Vorbetrachtungen :
Blatt 1)
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Einfuehrung des Kettenbruchs, Notation, Satz von Liouville.
Der Satz besagt, dass eine Zahl x durch einen Bruch p/q umso besser approximiert wird, je groesser der Nenner q ist,multipöiziert mit dem letzten Gewicht der Kettenbruchentwicklung.
Ohne Beweis wird angegeben, dass dies der Fall ist, je groesser die Gewichte der Kettenbruchapproximation sind. Ueber die Reihenfolge gibt es zunaechst keine Aussage.
Aufgabe :
Es ist zu Bestimmen wie der Nenner ueber die Gewichte konkret bestimmt wird. Da wir die Reihenfolge beruecksichtigen wollen, muss man beachten, dass diese bei der iterativen Kettenbruchentwicklung in umgekehrter Reihenfolge eingeht. Die zeigt folgender einfache Maplecode :
Wie entwickelt sich der Nenner ?
Wenn man die Substitition meines ersten Beitrag betrachtet kann man dies erraten. Aber berechnen wir die Loesung :
Dazu zerlegen wir f[k] der Iteration in p2/q2 ("2" bedeutet Index k+2)
p2/q2=r1+q1/p1, r1 erweitern
p2/q2=p1*r1/p1+q1/p1
p2/q2=(p1*r1+q1)/p1
p2=(p1*r1+q1) und
q2=p1
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Der Nenner in jedem Iterationsschritt ist wie bei den allg. Fib Zahlen gleichen dem Zaehler des letzten Iterationsschrittes. Auch diesen kennen wir:
q2=p1=(p0*r0+q0)
p0 ist aber gleich q1 =>
q2=(q1*r0+q0) ... ausfuehrlicher :
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Nenner[k+2]=(Nenner[k+1]*r[k]+Nenner[k])
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Der Nenner entwickelt sich somit wie erwartet in einer Fibonaccifolge mit dem Koeffizienten r[k]
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