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Helix 19.01.10 18:43

goldener Schnitt-Raumstruktur
 
weis jemand warum alles im goldenen Schnitt ist, hat es etwas mit der Raumstruktur zu tun, dass sich alle Tatsachen nach diesem richten??

Hat jemand eine Vermutung oder eine interessante Idee?

richy 20.01.10 23:18

AW: goldener Schnitt-Raumstruktur
 
Will niemand Antworten ?
Ich denke die Raumstruktur spielt hier weniger eine Rolle.
Im Fuenfeck kommt natuerlich der goldene Schnitt vor.
Aber ob das Fuenfeck in einer Raumstruktur vorkommt weiss man nicht.
Man weiss gar nicht ob es eine solche gibt. Dazu muesste der Raum natuerlich quantisiert sein. Meiner Meinung nach ist er das. Er muss es aber nicht sein.

Der Zahlenwert g=Phi wird oft unterschaetzt. Und dass er in der Physik so selten vorkommt ist ein Zeichen dafuer, dass die Physik teilweise noch am Anfang steht.

Der goldene Schnitt hat unzaehlige spezielle Eigenschaften. Sowohl in der Mathematik, der Natur, also der realen, nicht abstrahierten Physik, sowie den Kuensten, der Kosmologie, der Biologie ...
PHI ist allgegenwaertig, verbindet alle Diszipinen und fuer jedes Themengebiet kann man eine andere spezielle Eigenschaft hervorheben.

Was ist nun aber das besondere an diesem Zahlenwert ?
Meine Antwort waere recht eindeutig und basiert auf dem mathematischen Aspekt :
Der goldene Schnitt ist diejenige irrationale Zahl, die in einer Bruchdarstellung am schlechtesten gegen den exakten Wert konvergiert. (Das laesst sich mathematisch herleiten) Man kann dies auch so formulieren, dass der goldene Schnitt diesbezueglich die irrationalste aller Zahlen ist.
Das ist fuer mich die fundamentalste Eigenschaft des goldenen Schnittes.

Diese Besonderheit spiegelt sich auch in dessen Kettenbruchdarstellung wieder (1,1,1,1,1,.........)
http://home.arcor.de/richardon/richy...lden/index.htm
Dies hat physikalisch Auswirkung auf Systemresonanzen. Die der goldene Schnitt vermeidet und so als Antiresonator Systeme stabilisiert. Z.B. Mehrkoerpersysteme wie unser schoenes Sonnensystem.
Die natuerlichen Zahlen sind physikalisch gesehen Resonatoren.
Das Zusammenspiel zwischen Resonatoren und Antiresonatoren, Chaos und Ordnung bildet eine fraktale Grenzschicht. Auf dieser spielt sich alles Leben im Universum ab. Jenseits des thermodynamischen Geichgewichts.

Das ist aber natuerlich noch lange nicht alles.
Als zweitwichtigste Eigenschaft wuerde ich die Rolle von Phi in den Fibonacci Zahlen nennen.
Der Quotient zweier wachsenden aufeinanderfolgenden Fib Zahlen konvergiert gegen den goldenen Schnitt. Sind die Fib Zahlen daher so fundemantal ? oder umgekehrt
Ist der goldene Schnitt Phi wegen den Fib Zahlen fundamental ?
Das kann man schlecht sagen. Wohl beides.
Jeder moege selber entscheiden.

Die Fib Zahlen sind ein Prototyp einer diskreten Wachstumsfunktion.
Das diskrete, etwas komplexere Gegenstueck zur Exponentialfunktion.
Wobei die Fib Zahlen als komplexwertige Expofunktion dargestellt werden koennen, mit Phi als Wachsumskonstante im Exponenten. Komplexwertig sind Fib Zahlen eine Spiral / Helixfunktion.

