Zitat:
Zitat von Hermes
Kann ein n-dimensionales Objekt gekrümmt sein ohne daß dies einen n+1-dimensionalen Raum voraussetzt indem diese stattfindet?
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Eine n-Mannigfaltigkeit mit Krümmung, z.B. die Pseudosphäre von Beltrami, kann selbstverständlich nur in einem Raum mit Dimension (n+1) existieren. Gleiches gilt für einen nichtorientierbaren Raum wie das Möbius'sche Band (Flächen sind in topologischer Hinsicht auch Räume). Ob dieser übergeordnete Raum euklidisch oder nichteuklidisch ist, geht aus der gekrümmten Fläche allein noch nicht unmittelbar hervor.
Adäquates gilt für die 2-Sphäre (Kugeloberfläche). Ihre Existenz setzt voraus, dass a) ein 3-Raum existiert und b) eine Kugel vorhanden ist, in welche die Sphäre eingebettet ist. Die Kugel selbst kann in einer 3-Mannigfaltigkeit schweben, die euklidisch ist. Allerdings gilt, dass jede einfach zusammenhängende und kompakte 3-Mannigfaltigkeit homöomorph zur 3-Sphäre ist (siehe dazu die Poincaré-Vermutung).
Gr. zg