Frage zu unendlich tiefem Potentialtopf
Hallo Forum,
bei der Vprbereitung auf meine Klausur hänge ich fest an dieser Frage. Könnt ihr mir helfen? Gegeben sei der unendlich tiefe Potentialtopf mit V=0 von -a bis a. Frage: Ist die Bewegung des quantenmechanischen Teilchens periodisch? Begründen Sie Ihre Antwort. Danke schon vielmals im Voraus! |
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Die Frage ist ziemlich doof gestellt.
Was ist ein "quantenmechanisches Teilchen"? Ich denke, der Zustand bzw. die zugehörige Wellenfunktion. Nun, diese gehorcht der zeitabhängigen Schrödingergleichung, und diese liefert für Energieeigenzustände |n> immer eine periodische Zeitabhängigkeit gemäß |n,t> = exp(-iHt) |n,0>= exp(-iEt) |n,0> Nun ist jedoch ein allgemeiner Zustand |ψ> nicht zwingend ein Energieeigenzustand sondern i.A. eine Superposition aus Eigenzuständen. Diese haben jeweils Energie E(n) = εn², d.h. die Zeitentwicklung lautet allgemein |ψ,t> = Σ a(n) |n,t> = Σ a(n) exp(-iεn²t) |n> Periodizität würde vorliegen für |ψ,t+T> = exp(iA) |ψ,t> mit n-unabhängigem A, d.h. Σ a(n) exp(-iεn²(t+T)) |n> = exp(iA) Σ a(n) exp(-iεn²t) |n> Demnach müsste für jedes beitragende n separat gelten exp(-iεn²(t+T) = exp(iA) exp(-iεn²t) exp(-iεn²T) = exp(iA) und das ist für n-unabhängiges A nicht lösbar, es sei denn, alle bis auf einen Term verschwinden, was wieder auf einen Eigenzustand führt. |
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Ich stimme Tom zu; die Fragestellung ist nicht so eindeutig. Im Grunde ist jeder Energie-Eigenzustand eine stationäre Lösung der Schrödingergleichung, d.h. eine stehende Welle und somit periodisch. Das gilt für beliebige (zeitunabhängige) Potenziale.
Ich vermute, dein Lehrer hat bei der Frage die explizite Form der Eigenfunktionen für dieses Problem im Auge; diese sind nämlich für den unendlich hohen Topf die Sinus-Funktionen: siehe z.B. http://homepages.physik.uni-muenchen...0/k101p01.html http://homepages.physik.uni-muenchen...ges/Eqn10v.gif Diese sehen nunmal sehr periodisch aus. Vielleicht will dein Lehrer darauf hinaus (d.h. Periodizität in der Koordinate x)? |
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Ich würde mal annehmen, dass ein klassisches Teilchen im Korrespondenzfall wie ein schmales Wellenpaket aussieht, das an den Wänden reflektiert wird. Diese Bewegung muss periodisch sein. |
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Zu lösen ist exp(-iεn²T) = exp(iA) für feste Zeit T und feste Phase A, d.h. insbs. T und A unabhängig von n. Daraus folgt, dass A modulo 2kπ gleich -εn²T sein muss, d.h. -εn²T = A + 2kπ 1) Setzen wir Ichs T = 2π/ε ein, dann folgt -2πn² = A + 2πk A = -2π(k + n²) und das ist nicht n-unabhängig lösbar. (für ein einziges festes n, d.h. für einen Eigenzustand funktioniert das natürlich) 2) Lösen wir stattdessen nach T auf, so folgt aus -εn²T = A + 2kπ sofort T = -(A + 2kπ) / εn² und das ist für festes A und k immer n-abhängig, also nicht n-unabhängig lösbar. (wiederum gilt, dass dies für ein einziges festes n, d.h. für einen Eigenzustand natürlich funktioniert) (oder bin ich jetzt völlig auf dem Holzweg?) |
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Ich versteh's nicht.
Wenn zum Gesamtzustand genau ein einziger Eigenzsutand n beiträgt, dann ist dessen Zeitwentwicklung periodisch (da sind wir uns einig) Wenn der Gesamtzustand eine Superposition mehrerer Eigenzsutände ist, dann ist die Zeitwentwicklung nicht periodisch; das habe ich m.E. oben explizit gezeigt. Sag' mir doch bitte, welche meiner Schlussfolgerungen falsch sein soll. |
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:mad: Zweimal Bullsh... in wenigen Tagen = Auszeit?? Sorry jedenfalls! |
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