Primzahlzwillinge
 

Hallo Zweifels,

du hast hier: http://quanten.de/forum/showpost.php...5&postcount=16 behauptet, dass du beweisen kannst, dass es unendlich viele Primzahlzwillinge gibt.

Ich habe mir also deinen "Beweis" von hier: https://www.matheboard.de/thread.php?threadid=596000 mal angesehen, komme aber mit einem Zeichen bei Lemma 0.2 nicht recht weiter:
Wofür soll das von mir fett dargestellte Zeichen bitte stehen? Das sieht wie ein schräges Kreuz aus. Ist da "ungleich" gemeint?

Ich habe das Wort Beweis in Anführungszeichen gesetzt, weil du das ja selbst als Versuch bezeichnest und der Text bisher auch nicht vom Matheboard als Beweis akzeptiert wurde.

Mich würde daher schon interessieren, ob das tatsächlich ein Beweis ist oder ob darin irgendwo ein Fehler enthalten ist.

EDIT: Zu Lemma 0.4 kann man leicht ein Gegenbeispiel angeben: z1 := 4 * 3 * 5 * 7 * 11 - 13 = 4.607 = 17 * 271 also nicht prim. Da p_n = 11, gilt auch nicht z1 < p_n^2.

AW: Primzahlzwillinge
 

Das Zeichen bedeutet "teilt nicht", dein z_1 liegt nicht zwischen p_n und (p_n)².

Mein Beweis... tzz, Borborhad's triffts wohl eher (sshhhht!)

AW: Primzahlzwillinge
 

Wenn es denn nun ein Beweis wäre, was ich so (in Übereinstimmung mit dem Matheboard) erstmal lieber nicht behaupten möchte.

AW: Primzahlzwillinge
 

Ok. Also wer das genau verfasst hat, ist ja egal. Es sieht für mich auch eher wie ein recht zaghafter Versuch eines Laien aus, sich an die Problematik heranzutasten, was ja völlig legitim und auch erfreulich ist. Den Beweis des Satzes von Euklid hat der Autor auf jeden Fall begriffen (Thumbs up).

Das Intervall zwischen pn und pn² ist ebenfalls ganz interessant, aber eine "zündende" und spannende Idee fehlt mir persönlich ab da. Deshalb empfehle ich nochma diesen WP-Abschnittl:
https://de.wikipedia.org/wiki/Primza..._Fragestellung.

Ich kenne die Arbeit von Y. Zhang (noch) nicht, erscheint mir aber als ziemlich lesenswert, wenn man sich für das Primzahlzwilling-Problem interessiert.

AW: Primzahlzwillinge
 

Das interessante an der Zahlentheorie ist es, das fehlende "Bindeglied" zu finden, mit dem sich eine Vermutung beweisen lässt. Beispielsweise bei dem Satz von Euklid einfach nur die Tatsache, alle Primzahlen miteinander zu multiplizieren und 1 dazu zu zählen und diese Zahl (bzw. Variablenterm) auf die Eigenschaften (prim, nicht-prim) und Konsequenzen dieser Eigenschaften (unendlich viele, endlich viele) zu untersuchen.
Bei Beweisen ist das finden verdammt schwer, das verstehen hingegen (ist man in der Materie) kann sehr leicht sein.

Yap, weil das zündente eben nur aussieht wie ein trivialer Variablenterm ;)
Andere, sehr, sehr gute und fähige Mathematiker entwickeln, um etwas zu beweisen, eine eigene Mathematik dafür. Aber das ist nochmal eine ganz andere Liga und braucht ein unfassbares mathematisches Verständnis. Also ich könnte das (noch?) nicht, schliesslich hat man hier nicht nur mögliche Fehlerquellen im Beweis sondern kann auch Fehlerquellen im Axiomensystem der definierten mathematischen Struktur haben.

Obwohl der Beweis als richtig angesehen wird, halte ich ihn für möglich falsch. Ich kenne die Arbeit von Y. Zhang (und den weiteren, die sich damit beschäftigt haben) nicht, und denke auch nicht, dass der Beweis falsch ist, sondern nur, dass von einer (nicht ganz exakten) Definition von Primzahlen ausgeganen wird, die einen solchen Beweis zulassen.
Mal schaun, vielleicht kannst du ihn mir ja irgendwann mal erkären und mir zeigen, ob meine Vermutung richtig war oder nicht.:rolleyes:

Ne, warte mal:
was hat der genau bewiesen?
Yap, der ist schon richtig^^

AW: Primzahlzwillinge
 

"Asymtotisch gleich", also die Primzahlen und ihr verhalten wie Logarithmen, das ist das, was ich nicht verstehe...
https://de.wikipedia.org/wiki/Primzahlsatz

Und das hielt ich immer für möglich falsch... tzzz soviel zu meinen mathemischn Fähigkeiten. Ich halte es für wahr, dass es unendliche viele Primzahlenzwillinge gibt um zweifle im nächsten Schritt an, dass ein allgemeinerer Beweis von Primzahlcousins falsch ist.... :mad:

AW: Primzahlzwillinge
 

Ok. Man kann natürlich auch danach fragen, ob es so ein z_1 immer gibt. Falls nicht, ist der "Beweis" unvollständig, bzw. nicht schlüssig.