Ich hab frueher uebrigends oft zu umstaendlich gerechnet um den Zusammenhang zwischen PHI und FIB darzustellen. Es geht auch ganz einfach. Mit nur einfachster Schulmathematik

Die Fib Zahlen folgen der DZGL (Differenzengleichung,Iterationsanweisung) :
1)fib(k+1)=fib(k)+fib(k-1), fib(0)=fib(1)=1
Was ist daran so besonders ? Die DZGL laesst eine einfache Substitution zur Chrakterisierung zu :
2) g(k)=fib(k+1)/fib(k), g(0)=1
Man sieht schon, wozu dies gut sein koennte.
Man betrachtet mit g(k) nun nicht mehr die Fib Zahlen sondern deren aufeinanderfolgenden Quotienten.
Und diese konvergieren "angeblich" gegen welchen Wert ? ... :-)
Ok! Fuehren wir die Substitution durch :
Wir formen 1) um indem wir durch f(k) teilen :
fib(k+1)/fib(k)=1+fib(k-1)/fib(k)
Un sehen sofort die damit moegliche einfache Substitution :
3) g(k+1)=1+1/g(k) (Klaro warum ?)
Eine nichtlineare DZGL. Obwohl ich diese noch lange nicht ganz verstehe, kann man wiederum mit einfachster Schulmathematik bestimmen gegen welchen Grenzwert, Attraktor diese DZGL strebt :

Attraktor bedeutet :
Fuer diesen aendert sich der Wert der Iteration nicht mehr.
D.h. einfach und anschaulich, dass das Differential (in einer Iteration die Differenz) aufeinanderfolgender Werte sich nicht mehr aendert.
dg(k)/dk=0
In der Differenzengleichung ist es noch einfacher :
g(k+1)-g(k)=0
Aha ! :D Naja g(k+1)-g(k) koennen wir doch ganz einfach bestimmen :
1+1/g(k)-g(k)=0
Wir multiplizieren beide Seiten mit g(k)
4) g+1-g^2=0
Und verwenden z.B die quadratische Loesungsformel fuer diese GL :
g1=[1+Wurzel(5)] / 2 = 1.618033989 ...
g2=[1-Wurzel(5)] / 2 =-0.618033989 ...

Und die Loesung, Attraktor ist der goldene Schnitt !
***************************************
Wobei man sich nicht so recht einig ist :
Ist 1.618033989 ... oder 0.618033989 ... der goldene Schnitt PHI ?
Da muss man etwas aufpassen :-)

Ich moechte jetzt noch eine interessante Eigenschaft dieses Zahlenwertes vorstellen.
Die einem etwas staunen laesst. Das kann ja nie schaden.
(Wobei viele irrationale Zahlen diese Eigenschaft aufweisen.)
Dazu formen wir Gl 3), (nicht 4) ganz einfach mal um :
g=1+1/g =>
5) 1/g=g-1

Was sagt uns diese Umformung ?
Wenn wir von g, also der Loesung Phi den Kehrwert bilden, so muesste dies der selbe Zahlenwert sein wie wenn wir von Phi die Zahl eins abziehen.
g = 1.618033989 ... => g-1 = 0.618033989 ...
g = 1.618033989 ... => 1/g = ?
Welchen Wert muss 1/g aufgrund der Ausgangsgleichung aufweisen ?
Es muss so sein. Dennoch darf man staunen :
1/1.618033989 ... = 0.618033989 ...

Wie kann man diese Eigenschaft noch formulieren ?
Die Nachkommastellen der Zahl g sind gleich der Nachkommastellen der Zahl 1/g.
"Nachkomastellen" ist kein analytisches, schoes Wort.Wie kann man dieses noch anders ausdruecken ?Es gibt dafuer einen mathematischen Operator, der den Programmierern hier sicherlich bekannst sein duerfte. Das ist der frac{} (fractional) Operator. Dieser Operator (Arbeitsanweisung) besagt :"Nimm von der Zahl x lediglich den Nachkomma-Anteil !"
Beispiel :
frac{1234.5678} = 0.5678
Mit diesem Operator koennen wir die eben gefundene Eigenschaft des goldenen Schnittes nun noch formaler darstellen :
frac(1/PHI)=frac(PHI)


BTW:
Ueber einige Umwege eines komplexwertigen Polynoms laesst sich folgendes zeigen :
Zitat:

