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Zweifels 03.06.21 12:52

Beweise in der Geometrie
 
Sei V³ ein dreidimensionaler Euklidischer Vektorraum und A² eine gleichseitige zweidimensionale Fläche, dann gilt:
Es gibt 5 Platonische Körper und, für lokal infinit kleine Flächen einen sechsten Körper, die Kugel.
(vgl. https://de.wikipedia.org/wiki/Platonischer_K%C3%B6rper )

Wir wissen, dass das grundsätzlich richtig ist, doch mir gefällt meine mathematische Formulierung nicht und ein exakt mathematischer Beweis. Wie müsste ich das machen?

TomS 03.06.21 14:55

AW: Beweise in der Geometrie
 
Eine topologische Beweisskizze funktioniert wie folgt:

Man startet mit dem Eulerschen Polyedersatz für E Ecken, K Kanten sowie F Flächen. Es gilt:

E - K + F = 2

Nun betrachtet man regelmäßige n-Ecke sowie v Kanten je Ecke des Polyeders. Für die Anzahl der Kanten K gilt:

2K = nF
2K = vE

Dabei trägt jede Fläche n Kanten bei, wobei jedoch jede Kante zu zwei aneinanderstoßende Flächen gehört; der Faktor 2 berücksichtigt diese Doppelzählung. Jede Ecke trägt v Kanten bei, wobei jede Kante zu zwei Ecken gehört; wieder benötigen wir den Faktor 2 aufgrund dieser Doppelzählung.

Damit eliminiert man die Variablen E und K aus dem Polyedersatz.

Nun betrachtet man die Winkelsumme der n-Ecke und berechnet daraus den Innenwinkel je Ecke. An jeder Ecke stoßen v Flächen d.h. n-Ecke aneinander; die Summe der Innenwinkel muss kleiner als 360° sein, damit ein konvexes Polyeder entstehen kann. Außerdem muss die Zahl v natürlich größer als zwei sein.

Aus dem Polyedesatz sowie der zuletzt betrachteten Bedingung folgt - wenn ich mich nicht verrechnet habe

[2n - v(n-2)]F = 4

2(n-2) < v(n-2) < 2n

Daraus sollten für positive ganze Zahlen n, v, F unter den oben genannten Bedingungen alle topologisch möglichen, regelmäßigen Polyeder folgen.

Den genauen Beweis kannst du googeln, die zulässigen Werte zum Beispiel mittels Exel berechnen.

Dieser rein topologische Beweis wird oft als vollständig dargestellt; dies ist falsch! Für einen platonischen Körper muss sichergestellt sein, dass die Winkel zwischen allen an jeder Ecke aneinanderstoßenden Flächen für alle Ecken identisch sind, und dass damit ein geschlossenes Polyeder entsteht. Dies ist eine zusätzliche geometrische Bedingung, die der topologische Beweis so nicht liefert.

TomS 04.06.21 06:32

AW: Beweise in der Geometrie
 
Ok, die Rechnung stimmt, habe sie nochmal kontrolliert. Man kann die Darstellung noch deutlich übersichtlicher gestalten. Dazu führt man neue Variablen

n = 2 + m
v = 2 + u

ein und löst für die Anzahl der Flächen

F = (8+4u) / (4 - mu)

Dabei gelten natürlich die Bedingungen

m > 0
u > 0
4 - mu > 0
F ganzzahlig

Interessanterweise sind die letzten beiden Bedingungen gleichzeitig erfüllt, d.h. die gemäß 4 - mu > 0 zulässigen Werte führen automatisch auf F ganzzahlig.

Zweifels 04.06.21 17:08

AW: Beweise in der Geometrie
 
Wow!:cool:

TomS 04.06.21 19:18

AW: Beweise in der Geometrie
 
Ersetzte n durch p und v durch q.

Dann siehe

https://en.m.wikipedia.org/wiki/Schläfli_symbol
https://en.m.wikipedia.org/wiki/Polyhedron


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