Zitat:
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Zitat von BauhoF
obwohl ich leider sehr selten eigene Beiträge dazu beisteuern kann.
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Schade denn ich habe im Moment selber etwas Muehe meinen Beweis nachzuvollziehen.
Ok, ich probiers mal.
Aussage A)
Zitat:
p(n) sei die n-te Primzahl.
p(n)-1 muss keine Prinzahl sein und ist kleiner als p(n)
In (p(n)-1)! ist daher der Primfaktor p(n) nicht enthalten sondern der groesste Primfaktor von (p(n)-1)! ist p(n-1), auch wenn p(n)-1 keine Primzahl ist. (p(n)-1)!=p(n-1)#*m
(Satz 4 : Auch in m kann p(n) nicht enthalten sein, denn dann waere die zusammengesetzte Zahl groesser p(n-1))
Wegen Satz 2) sind alle Primfaktoren von (p(n)-1)!+1 groesser gleich p(n)
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Beispiel :
(
7-1)!=2*3*4*5*
6=720
720+1=721=
7*103 (tja wie ein Wunder gell :-)
Das Wunder, dass p(k) enthalten sein muss und nicht alleine Primfaktorn groesser p(k) kann ich im Moment nicht zeigen. Wahrscheinlich ist dies recht aufwendig und gehoert zum hinreichenden Teil.
EDIT Die Betrachtung von Aussage A fuer p=nichtprim wird im naechsten Beitrag zu einem eleganten Beweis fuehren. Dennoch hier nochmals meine Beweisidee von 2010
Fuer folgende Aussage
Zitat:
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Zitat von Wilson
Wenn (p-1)! +1 ohne Rest durch p teilbar ist, dann enthaelt (p-1)! +1 den kleinsten moeglichen Primteiler p
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hatte ich einen Widerspruchsbeweis angegeben, an dem ich gerade etwas haenge :
Zitat:
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Zitat von richy 2010
Waere der Teiler zusammengesetzt so muesste dieser Teiler groesser p^2 sein.
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Behauptung :
Wenn (k-1)!+1 / k ohne Rest teilbar ist, dann ist k eine Primzahl.
Teilbarkeit bedeutet, dass
a) k ein Primfaktor von (k-1)!+1 ist, ODER
b) k eine zusammengesetzte Zahl aus Primfaktor von (k-1)!+1 ist, was zu widerlegen ist.
a) wurde schon ueber Aussage A behandelt.
K sei nun eine zusammengesetzte Zahl. Im Moment muss ich vor mir selbst kapitulieren, denn ich komme einfach nicht darauf wie ich dies damals so schnell bewiesen hatte. Gluecklicherweise hatte ich dies aber etwas ausfuehrlicher kommentiert :
Zitat:
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Zitat von richy 2010
Wegen Satz 2)
(p-1)! +1 kann keinen Primteiler des Intervalls [2..(p-1)] aufweisen.
Alle Primteiler von (p-1)! +1 sind somit groesser als (p-1)
Der kleinste dieser Primteiler ist p (Falls p ein Teiler ist)
Der kleinste zusammengesetze Teiler ist p^2
Nochmal in einfachen Worten
Man stelle sich die Primfaktorzerlegung von (p-1)! + 1 vor.
Alle Primfaktoren muessen groesser als (p-1) sein. Dass (p-1)! + 1 durch p teilbar ist, kann gerade noch erfuellt werden. (Vorausgesetzt p ist als Primfaktor enthalten.)
Denn p>p-1
Waere p aber keine Primzahl, so waere es das Produkt mindestens zweier der Primfaktoren von (p-1)! + 1.
Das kleinste Uebel waere p^2. Aber selbst dies ist zu gross.
Also kann p hoechstens ein Primfaktor von (p-1)! + 1 sein und nicht ein Produkt mehrerer seiner Primfaktoren.
Zwei Zahlen. Beide groesser gleich p. Deren Produkt soll gleich p sein. Des geht net :-) (Ausser fuer eins)
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Aaarrg ist das tatsaechlich so einfach ?
(p-1)! +1 kann keinen Primteiler des Intervalls [2..(p-1)] aufweisen.
Daraus folgt fuer die kleinste Zahl die (p-1)! +1 darstellen kann (p-1)! +1=p*p. Das ist die kleinste Zahl die p teilen muss. Und die kleinste zusamengesetzte Zahl die dazu in der Lage waere waere p=p*p
Hilfe, mein Beweis scheint tatsaechlich zu stimmen. Allerdings gefaellt mir noch nicht, dass ich scheinbar voraussetze, dass p eine Primzahl ist. Ich sollte Aussage A noch fuer Nichtprimzahlen formulieren.
Satz 2 habe ich bereits auf Fakultaeten verallgemeinert. Ebenso moechte ich dies noch bei Satz 3 versuchen. Dann waere alles komplett.