Gegeben sei die Zahl y.
Erfuellt y die Gleichung
frac(1/y)=frac(y) und damit
frac(1/y)=frac(n+y), n element N ...
So ist y eine irrationale Zahl.
http://home.arcor.de/richardon/richy...lytic/frac.htm

ciao

richy 20.01.10 23:59

AW: goldener Schnitt-Raumstruktur
 
Nochmals der Fib-Phi Zusammenhang zusammengfasst :

1) fib(k+1)=fib(k)+fib(k-1), fib(0)=fib(1)=1
Substitution :
2) g(k)=fib(k+1)/fib(k), g(0)=1
=>
3) g(k+1)=1+1/g(k)

Bestimmungsleichung des Attraktors von g ueber g(k+1)-g(k)=0 :
4) g+1-g^2=0

Loesung fuer 3,4 :
g1=[1+Wurzel(5)] / 2 = 1.618033989 ...
g2=[1-Wurzel(5)] / 2 =-0.618033989 ...
g1 ist der goldene Schitt. g2 eine Variante.

Spezielle Eigenschaft von g
frac(1/g)=frac(g)

Es laesst sich zeigen :
Falls gilt frac(1/y)=frac(y)
so ist y irrational

ciao

Frank 22.01.10 06:56

AW: goldener Schnitt-Raumstruktur
 
Zitat:

Zitat von richy (Beitrag 47819)
Was ist nun aber das besondere an diesem Zahlenwert ?
Meine Antwort waere recht eindeutig und basiert auf dem mathematischen Aspekt :
Der goldene Schnitt ist diejenige irrationale Zahl, die in einer Bruchdarstellung am schlechtesten gegen den exakten Wert konvergiert. (Das laesst sich mathematisch herleiten) Man kann dies auch so formulieren, dass der goldene Schnitt diesbezueglich die irrationalste aller Zahlen ist.
Das ist fuer mich die fundamentalste Eigenschaft des goldenen Schnittes.

Diese Besonderheit spiegelt sich auch in dessen Kettenbruchdarstellung wieder (1,1,1,1,1,.........)
http://home.arcor.de/richardon/richy...lden/index.htm
Dies hat physikalisch Auswirkung auf Systemresonanzen. Die der goldene Schnitt vermeidet und so als Antiresonator Systeme stabilisiert. Z.B. Mehrkoerpersysteme wie unser schoenes Sonnensystem.
Die natuerlichen Zahlen sind physikalisch gesehen Resonatoren.
Das Zusammenspiel zwischen Resonatoren und Antiresonatoren, Chaos und Ordnung bildet eine fraktale Grenzschicht. Auf dieser spielt sich alles Leben im Universum ab. Jenseits des thermodynamischen Geichgewichts.

So habe ich das noch nicht gekannt, klingt aber einleuchtend. Da ich mich auch etwas mit Schwingungstechnik, insbesondere mit Resonanzerscheinungen beschäftige, interessiert mich, ob es auch eine " 2.-beste" irrationale Zahl, bzw. allgemeine Regeln zum Aufstellen solcher Zahlen gibt, um Resonanzen z.B. in Mehrkörpersystemen möglichst zu vermeiden.

Helix 22.01.10 20:27

AW: goldener Schnitt-Raumstruktur
 
Danke richy

richy 24.01.10 10:06

AW: goldener Schnitt-Raumstruktur
 
Bitte :-)
Zitat:

Zitat von Frank
Da ich mich auch etwas mit Schwingungstechnik, insbesondere mit Resonanzerscheinungen beschäftige, interessiert mich, ob es auch eine " 2.-beste" irrationale Zahl, bzw. allgemeine Regeln zum Aufstellen solcher Zahlen gibt, um Resonanzen z.B. in Mehrkörpersystemen möglichst zu vermeiden.

