Quanten.de Diskussionsforum - Beschleunigung und RT

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AW: Beschleunigung und RT

Zitat:

Zitat von Ich (Beitrag 87419)

Ich würde gerne präzise Begriffe verwenden. Krümmung ist ein wohldefinierter Begriff aus der Mathematik. Unter Krümmung des Raums versteht man in der ART die intrinsische Krümmung einer dreidimensionalen Mannigfaltigkeit. Die Zeit selber hat aber nur eine Dimension, sie kann nicht intrinsisch gekrümmt sein. Jetzt kann man noch eine Dimension dazunehmen und z.B. die Krümmung der t-x-Ebene anschauen. Die ist aber wohl auch flach - weil die Zeitdilatation linear in x ist.
Dann bleibt eigentlich nur noch die extrinsische Krümmung einer Kurve in einem einbettenden Raum. Die Kurve wären die Weltlinien der beschleunigten (= im Gravitationsfeld ruhenden) Beobachter, die Krümmung eben ihre Beschleunigung.

Zum höhenabhängigen Verlauf der Zeit: Wie gesagt geht die Zeitdilatation linear mit x. Mir fällt keine präzise Begründung ein, wie man aus diesem Verhalten die Wortwahl "Krümmung der Zeit" ableitet. Der Raum ist flach, das ist unstrittig. Aber in einem beschleunigten Bezugssystem scheint gar nichts gekrümmt zu sein, auch nicht die Zeit - außer in dem o.g. Sinne.

Ok, klare und hilfreiche Antwort, danke.

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Zitat:

Zitat von Ich (Beitrag 87415)

Ein "homogenes Gravitationsfeld" wird wohl am ehesten durch Rindler-Koordinaten beschrieben. Wobei hier anzumerken ist, dass die "Gravitationsbeschleunigung" hier sehr wohl vom Ort abhängt. Ein "homogenes Gravitationsfeld", wie der Begriff hier gebraucht wird, ist es, weil es einfach durch eine Koordinatentransformation in einer flachen Raumzeit erzeugt werden kann, ganz im Sinne des Äquivalenzprinzips.
Die Metrik lautet
ds²=-(ax)²dt²+dx²+dy²+dz².
Der "Raum" dieser Koordinaten wird durch dt=0 erzeugt und hat also die flache euklidische Metrik
ds²=dx²+dy²+dz².
Wenn ich mich nicht täusche, ist die tx-Ebene aber auch flach. Die Aussage "die Zeit ist gekrümmt" könnte sich dann bestenfalls auf die extrinsische Kümmung der t-Koordinatenlinien in einer Minkowskimetrik beziehen.

Zitat:

Zitat von Ich (Beitrag 87419)

Das macht keinen Sinn für mich. Zu argumentieren, dass keine Kürmmung vorliegt, weil das totale Differential krummliniger Koordinaten keine Krümmungsabhängigkeit zeigt, fußt meines Erachtens auf einem Irrtum. Im Gegenteil: Die Verwendung krummliniger Koordinaten und das Fehlen der Abhängigkeit von Termen zumindest zweiter Ordnung zeigt - soweit ich das jetzt sehe - eindeutig das Vorliegen einer Krümmung.

Wenn man Polarkoordinaten benutzt und sich entlang einer Kreisbahn bewegt, bewegt man sich in diesem Koordinatensystem freilich linear, und es gibt keine Krümmung würde man nur nach diesen Koordinaten differenzieren. Aber krummlinige Koordinaten werden so nicht differenziert, wenn man die Krümmung feststellen will. Hier muss man nämlich auch die Einheitsvektoren ableiten.

Einfacher ist es, wenn man bei den geradlinigen Koordinaten bleibt und die sind analog zu dem Wiki-Artikel über Rindler-Koordinaten, den du zitiert hast, in der Minkowski-Metrik so definiert: (wobei a die zeitunabhängige Beschleunigung ist)

x=cosh(at)/a
t=sinh(at)/a

Also sowohl die Ortskoordinate x als auch die Zeitkoordinate t erfahren eine Krümmung entlang der Zeitachse. Aber jetzt, wo ich das schreibe, wird mir klar, wie es der Autor der von Marco Polo zitierten Seite vermutlich gemeint hat. Es gibt nur eine Krümmung entlang der Zeitachse und nicht entlang einer der Raumachsen ... aber das finde ich ein wenig missverständlich, denn sowohl Raum als auch Zeit sind gekrümmt, nur halt entlang der Zeit.

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Zitat:

Zitat von Benjamin (Beitrag 87421)

Die Gaußsche Krümmung der t-x-Ebene berechnet sich nach der Formel von Brioschi für E=(ax)² und G=1. Und sie wird Null, wenn sqrt(E) linear in x ist. Es liegt also keine Krümmung vor.

