Hi
Ich habe in der Berechnung der Feinstrukturkonastante gemaess der Heim Theory Research Group einen formalen Fehler entdeckt.
Das sollte auch fuer zeitgenosse von Interesse sein.
Dieser fiel mir auf. als ich deren Ergebnisse fuer EMI nachvollziehen wollte :
Hi Emi
Ich hab alle notwendigen Werte zusammen und muehsam eine der Naeherungen nachvollzogen.
Die Naeherung unter diesem Link :
http://www.heim-theory.com/downloads..._Heim_1982.pdf
1) alpha*sqrt(1- alpha^2) = 9*delta*(1 - A11*A12) / (2*Pi)^5
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Und dabei gleich den ersten formalen Fehler fuer die Berechnung der Feinstrukturkonstante gefunden.
Das darf eigentlich nicht wahr sein !
(Fange bischen an zu zweifeln)
Untersuchen wir erstmal wie man Gl 1) nach alpha aufloesen kann.
alpha*sqrt(1- alpha^2) = const
Substituiert man x=alpha^2 ergibt sich
sqrt(x)*sqrt(1-X)=const
x*(1-x)=c^2
Das ist eine quadradische Gleichung die loesbar ist
Bei der Ruecksubstitution wuerde deren negativer Loesungszweig komplex.
Der Fall tritt aber anscheinend nicht auf
Es ergeben sich somit nzr zwei reelle doppelte Loesungen. Die Berechnung ueberlasse ich Maple.
Jetzt zur HEIM RESEARCH GROUP TERMINOLGIE und besagtem formalem Fehler :
delta, A11 und A22 stellen Substitutionen dar, die auf Seite 3 angegeben sind. (Kuerzungen)
Im folgenden sind dies :
> eta:= (Pi/(Pi^4+4)^(1/4));
> eta11 := (Pi/(Pi^4 + (4+1)*1^4)^(1/4));
> eta12 := (Pi/(Pi^4 + (4+2)*1^4)^(1/4));
>
> delta := (5*eta + 2*sqrt(eta) + 1);
> A11:= (sqrt(eta11)*(1-sqrt(eta11))/ (1 + sqrt(eta11)));
> A12:= (sqrt(eta12)*(1-sqrt(eta12))/ (1 + sqrt(eta12)));
A12 ist also zum Beispiel so indiziert, dass es eta12 enthaelt und wird
dann mit A2 bezeichnet.
Das ist soweit noch korrekt.
Nun wird fuer eta_kq angegeben :
eta_kq := (Pi/(Pi^4 + (4+k)*q^4)^(1/4))
Berechnet man aber mit dieser Indizierung die Feinstrukturkonstante ergibt sich ein anderer Wert wie der angegebene.
Angegeben ist der Wert :
1/alpha = 137.03596147
die Rechnung ergibt jedoch
1/alpha = 137.0491880
Da ich mit diesem Wert natuerlich nicht zufrieden war, habe ich probehalber die Indizierung von eta_kq vertauscht:
Also statt :
eta_kq := (Pi/(Pi^4 + (4+k)*q^4)^(1/4))
nun
eta_kq := (Pi/(Pi^4 + (4+q)*k^4)^(1/4))
Speziell fuer eta12 und damit auch fuer A12 = A2
eta_12 := (Pi/(Pi^4 + (4+2)*1^4)^(1/4))
Nun erhaelt man als Ergebnis :
1/alpha = 137.0359610
dass mit dem angegebenen Wert
1/alpha = 137.03596147
nun sehr viel besser uebereinstimmt.
Da Maple auch symbolisch ohne Flieskommzahlen arbeiten kann koennte ich den Wert auch geschlossen darstellen.
Je nach Darstellungsform ist der Ausdrueck noch ueberschaubar, dennoch recht lang.
Z:B
-4/9/(5*Pi/(Pi^4+4)^(1/4)+2*(Pi/(Pi^4+4)^(1/4))^(1/2)+1)/(-1+(Pi/(Pi^4+5)^(1/4))^(1/2)*(1-(Pi/(Pi^4+5)^(1/4))^(1/2))/(1+(Pi/(Pi^4+5)^(1/4))^(1/2))*(Pi/(Pi^4+6)^(1/4))^(1/2)*(1-(Pi/(Pi^4+6)^(1/4))^(1/2))/(1+(Pi/(Pi^4+6)^(1/4))^(1/2)))*2^(1/2)*(16*Pi^10+(256*Pi^20-81*Pi^10*(5*Pi/(Pi^4+4)^(1/4)+2*(Pi/(Pi^4+4)^(1/4))^(1/2)+1)^2+162*Pi^10*(5*Pi/(Pi^4+4)^(1/4)+2*(Pi/(Pi^4+4)^(1/4))^(1/2)+1)^2*(Pi/(Pi^4+5)^(1/4))^(1/2)*(1-(Pi/(Pi^4+5)^(1/4))^(1/2))/(1+(Pi/(Pi^4+5)^(1/4))^(1/2))*(Pi/(Pi^4+6)^(1/4))^(1/2)*(1-(Pi/(Pi^4+6)^(1/4))^(1/2))/(1+(Pi/(Pi^4+6)^(1/4))^(1/2))-81*Pi^12*(5*Pi/(Pi^4+4)^(1/4)+2*(Pi/(Pi^4+4)^(1/4))^(1/2)+1)^2/(Pi^4+5)^(1/4)*(1-(Pi/(Pi^4+5)^(1/4))^(1/2))^2/(1+(Pi/(Pi^4+5)^(1/4))^(1/2))^2/(Pi^4+6)^(1/4)*(1-(Pi/(Pi^4+6)^(1/4))^(1/2))^2/(1+(Pi/(Pi^4+6)^(1/4))^(1/2))^2)^(1/2))^(1/2)%1:=5*Pi/(Pi^4+4)^(1/4)+2*(Pi/(Pi^4+4)^(1/4))^(1/2)+1
Das bringt im Moment aber noch recht wenig.
Anzumerken hierzu ist vielleciht noch, dass man schon bei den Substitutionen ueber die dritte binomische Formel doch scheinbar einige Vereinfachungen erzielen koennte.
Warum hat Heim die dritte binomische Formel nicht angewendet ? Seltsam.
Es sollte erstmal geklaert werden welchen Fehler das Research Team hier begangen hat.
Wurde die Indizierung falsch angegeben oder ist der angegebene Wert falsch ?
Solch eine Schlamperei darf eigentlich nicht sein !
Entsprechende Mail ist unterwegs :-)
ciao