Das ist eine ziemlich gute und interessante Frage. Aus dem Stehgreif kann ich diese zunaechst nicht beantworten. Es ist auch nicht so, dass Phi in allen Proportionen des Sonnensystems auftritt. Das kann auch gar nicht sein, denn sonst waeren zwei Proportionen wiederum ganzzahlige Vielfache voneinander.
Aber in einigen Verhaeltnissen findet sich Phi im Sonnensystem (Kann man auch mal googeln) Oder man betrachtet Keplers "Harmonices Mundi".
Im Dodekaeder ist mit Sicherheit der goldene Schnitt enthalten.http://upload.wikimedia.org/wikipedi...n-slowturn.gif
Ebenso im Isoader:http://upload.wikimedia.org/wikipedi...n-slowturn.gif
Dazu gibt es im Forum einen interessanten Thread. Wobei der Autor dort unter Keplers Weltharmonie eine musikalische Harmonie vermutet.
http://www.quanten.de/forum/showthre...&Demgegenueber
Da bin ich etwas skeptisch.
A)
Die musikalische Methode waere jedoch ein Ansatzpunkt um Einiges zu zeigen:
- Ob die "Quantitaet einer Irrarionalitaet" einen Sinn macht.
- Abschaetzungen fuer die zwoelfte Wurzel. f(n)=f0*2^(n/12)
- ...
Beispiel: Eine kleine Sekunde klingt disharmonischer als die Quinte =>
2^(1/12) ist irrationaler als 2^(7/12) ?

Das koennte sogar ziemlich spannend werden, denn wir verbinden hier ein qualitatives und quantitatives Maß.


B)
Die Fragestellung koennte man auch rein analytisch versuchen anzugehen. Den Link dazu habe ich hier schon dargestellt. Grundlage waeren die Kettenbrueche und der Satz von Liouville. Dazu muesste man die Beweisfuehrung aber erst noch einmal durchgehen. Und es ist mit massifen Problemen zu rechnen. Denn nicht alle irrationalen Zahlen sind von der einfachen Form [k,k,k,k,k,k....]
Transzendente Zahlen wie Pi folgen iterativen Funktionen f(k).
Um diese zu bestimmen muss man recht komplexe Verfahren anwenden. Z.B eine recht kniffelige Koordinatentransformation von Euler. Srinivasa Ramanujan war wie Euler ein Spezialist fuer Kettenbrueche und so sind wenigstens viele Abbildungen f(k) bekannt.
Allgemeine Saetze fuer Addition und Multipikation von Kettenbruechen gibt es dennoch leider bis heute nicht. Allerdings lassen sich die Koeffizienten auch stets numerisch berechnen. (Kleiner Programmcode auf meiner Webseite)

Vielleicht koennten wir fuer deine Fragestellung die irrationalen Zahlen nochmals einteilen (natuerlich in auch transzendete) und zunaechst in Unterklassen deine Frage beantworten.

i)
Unter der Klasse der konstanten Kettenbrueche, also quadratischen Gleichungen wuerde ich den Kettenbruch [2,2,2,2,2...] vorschlagen. (Nur eine Vermutung) Das waere eine einfache Uebeung und auf meiner Webseite habe ich auch schon eine allgemeine Loesung fuer die Kettenbrueche der Form [a0,k,k,k...] hergeleitet.

ii)
Interessante Kandidaten waeren auch Kettenbrueche der Form [k,l,l,l,l ...] oder [k,k,l,l,l,l ...] [k,k,k,l,l ...]. Ich denke diese koennte man mit gewissem Rechenaufwand noch handhaben. Ich hab gerade eine Idee parat, aber keinen wirklichen Trick. Du ?
Bei Kettenbruechen gibt es eine Problematik bezueglich der Reihenfolge. So waere [l,l,l,l ...k] wohl schwieriger zu handeln.
Dementsprechend waeren [2,1,1,1,1 .. ] und [1,1,1,1...2] geeignete Kandidaten.

Interessant waere es schliesslich zu vergleichen ob die musikalische Methode A) sich auch in der Kettenbruchmethode B) widerspiegelt. Mich interessiert das Thema. Aber dazu muss ich zunaechst diese Beweisfuehrung hier nochmals durchgehen.
http://home.arcor.de/richardon/richy...lden/index.htm
Man muss auch beachten, dass es meines Wissens nur eine Hypothese ist, dass die Kettenbruchentwicklung die effizienteste Approximationsmethode einer Zahl ist.

Letztdendlich gibt es in der Elektrotechnik tatsaechlich bereits Methoden um ueber die Kettenbruchentwicklung die Stabilitaet eines Systems zu beurteilen. Ebenso findet man bei Global Scaling einiges Material dazu. Wobei dieses nicht sonderlich vertrauenswuerdig ist. Vieles dort ist auch einfach falsch.

