Hi Merman
Es freut mich sehr, dass man meinen Beitraegen anscheinend folgen kann.
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Zitat von merman
Bilderbuch-Spaziergänge in Zahlenräumen
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Genau das stellen die Grafiken dar :-) Wobei man die irrationalen Zahlen darin natuerlich nicht direkt sehen kann. Man kann nur durch die Umgebung auf diese schliessen. Nicht immer, wie es Pi zeigt. Und es sollen zunaechst einfach nur "Spaziergaenge" sein. Man schaut sich um und kommt dabei auf Ideen fuer neue Spaziergaenge. Manche fuehren zu einem Tor in einen neuen Park, andere fuehren nicht weiter. Das ist dann auch nicht tragisch. Denn man kann sich auch an einem einzigen Park erfeuen.
Zitat:
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Zitat von merman
ich hab keine Ahnung ob es sich bei deinen Untersuchungen um bereits Bekanntes handelt...
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Ja und nein. Den Grad einer Irrationalitaet anzugeben ist nichts Neues und dass Phi gemaess Liouville die irrationalste aller Zahlen ist. Allerdings ist dies auch unter Mathematikern nicht sehr bekannt, da Kettenbrueche ein sehr spezielles Thema darstellen und und die physikalische Bedeutung unterschaetzt wird. Wobei Kettenbrueche oder Kettenwurzeln nichts anderes darstellen als die Vekettung die bei Differenzengleichungen auftritt. Ein Genie bezueglich dieser voellig anderen, naemlich verketteten Denkweise waren vor allem Ramanujan und Leonard Euler. Verkettung bedeutet f(f(f(f(f(...)))))
Ramanujan war Autodidakt. Er war daher voellig immun gegen mathematische Vorurteile. Er hat eine eigene Form der Mathematik erschaffen. Eine Mathematik die unabhaengig ist gegenueber historischen Vorgaben. Frage : Wenn Ausserirdische existieren. Wird sich deren Mathematik von unserer unterscheiden ? Mit Sicherheit. Unsere Mathematik ist an unsere Sinnesorgane angelehnt. Vor allem an unser Gehoer. Ausserirdische werden sicherlich andere Sinnesorgane aufweisen und vielleicht haben sie gar keine Ohren, kennen keine Frequenzen, Musik. Die Mathematik von Ramanujan gibt hierzu einen Einblick :
http://de.wikipedia.org/wiki/S._Ramanujan
Bezueglich der Klassiizierung von Zahlen wuerden Ausserirdische allerdings zu den selben Erkenntnissen gelangen wie wir Menschen.
Addiert man die Koeffizienten des regulaeren Kettenbruchdars einer Zahl, so ist dies ein Maß der Irrationalitaet (je kleiner desto irrationaler)
Ich hab mal nach Irrationalitaet und Grafiken gegoogelt. Ich meine meine Darstellungsweise ist tatsaechlich neu. Fuer mich ist es interessant zu sehen, dass man in den Grafiken erkennt, dass es gar nicht so sehr auf den Zahlenwert selbst ankommt. Sondern es gibt Umgebungen,Bereiche die guenstig oder unguenstig sind. Am guenstigsten fuer hohe Irrationalitaet ist 0..2. Pi (3.14...) liegt an einem auesserst unguenstigen Platz fuer Irrationalitaet. Mitten im Bruch 22/7 : (Rot markiert)
Besser waere es uebrigend Pi-2 oder Pi-3 zu untersuchen. Wobei letzendlich mit Pi aber stets Pi gemeint ist. Nicht
0.141592653589793238462643383279502884197169399375
oder
1.141592653589793238462643383279502884197169399375
sondern
3.141592653589793238462643383279502884197169399375
Ja ist dann 22/7 sehr genau Pi ? Nein, obwohl Handwerker vor der Taschenrechnerzeit den Wert verwendet haben. Wo liegen denn die genaueren Bruchapproximationen von Pi ? Man sieht hier doch gar nichts :
Die genaueren Bruchapproximationen muessen bei Pi im Gegenatz zu Phi in der inneren Struktur dieser 22 Streifen liegen. Das kann meine Grafik aber nicht aufloesen (Jede Vertikale sind maximal 100 Punkte). Man erahnt nur einen Schatten in der Mitte und zwei Schatten Bruederchen links und rechts von Pi.
Pi ist nicht sonderlich irrational.
Wenn man nach Pi (3.14...) googelt wird man dennoch immer wieder Seiten finden, die Pi als typischen Repraesentant der Irrationalitaet darstellen. Das ist im Grunde nicht sachgemaess ! Auf diesen Seiten wird man sich darauf berufen, dass die Nachkommstellen von Pi nun tatsaechlich voellig zufaellige Zahlen darstellen. Das erkennt man auch am Kettenbruch. Dessen Koeffizienten sind voellig wirr und zufaellig. Das ist aber kein Kennzeichen von Irrationalitaet sondern der Transzendenz. (Transzendenz bedeuten Pi ist nicht die Loesung eines Polynoms. Quadratur des Kreises daher ausgeschlossen). Ich meine meine Grafiken stellen dies sehr schoen dar.
Ach jetzt hab ich schon wieder eine neue Idee. Die Wahrscheinlichkeitsverteilung der Nachkommastellen darstellen.
Zu Planetenbahnen :
Meine Loesungen, die wie ein Hamster in der komplexen Ebene immer im Kreis laufen haben hierzu einen Bezug. Aber man muss wie dein Zitat zeigt sehr vorsichtig sein. Man kann nicht verallgemeinern, dass alle Verhaeltnisse im Sonnensystem irrational sind. Ich betrachte dies gerne so :
Chaos, Antiresonanz = Irrational
Ordnung, Resonanz = Rational
Und Strukturen entstehen auf der Grenzschicht zwischen Ordnung und Chaos. Es muss ein ausgewogenes Verhaeltnis vorliegen. MDiese Sichtweise ist in Bezug auf das Sonnensystem sehr stark angelehnt an jener von Kepler :
http://de.wikipedia.org/wiki/Johannes_Kepler
Eine Anwendung waere zum Beispiel zu erklaeren wie unser Mond entstanden ist. Und was meinst du ? Was wird mit den ganzen Partikeln des Saturnringes einmal passieren ?
Und vor allem : Warum ist unser Sonnensystem scheinbar stabil ? Kann man dies berechnen ?
Zu Hash Tabellen.
Da muesste ich selbst nachlesen. Meine Standardbuecher fuer Algos waren uebrigends "Algoritmen" von Robert Sedgewick. Das ist sehr verstaendlich geschrieben :
http://www.amazon.de/Algorithmen-C-R.../dp/3893193766
Die Algo Bibel im naturwissenschaftlichen Bereich ist "Numerical receipes in C". (Sehr abstrakt auf englisch) Das Buch hab ich mir als Student hart abgespart. Wollte es unbedingt jederzeit verfuegbar im Buecherregal stehen haben. Die frohe Botschaft :
Alle Quellcodes gibt es zum freien download :
http://www.nr.com/
Gruesse