnende Kreisbahn in eine Ellipse dargestellt, also in einer sich vergrößernden Exzentrizität, bis die Bahn sich im Unendlichen ganz öffnet.

Fragen:

1. Ist damit die Perizentrumsgeschwindigkeit (Erdnächste Tangente) gemeint? ich nehme mal an: ja.
2. Wie verhält es sich, wenn eine Rakete senkrecht startet und quasi instantan auf 11,2 km/s beschleunigt (und dann Triebwerke abstellt), gilt dann das gleiche, dass sie gerade so im Unendlichen der Erde entkommt?
3. Wie verhält es sich dann bei instantaner senkrechter Beschleunigung auf Kreisbahngeschwindigkeit root(Gm/r)? Wie weit würde die Rakete von der Erde weg fliegen, bis sie umkehrt und zurückfällt? wie lautet die Formel dazu?

vielen Dank schon mal!

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Die Fluchtgeschwindigkeit ist eine Bedienung für den antriebslosen Flug entlang eines Keplerorbits. Für die entlang des Orbits erhaltene Energie E mit Geschwindigkeit v und Abstand r gilt

E = ½ mv² - GmM/r

Gebunde, elliptische Bahnen mit E < 0 werden von ungebundenen, hyperbolischen Bahnen mit E > 0 durch parabolische Bahnen mit E = 0 getrennt. Die Bedingung

E ≥ 0

führt auf die Fluchtgeschwindigkeit

v² ≥ 2GM/r

Dies lässt bei einem festen r unterschiedliche Orbits zu der selben Energie E zu, die sich lediglich durch den Bahndrehimpuls unterscheiden. Z.B. können ein rein radialer Orbit und ein in einem Punkt zu gegebenen Kreis tangentialer Orbit die selbe Energie haben.

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Ergänzend zu Toms korrekten Bemerkungen, nun explizit zu den Fragen

Meines Wissens ist die "Perizentrumsgeschwindigkeit" für beliebige Bahnen definiert, also auch für hyperbolische (ungebundene, E>0) und elliptische (E<0). Diese Geschwindigkeit hängt also ganz von der Bahn ab und wird i.a. nicht mit der Fluchtgeschwindigkeit übereinstimmen.

Genauso ist es; das ist quasi die Definition der Fluchtgeschwindigkeit.

Dazu könnte man die Energiebilanz bei Start und bei Erreichen der max. Geschwindigkeit aufstellen.
Ekin steht für die Bewegungsenergie und Epot für die potentielle.

Ekin (start) + Epot (start) = Epot( max)

denn am Umkehrpunkt ist die Geschwindigkeit 0 und damit auch die kinetische Energie. Also

Ekin(r0) + Epot(r0) = Epot(rmax)

rk = Radius einer Kreisbahn, r0 = Radius zur Erdoberfläche,
rmax = maximal erreichbarer Abstand,
m = Masse des Probekörpers, M = Erdmasse

mit Ekin = (1/2)*m*v^2 und v aus deiner Formel:

(1/2) * (G * m^2 / rk) - G*m*M/r0 = - G*m*M/rmax

Wenn man unbedingt will, kann man das nach rmax auflösen; es ist aber nicht besonders "erhellend" und interessant.

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Einfacher geht es, wenn man weiß, dass Bahnen gleicher Energie die selbe große Halbachse a haben. Bei Querbewegung ist gleichzeitig der Drehimpuls maximal und damit die Exzentrizität Null, also a = r (Erdradius). Bei senkrechter Bewegung ist der Drehimpuls Null und damit die Exzentrizität maximal. Der größte Abstand vom Mittelpunkt ist dann 2a = 2r, die maximale Höhe über Grund ist also r.
Formeln dazu:
https://de.wikipedia.org/wiki/Spezifische_Bahnenergie
https://de.wikipedia.org/wiki/Exzent...4t_(Astronomie)

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Ich bin mir ziemlich sicher, dass wir hier unterschiedliche Aufgabestellungen diskutiert haben.

Der maximale Abstand von der Erdoberfläche soll also gleich dem Erdradius sein, und das völlig unabhängig davon, von welcher "Kreisbahngeschwindigkeit" root(Gm/r) hier ausgegangen wird? Das kann nicht sein.
r habe ich hier als beliebig vorgegeben betrachtet, deshalb rk genannt. Ich vermute, du hast hier ein spezielles r betrachtet, den Erdradius vielleicht?
Leider hat Martin nicht angegeben, was genau er mit r meint.

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Die Kreisbahngeschwindigkeit ist doch die erste kosmische Geschwindigkeit, also Kreis mit Erdradius. Die ist nicht beliebig.

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Ja, vermutlich war die Frage so gemeint - lange Leitung meinerseits. :)

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OK, das war mir eigentlich klar und wollte ich nicht in Frage stellen. Eine bessere Formulierung meiner Frage wäre gewesen:
"ist mit der Fluchtgeschwindigkeit = 11,2km/s die Perizentrumsgeschwindigkeit einer parabolischen Bahn gemeint, deren erdnächster Punkt die Erdoberfläche tangiert?" - oder so ähnlich.

Wenn ich eure Antworten richtig verstanden habe, wurde meine Vermutung bestätigt, wobei die Geschwindigkeit von 11,2km/s im oben definierten Perizentrum gleichwertig mit dem senkrechten Start ab Erdboden und ohne weiteren Antrieb ist, um die Flucht zu erreichen (oder ergreifen, je nach dem, wer beobachtet ;-)


Perfekt - auf der Suche nach Mustern ist das eine schöne Erkenntnis.
Vielen dank aber auch an Hawkwind, für die generellen Formeln dazu, die ich bei meinen Gedankenexperimenten auch brauchen werden!

Hier war ich unfreiwillig ausreichend präzise ;-)
Mir war nicht mehr bewusst, dass die Kreisbahngeschwindigkeit ein feststehender Begriff für die erste komische Geschwindigkeit ist.
Nun frage ich mich, was ist dann ein allgemeinerer Begriff für einen kreisrunden Orbit mit unterschiedlichem r? Ich denke dies hat TomS mit "radialer Orbit" auch schon beantwortet.

Vielen dank an euch, TomS, Ich, Hawkwind - ich bin sehr froh, dass es euch hier gibt und ihr die Muße habt, Laien wie mir, so ausführlich zu antworten.
Falls ich eines Tages die Relativitätstheorie(n) erweitere, werde ich auf euren Input referenzierten ;-)

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Das würde ich auch gar nicht unbedingt meinen. Aber du hast ja auch noch die Formel "root(Gm/r)" dazu geschrieben, so dass es klar war.
Schon gut, dafür darfst du dann gerne alle Lorbeeren selber einheimsen.

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"v = root(Gm/r)" ist aber doch die Bedingung für eine Kreisbahn bei einer beliebigen Geschwindigkeit v im Abstand r. Anscheinend reservierst du den Buchstaben "r" für den Erdradius. :)