Gruesse

richy 24.01.10 12:29

AW: goldener Schnitt-Raumstruktur
 
Vorbetrachtungen :
Blatt 1)
http://home.arcor.de/richardon/richy...golden/gs1.gif
Einfuehrung des Kettenbruchs, Notation, Satz von Liouville.
Der Satz besagt, dass eine Zahl x durch einen Bruch p/q umso besser approximiert wird, je groesser der Nenner q ist,multipöiziert mit dem letzten Gewicht der Kettenbruchentwicklung.
Ohne Beweis wird angegeben, dass dies der Fall ist, je groesser die Gewichte der Kettenbruchapproximation sind. Ueber die Reihenfolge gibt es zunaechst keine Aussage.

Aufgabe :
Es ist zu Bestimmen wie der Nenner ueber die Gewichte konkret bestimmt wird. Da wir die Reihenfolge beruecksichtigen wollen, muss man beachten, dass diese bei der iterativen Kettenbruchentwicklung in umgekehrter Reihenfolge eingeht. Die zeigt folgender einfache Maplecode :
http://home.arcor.de/richardon/2010/mathe/gold1.gif
Wie entwickelt sich der Nenner ?
Wenn man die Substitition meines ersten Beitrag betrachtet kann man dies erraten. Aber berechnen wir die Loesung :
Dazu zerlegen wir f[k] der Iteration in p2/q2 ("2" bedeutet Index k+2)
p2/q2=r1+q1/p1, r1 erweitern
p2/q2=p1*r1/p1+q1/p1
p2/q2=(p1*r1+q1)/p1

p2=(p1*r1+q1) und
q2=p1
*****
Der Nenner in jedem Iterationsschritt ist wie bei den allg. Fib Zahlen gleichen dem Zaehler des letzten Iterationsschrittes. Auch diesen kennen wir:
q2=p1=(p0*r0+q0)
p0 ist aber gleich q1 =>
q2=(q1*r0+q0) ... ausfuehrlicher :
***********
Nenner[k+2]=(Nenner[k+1]*r[k]+Nenner[k])
*********************************
Der Nenner entwickelt sich somit wie erwartet in einer Fibonaccifolge mit dem Koeffizienten r[k]
************************************************** ********************

richy 24.01.10 13:27

AW: goldener Schnitt-Raumstruktur
 
Blatt 2)

Das Guetekriterium ueber den Satz von Liouville war von der Form
r[n+1]*Nenner[n]^2. Im Grunde ist dies bereits ausreichend um die Klasse i) zu behandeln. Insbesonders wir der Nenner stets so gross sein, dass dieser fuer Vergleiche maßgeblich ist und nicht r[n+1].
Den Verlauf des Nenners koennen wir bereits ueber die Fib Zahlen bestimmen. =>
Je groesser r, umso groesser der Nenner.
Es wird sich zeigen, dass dies noch kein ausreichendes Kriterium ist und insbesonders Grenzwerte der Form y[k+1]=y[k]*r+s/y[k] betrachtet werden muessen.

Auf Blatt 2 wird nun ein noch schaerferes Kriterium vorgestellt :
http://home.arcor.de/richardon/richy...golden/gs2.gif
(8) |x-x_n|<const / q_n^K
An dieser Stelle wird K nun als eine weiteres Maß der Irrationalitaet aufgefaßt. Es zeigt sich (ohne Beweis), dass der Parameter k zu einer Klassifizierung herangezogen werden kann.

@ Frank
Die Klassifizierung wird deine Fragestellung einfach loesen.


Erlaeuterung zum Kriterium (8) :
(8) |x-x_n| < const / q_n^K
Die linke Seite stellt die Abweichung, Fehler der Approximation dar.
Ist dieser Fehler klein => Zahl ist wenig irrational
Ist dieser Fehler gross => Zahl ist sehr irrational

Druecken wir dies jetzt so aus :
const / q_n^k ist klein => Zahl ist wenig irrational
const / q_n^k ist gross => Zahl ist sehr irrational

Nun stelt sich heraus (ohne Beweis) , dass k in unmittelbarem Zusammenhang zur Form der Zahl x_n gehoert. Ist diese Loesung eines Polynomes des Grades N, so ist K=N die hoechstens beste Approximation.
Je groesser K wird, umso kleiner wir die rechte Seite der Fehler.
Und daraus folgt unmittelbar :

Die algebraischen Zahlen vom Grade "zwei" sind die irrationalesten aller Zahlen !

