Zitat:
Zitat von richy
Verstehen wir ein Vorzeichen als Richtungsangabe, dann wird diese und damit das Vorzeichen ueber phi repraesentiert. Es gibt unendlich viele solcher Richtungen und damit in der komplexen Ebene unendlich viele Vorzeichen.
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Das sehe ich nicht so. Ein Vorzeichen sagt uns etwas über die Orientierung. Der Winkel phi in der Polardarstellung ist aber eine Koordinate. Die komplexe Ebene stellt bezüglich Addition und Multiplikation einen Vektorraum dar, und zwar einen zweidimensionalen. Für einen zweidimensionalen Vektorraum bedarf es zwei linear unabhängiger Vektoren, die zwei Koordinaten definieren. Im Falle der komplexen Ebene wären dies zB. 1 und i. Wenn wir kartesische Koordinaten wählen, können wir jeden Punkt P im Raum über x und y definieren:
P = 1*x + i*y
Wir können aber auch Polarkoordinaten wählen, anstatt x und y bekommen wir dann r und phi. In dem Sinne spannt phi eine Dimension des Vektorraumes auf und ist daher grundsätzlich verschiedenen von einem Vorzeichen.
Das Vorzeichen erweitert unsere Zahlenmenge und sorgt für ein inverses Element bezüglich der Operation Addition. Invers heißt, dass man aus jedem Element der Menge das so genannte Nullelement machen kann. Um aus der Zahl 3 eine 0 zu machen, bedarf es der Zahl -3. Wir können damit außerdem jedes Element der Menge durch addieren bekommen und erlangen auch Abgeschlossenheit. Wir können weitere Operationen definieren, ohne dass diese Eigenschaft verloren geht, zB. Multiplikation und Division.
Abgeschlossenheit verlieren wir aber, wenn wir die Wurzel als inverse Operation zum Potenzieren definieren. Erst eine Erweiterung der Dimension unseres Zahlenraumes erlaubt es, dass die möglichen Ergebnisse dieser Operation wieder Teil unserer Ausgangsmenge sind. Dafür verlieren wir aber Eindeutigkeit, ein Phänomen, das bis dato nicht existierte. D.h. eine Operation führt zu mehreren Ergebnissen.
Es zeigt sich also, dass gewisse Forderungen an eine Operation (wie Abgeschlossenheit,...) die Menge erweitern. Bei der Addition gelangten wir dadurch zu den negativen Zahlen. Die Wurzel führt uns zu den komplexen Zahlen.