Zitat:

Einfacher ist es, wenn man bei den geradlinigen Koordinaten bleibt und die sind analog zu dem Wiki-Artikel über Rindler-Koordinaten, den du zitiert hast, in der Minkowski-Metrik so definiert: (wobei a die zeitunabhängige Beschleunigung ist)

x=cosh(at)/a
t=sinh(at)/a

Also sowohl die Ortskoordinate x als auch die Zeitkoordinate t erfahren eine Krümmung entlang der Zeitachse.

Du hast die Formeln falsch gelesen. Nicht x=1/a, sondern X|(T=0) = 1/a. Die Trafos lauten richtig:

X = x cosh(at)
T = x sinh(at)

Die X-Achsen (T=const) sind also Geraden in Minkowskikoordinaten und somit nicht gekrümmt. Die T-Achsen sind die von mir beschriebenen Weltilinien der kanonischen Beobachter, deren Krümmung ihrer Beschleunigung entspricht.

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Zitat:

Zitat von Ich (Beitrag 87423)

Du hast die Formeln falsch gelesen. Nicht x=1/a, sondern X|(T=0) = 1/a.

Verstehe ich nicht. Auf der von dir zitierten Wiki-Seite steht doch x=1/a wäre eine Konstante.

Zitat:

Die X-Achsen (T=const) sind also Geraden in Minkowskikoordinaten und somit nicht gekrümmt.

Erstens gibt es nur eine X-Achse (auf der Wiki-Seite), die anderen Raum-Achsen werden mit Y und Z bezeichnet. Zweitens geht die X-Achse mit cosh(at) und ist damit in der Zeit gekrümmt, ebenso wie die t-Achse in der Zeit gekrümmt ist, weil sie mit sinh(at) geht. Also zumindest steht es so auf der Seite. Und es macht rein aus physikalischen Überlegungen auch anders keinen Sinn für mich.

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Zitat:

Zitat von Benjamin (Beitrag 87417)

Vielleicht kann sich Marco Polo noch einmal dazu äußeren, denn es interessiert mich, wie er darauf kommt.

Das Thema mit der Zeitkrümmung in einem homogenen Gravitationsfeld hatten wir glaube ich schon mal. Ist aber schon ein paar Jährchen her.

Deswegen kann ich mich auch nicht mehr genau erinnern, wie ich damals darauf gekommen bin. Wahrscheinlich hatte ich es irgendwo gelesen bzw. aufgeschnappt.

Der Begriff der Zeitkrümmung ist in diesem Zusammenhang möglicherweise auch leicht irreführend.

Im Grunde geht es um einen Frequenzunterschied, der bei Uhren an unterschiedlichen Positionen z.B. in einem beschleunigten Raumschiff gemessen wird. Oder analog dazu in einem homogenen (nicht zu verwechseln mit einem inhomogenen) Gravitationsfeld.

Meines Wissens kann man beides nicht unterscheiden, auch nicht global

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Zitat:

Zitat von Marco Polo (Beitrag 87425)

Im Grunde geht es um einen Frequenzunterschied, der bei Uhren an unterschiedlichen Positionen z.B. in einem beschleunigten Raumschiff gemessen wird. Oder analog dazu in einem homogenen (nicht zu verwechseln mit einem inhomogenen) Gravitationsfeld.

Meines Wissens kann man beides nicht unterscheiden, auch nicht lokal.

Okay, verstehe. Da sind wir dann ja einer Meinung.

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Zitat:

Zitat von Benjamin (Beitrag 87424)

Verstehe ich nicht. Auf der von dir zitierten Wiki-Seite steht doch x=1/a wäre eine Konstante.

Und schon im nächsten Satz steht, dass x eine Variable ist und atau konstant. Kontext ist alles.
Das eine gilt für eine bestimmte Weltlinie, das andere für einen bestimmten Zeitschnitt, und beides hat nichts mit der Koordinatentrafo weiter unten zu tun.

Zitat:

Ich hatte Groß- und Kleinbuchstaben vertauscht. Lies also stattdessen:
Die x-Achsen (t=const) sind also Geraden in Minkowskikoordinaten und somit nicht gekrümmt. Die t-Achsen sind die von mir beschriebenen Weltilinien der kanonischen Beobachter, deren Krümmung ihrer Beschleunigung entspricht.

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Hallo zusammen,

Zitat:

Zitat von Marco Polo (Beitrag 87388)

Im homogenen Gravitationsfeld gibt es tatsächlich keine Gezeitenkräfte.

ich habe dazu mal mein CA-System benutzt und bei der Minkowski-Metrik anstelle der 1 beim x-Index ein x, bzw. ein x² eingesetzt. Der riemannsche Tensor verschwindet bei x² aber nicht bei x. Der Ricci-Tensor verschwindet in beiden Fällen. Im ersten Fall wird eine Testwolke also verändert. Im zweiten Fall dagegen nicht.