AW: Primzahlzwillinge
 

Das kannst du gerne vermuten, aber behaupte bitte nicht ohne guten Grund, dass man das auch beweisen kann. So einen Beweis gibt es bis jetzt nicht, auch wenn das erstaunlich bis unglaublich erscheint.

AW: Primzahlzwillinge
 

Genau das tut Lemma 0.3;)

Die Gültigkeit eines mathematischen Beweises (für angehende Mathematiker) wird durch eine mathematische Gesellschaft festgelegt. Und das ist auch gut so, denn die haben wirklich Ahnung.

Doch für machne Individuen gilt nach wie vor der Satz von HAL:
"Ein Beweis spricht für sich selbst!" :)

AW: Primzahlzwillinge
 

Dann sollte es allerdings nicht als Lemma, sondern als offene Frage bezeichnet werden.

AW: Primzahlzwillinge
 

Ne, da hast du mich falsch verstanden. Die offene Frage wird beantwortet, in dem eine Konstruktionsvorschrift für diese Primzahlen zwischen p_n und (p_n)² gegeben wird.
Der Index m in Lemma 0.3 von e_m bzw. y_m kann beliebig gross sein und damit findet sich auch stets eine Differenz, welche p_{n+x} ergibt.

Aber nochmal zurück zu deiner Bemerkung: Fändest du es besser, es als offene Frage zu bezeichnen?

AW: Primzahlzwillinge
 

Das hängt davon ab, ob man davon ausgehen kann, dass es im Bereich p_n bis p_n^2 immer mindestens eine weitere Primzahl gibt.

Für sehr große Primzahlen (und um die geht es hier ja) erscheint mir das momentan fraglich.

Die Primzahlzählfunktion pi(x) wächst für große x ja immer langsamer. Man müsste da klären, ob damit p_n+1 nicht irgendwann größer als p_n^2 wird. Dann wäre der Bereich p_n bis p_n^2 auch mal ohne Primzahl.

AW: Primzahlzwillinge
 

Nach Joseph Bertrand gilt für jedes n > 1: zwischen n und 2n liegt wenigstens eine Primzahl. Damit liegt offensichtlich zwischen p und p² wenigstens eine Primzahl.

AW: Primzahlzwillinge
 

OK. Damit würde ich Lemma 0.1. und 0.2 als korrekt bewerten.

EDIT: Beim "Beweis" von "Lemma" 0.3 ergibt sich schnell ein offensichtlicher logischer Widerspruch, da p_n+x gemäß (1) und der Voraussetzung in "Lemma" 0.3 gleich 1 ist, gleichzeitig gemäß "Lemma" 0.3 aber auch größer als p_n sein soll.

AW: Primzahlzwillinge
 

Der Vollständigkeit halber, hier der Beweis zu diesem Satz:
https://en.wikipedia.org/wiki/Proof_...%27s_postulate

AW: Primzahlzwillinge
 

Das im ersten Beitrag verlinkte Thema im MatheBoard ist inklusive Autor zwar gesperrt, kann aber immerhin noch als Motivation für einen Primzahlgenerator für endliche Primzahlmengen herhalten.

Man findet so nach einer kleinen Korrektur sogar eine interessante Alternative, bzw. Erweiterung des Generators im WP-Artikel.

So gilt zB

p_1 * p_2 * ... * p_n + oder - p_(n+1)^m ist prim, solange die so berechnte Zahl kleiner als (p_(n+2))² ist. Der Beweis dazu ist trivial.

m muss dabei als positive ganze Zahl so gewählt werden, dass die erzeugte Zahl immer größer als 1 und kleiner als (p_(n+2))² ist.

EDIT: Im eigentlichen Thema würde man nun weiterkommen, wenn man mit diesem Generator immer einen Zwilling konstruieren könnte, so dass zumindest eine der beiden Primzahlen des neuen Zwillings größer als p_(n+1) ist.

Nochmal EDIT: Mit einem kleinen Computerprogramm kann man zeigen, dass man mit allen Möglichkeiten an Exponenten, ähnlich auch wie im verlinkten MatheBoard-Thema beschrieben + Beschreibung aus dem WP-Artikel, aus den Zahlen 2 und 3 alle Primzahlen kleiner 5²-1 und aus den Zahlen 2, 3 und 5 alle Primzahlen kleiner als 7²-1 konstruieren kann.

Im ersten Fall kann man die Exponenten der Zahlen 2 und 3 von 1 bis 5 variieren und jeweils die Summe und Differenz betrachten.

Im zweiten Fall reicht es die Exponenten auch bis maximal 5 zu betrachten. Man hat dann die Kombinationen 2^i + 3^j * 5^k, 2^i - 3^j * 5^k, 2^i * 3^j + 5^k und 2^i * 3^j - 5^k, wobei die Exponenten i, j, und k immer von 1 bis 5 laufen und das Ergebnis nur gespeichert wird, falls es im Bereich 2 bis 47 liegt.

