[zeitgenosse]

Ein paar Anmerkungen zu den Distributionen aus der Sicht des Praktikers

Der Techniker spricht lieber von Funktionen (auch wenn die Delta-Distribution streng genommen keine Funktion im herkömmlichen Sinne ist).

Ohne mathematische Strenge im verbalen Ausdruck somit:

Stammfunktion der Dirac'schen Deltafunktion ist die Heaviside'sche Sprungfunktion.

Anders gesagt: (d/dx) Θ(x) = δ(x)

Umfassender lässt sich der Sachverhalt wie folgt ausdrücken:

Gegeben sei eine sog. Knickfunktion := K(x - ξ)

Diese kann man sich bildlich aus zwei gegensinnigen Rampenfunktionen zusammengesetzt denken, welche sich auf der Abszisse bei x = 0 begegnen.

Deren 1. Ableitung ist die Heaviside-Funktion := Θ(x - ξ)

Deren 1. Ableitung wiederum ist das Dirac-Delta := δ(x - ξ)

Integration (Fläche unter dem Peak mit Integrationsgrenzen -∞ bis ∞) ergibt:

Int δ(x - ξ)dx = 1

In der Regelungstechnik werden Distributionen somit auch benötigt. In der Delta-Distribution sind ja alle Frequenzen gewissermassen mitenthalten. Im Idealfall ist der Eingangspeak unendlich hoch und unendlich schmal. Physikalisch lässt sich dies nur näherungsweise realisieren. Ein "Diracstoss" wird approximativ durch einen Nadelimpuls verkörpert. Nun schaut man, welche Impulsantwort daraus resultiert. In der Akustik lässt sich ein Diracstoss näherungsweise durch ein kurzes und kräftiges Klatschen nachbilden. Je schmaler der Peak, um so grösser die erforderliche Bandbreite der Übertragungsstrecke.

Einfacher ist es nun aber, eine Sprungfunktion (Heaviside-Funktion) zu erzeugen, indem ich den Signalpegel am Eingang eines Regelkreisgliedes abrupt erhöhe. Gebe ich bspw. einen derartigen Pegelsprung auf ein PT1-Glied (Tiefpass), lässt sich am Ausgang sehr schön ein exponentieller Anstieg beobachten:

a(t) = A(1 - e^-t/τ)

Der Verlauf der Sprungantwort entspricht in diesem Fall einer Sättigungsfunktion. Sprungfunktionen gehören zu den wichtigsten Testfunktionen in der Regelungstechnik.

Erstaunlich ist für mich immer wieder, wie schön sich die obigen Distributionen in praxi durch reale Signale mittels Rampengenerator, Pegelhub und Nadelimpuls nachbilden lassen.

Gr. zg