... es zeigt sich, wie die Steigungen aller Sehnen mathematisch verknüpft sind,
die im Einheitskreis vom Punkt (1|0) zu den gleichmäßig verteilten Kreispunkten führen.
Ich bleibe bei der Namensgebung "x" für die Steigung einer Sehne,
da "m" bereits für die Steigung vergeben ist, die sich aus dem Punkt (0|0) ergibt,
und da "m(Sehne)" bzw. "m(2)" zu lang und irreführend wäre,
und zudem kann ich bei meinem glorifizierenden "X-Faktor"-Titel bleiben.
Also nochmal für alle:
Wir begeben uns mit dem Pythagoras-Dreieck
a²+b²=c² in einen Einheitskreis, bei dem der Radius r =1 ist.
Somit ist die Hypothenuse "c" des Dreiecks ebenfalls =1.
Ziel ist -wie immer- die Quadratur des Kreises, eine Mustererkennung für den Verlauf der Sinuskurve.
Dreieck(e) und Einheitskreis ergeben Sehnen/ Sekanten, ausgehend vom Punkt (1|0),
die allesamt gleichmäßig verteilte Punkte mit der Kreislinie erzeugen.
In einem solchen Bild werden mathematische Verwandtschaften von 2er-Potenzen und Verdopplungen durch Kehrwerte veranschaulicht.
Ebenso wird die Verwandtschaft gerader und ungerader Zahlen untereinander (u.a. durch Paralellen) abgebildet.
Verwandtschaft aller Sehnen-Steigungen von (1|0) zu regelmäßigen Kreispunkten: x1, x2, x3, x4, x5, x5, x7, x8, x9,.... ->xn:
Alle Sehnen-Steigungen in quadratischer Folge (x2^n) sind miteinander mathematisch verkettet
Alle Sehnen-Steigungen x(2n) ergeben sich direkt aus x(n).
Alle Sehnen-Steigungen x(2n+1) ergeben sich aus x(n) und x(n+1).
.......... x(2n) = x(n)²-1 / 2x(n) .................................................. ......(Kehrwert der Steigung m, des Vor-Dreiecks aus x(n))
.......... x(2n+1) = [b(x(n+1))-b(x(n))] / [a(x(n))-a(x(n+1)].............(Parallele zur Geraden durch Kreispunkte von x(n) und x(n+1))
mit ..... a = (x²-1)= / (x²+1)
und..... b = 2x / (x²+1)
Das klingt alles fürchterlich kompliziert, das folgende Bild veranschaulicht aber alles recht einfach (hoffe ich).
Bild :
Steigung x1 ist frei wählbar (>1), und somit gegeben, sie entscheidet über die Abstände der Kreispunkte.
In folgendem Bild kann man erkennen, wie sich "Senkrechte" und "Parallelen" abwechseln.
Bild:
Alle Steigungen x(n) mit 2*n=gerade haben eine Senkrechte zwischen Endpunkt von x(n) und dem Ursprung (0|0).
Alle Steigungen x(n) mit 2*n+1=ungerade haben Parallelen am Rand des Vielecks, zwischen den Endpunkten von Steigungen x(n) und x(n+1).
Interessant ist die mathematische Verwandtschaft ebventuell für Mathematiker, die die Sache mit höherer Mathematik untersuchen,
bzw. auf einen anderen "Nenner" bringen können, oder einfach nur "AAAH!, ..... kumma, der Merman" sagen.
Hinter dem nichtlinearen Verlauf der Sinuskurve wird ein greifbareres mathematisches Muster erkennbar.
bdmnxt
Merman