Das macht den Generator interessant, weil man damit eventuell aus einer vorher bekannten vollständigen Menge an Primzahlen eine größere vollständige Menge an Primzahlen ableiten kann.

Für die konkrete Anwendung in einem Computerprogramm ist dieser Generator aufgrund der hohen Anzahl an Kombinationen in den Exponenten aber leider nur für sehr kleine Mengen an Primzahlen anwendbar. Bereits bei der Schranke von 1e6 ist das Sieb des Eratosthenes im Rechenaufwand deutlich geringer.

AW: Primzahlzwillinge
 

Um den Fehler zu beheben, kann man versuchsweise davon ausgehen, dass eigentlich der Ausdruck innerhalb der runden Klammern rechts vom Gleichheitszeichen von (3) gleich 1 sein soll, aber selbst mit dieser Korrektur stößt man auf weitere Fehler, denn bei (2) wird ja angenommen, dass in jedem Summanden der Multiplikator p_n+x enthalten ist. Dazu findet man aber schnell ein Gegenbeispiel:

Sei p_n = 5 und p_n+x = 19, so gilt zwar 19 = 4 * 3 * 5 - 43 + 2 = 2 * 31 - 43. Auf der rechten Seite kann man die 19 nicht ausklammern, weil 31 und 43 prim sind.

AW: Primzahlzwillinge
 

Abschließend und der Vollständigkeit halber noch eine etwas ausführlichere Beschreibung des oben bereits erwähnten Primzahlgenerators für endliche Primzahlmengen:

Man beginnt mit einer bereits bekannten und vollständigen Menge an Primzahlen p_1, p_2, ... , p_n. Nun bildet man aus der Untermenge p_1 bis p_n-1 zwei nichtleere Mengen aus aufeinanderfolgenden Primzahlen aus dieser Untermenge, d.h. a = {p_1 bis p_i} und b = {p_i+1 bis p_n-1} mit i < n-1 und betrachtet die Menge aller Summen

sum := p_1^x_1 * ... * p_i^x_i (+/-) p_(i+1)^y_(i+1) * ... * p_(n-1)^y_(n-1)

mit den positiven und ganzzahligen Exponenten x_1 bis x_i alle größer oder gleich 1 und y_(i+1) bis y_(n-1) ebenfalls alle größer oder gleich 1.

Die resultierenden Zahlen sind entweder selbst Primzahlen oder bestehen aus den Primfaktoren, die nicht zu den Mengen a oder b gehören. Die kleinste so erzeugte Nicht-Primzahl ist demnach p_n^2. Wählt man die Exponenten nun so aus, dass sum > 1 und sum < p_n^2 ergeben sich ausschließlich Primzahlen im Bereich 2 bis p_n^2-1, wobei p_n^2-1 als gerade Zahl noch ausgeschlossen werden kann.

Für den Fall, dasss man so von einer vollständigen und endlichen Liste an Primzahlen zu einer größeren vollständigen und endlichen Liste kommt, kann man sich überlegen, ob die größere Liste eventuell grundsätzlich einen Primzahlzwilling enthält :) .

AW: Primzahlzwillinge
 

Dazu bekommt man die folgenden Ergebnisse:

Aus der Menge 2,3,5 kann man auch mit kleinen Exponenten (< 5) alle weiteren Primzahlen < 49 ableiten.

Zu erwähnen ist der Primzahlzwilling 2 + 3*5 = 17 und 4 + 3*5 = 19.

Aus der Menge 2,3,5,7 kann man auch mit kleinen Exponenten (< 10) alle weiteren Primzahlen größer als 49 und kleiner als 121 ableiten. Im Bereich kleiner als 49 fehlt die 31, welche sich auch mit Exponenten bis 100 nicht darstellen läßt.

Zu erwähnen ist entsprechend der Primzahlzwilling 2 + 3*5*7 = 107 und 4 + 3*5*7 = 109.

Bei der Menge 2,3,5,7,11 reduziert sich dann die Menge der generierten Primzahlen zwischen 121 und 169 merklich und zwar auch mit Exponenten < 41, wobei der Rechenaufwand entsprechend steigt.
Ich vermute deshalb nun eher, dass der Generator unvollständig ist.

Ein weiterer Primzahlzwilling lässt sich gemäß 2 + 3*5*7*11 = 1157 und 4 + 3*5*7*11 = 1159 nicht finden, weil beide Zahlen > 13² sind. Beide Zahlen sind keine Primzahlen.

Es ergibt sich also kein trivialer Generator für Primzahlzwillinge.

AW: Primzahlzwillinge
 

Habe auch schon öfter mal davon gelesen, dass es unendlich viele Primzahlzwillinge gibt. Einen eindeutigen Beweis dafür konnte ich aber nie finden

AW: Primzahlzwillinge
 

Hallo Johst,

ich vertraue in dieser Frage der Wikipedia und den Experten von matheboard.de. Demnach gibt es dazu aktuell keinen Beweis.