Ich finde dies ueberraschend. Bin auch noch nicht so ganz ueberzeugt davon, dass diese Aussage allgemein gueltig ist. Denn dem Parameter "Nenner" wird hier nicht Rechnung getragen. So koennte es doch durchaus sein, dass die Loesung eines bestimmten Polynoms dritter Ordnung irrationaler ist als eines Polynoms zweiter Ordnung.
Fuer den goldenen Schnitt ist die Aussage aber klar. Das ist die irrationalste aller Zahlen.
Die Klassifizierung ueber den Parameter K=N koennte einen Ansatz fuer die "musikalische" Klassifizierung liefern. Ich meine das wird noch sehr spannend.

Marco Polo 24.01.10 14:14

AW: goldener Schnitt-Raumstruktur
 
Hallo richy,

zur Irrationalität ein paar Bemerkungen. So wie ich das verstanden habe, ist eine Zahl entweder irrrational oder eben nicht irrational.

Dass aber die eine irrationale Zahl noch irrationaler sein kann als die andere, ist mir neu.

So ist z.B. sqrt2 eine irrationale Zahl, da man diese nicht durch einen Bruch zweier ganzer Zahlen darstellen kann.

Was für Abstufungen soll es da bitte geben?

Ich vermute, dass das von dir angesprochene Maß an Irrationalität einer Zahl nicht der Lehrmeinung entspricht. Liege ich da richtig?

Gruss, Marco Polo

richy 24.01.10 15:04

AW: goldener Schnitt-Raumstruktur
 
Blatt 3)
http://home.arcor.de/richardon/richy...golden/gs3.gif
Hier wird ein Vergleich zwischen den noblen Zahlen, also auch Phi, sowie 1+Wurzel(2) sowie 1+Wurzel(3) durchgefuehrt.
Ebenso ein konkretes Beurteilungsverfahren, dass ich spaeter gerne noch etwas genauer betrachten moechte. Aber zunaechst soll Franks Frage beantwortet werden.
Wobei sich zeigt, dass es ausser fuer Phi stets nur Unterklassen von Zahlen gibt, die eine gemeinsame Quantitaet an Irrationalitaet aufweisen.
Dennoch meine ich das man aus Blatt 3) entnehmen kann :

Der goldene Schnitt ist die irrationalste aller Zahlen !

[1,1,1,1,1,1 ....]

Die noblen Zahlen sind die zweitirrationalsten aller Zahlen (Klasse ii) :
[a1,a2...a_m,1,1,1,1....]

Die Zahl 1+-Wurzel(2) ist die drittirrationalste aller Zahlen.
Diese Zahl ist Loesung der Gleichung :
x=2+1/x
Deren Kettenbruchdarstellung ist [2,2,2,2,2,2 ...]

Die Zahl 1+-Wurzel(3) ist die viertirrationalste aller Zahlen.
Diese Zahl ist Loesung der Gleichung :
x=2+2/x
Deren Kettenbruchdarstellung ist periodisch [2,1,2,1,2,1 ...]

Hier sieht man, dass es nicht ausreichend ist alleine die Gewichte der Kettenbruchdarstellung zu beurteilen. Und weiterhin, dass x=r+s/x betrachtet werden muss.
So hat x=3+1/x die Loesungen (3+Wurzel(13))/2

Zitate aus Blatt 3)
Zitat:

Zitat von Blatt 3
Es laesst sich beweisen, dass die aus Phi und 1-Wurzel(2) repraesentierten Klassen diejenigen mit dem hoechsten Grad der Irrationalitaet sind, so dass sich die noblen Zahlen von allen uebrigen Zahlen deutlich absetzen.
...
In diesem praezisen Sinne ist Phi endlich die irrationalste aller Zahlen.



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