Zitat:
Zitat von Godsend
Hi,
Ein Satz besagt das kommutierende Observablen einen gemeinsamen Satz von Eigenvektoren besitzen. Es seien A und B die 2 Observablen, man kann dann zeigen, dass durch entsprechende Diagonalierung der Blockmatrix in den Unterräumen von <U,n,i|B|U,n,i> JEDER Eigenvektor von A AUCH Eigenvektor von B ist. (U bezeichne die Eigenvektor von A, n ist Indize zum Eigenwert an, i bezeichne den Entartungsgrad)
Meine Frage ist nun ob nun auch JEDER Eigenvektor von B AUCH Eigenvektor von A ist, meiner Meinung nach bedarf dies einem weiteren Beweis.
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Die Fragestellung ist doch völlig symmetrisch in A und B; deshalb ist die Antwort ganz klar ein "ja".
Zitat:
Zitat von Godsend
Besitzen beide Observablen die gleiche Anzahl von Eigenvektoren? Meiner Meinung nach muss man das erst noch zeigen, ich hab aber in der Literatur dazu nichts gefunden.
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Was um Himmels Willen meinst du denn mit "gleicher Anzahl von Eigenvektoren" ?
Diese spannnen ja i.a. einen Hilbert-Raum mit einer unbegrenzten Anzahl von Dimensionen auf; die Anzahlen der Basisvektoren ist also jeweils unbegrenzt und kann schlecht verglichen werden.
Nachtrag: für endlich-dimensionale Lösungsräume ist die Antwort eher "nein". Numm z.B. Drehimpulse.
Der Betrag L des Drehimpulses und seine z-Komponente Lz sind simultan messbar: zu jedem Eigenwert von L hast du aber (2L+1) Eigenvektoren in Lz).
Interessanter ist m.E. die Frage der Unterräume zu den Quantenzahlen ("Entartung"). Denk z.B. ans Wasserstoffatom: die Eigenlösungen zu den verschiedenen Energieniveaus entarten und können anhand der Drehimpulsquantenzahlen unterschieden werden. Man hat pro Energieniveau einen Unterraum von (2L+1) Dimensionen (wenn L = Bahndrehimpuls).
Diese Klassifizierung von Orbitalen ist eine Folge der simultanen Messbarkeit einer Drehimpulskomponente und der Energie beim H-Atom - letztlich also eine Konsequenz der Kommutativität von Energie und Drehimpuls (die wiederum aus der Rotationbssymmetrie des Problems folgt).
Gruss, Uli