Hi Jogi
Zitat:
Nee, wundert natürlich niemand, weil der Goldene Schnitt ja genau die Bedingung der Fib-Funktion erfüllt.
Eigentlich völlig banal.
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So ganz banal ist das nicht, im Gegenteil. Oder uebersehe ich gerade etwas ? Denn das Verhaeltnis zweier Fib(n) Zahen
naehert sich nur dem goldenen Schnitt fuer grosse n.
Aber untersuchen wir die Sache mal genauer. (g soll 0.618033988 .. sein)
Wobei g+1 als der goldene Schnitt bezeichnet wird. Beides ist aber so gut wie das Selbe. 1+g=1/g
Wie ich darauf komme eins und g als Anfangswerte zu waehlen ist klar.
Um den Term A zu kompensieren waehle ich c0 und c1 so, dass der Vorfaktor
(1/5*c0+1/10*c1+1/10*5^(1/2)*c1) des Terms gleich Null wird.
Das ist keine grosse Kunst. (Es gibt 2 Loesungen)
Es bleiben die exponentiell gedaempften harmonischen Terme B und C.
Die modifizierte Fib Version nenne ich mal Fibg
Berechnen wir Fibg(n+1)/Fib(n)
Am einfachsten sieht man das sofort an der nicht komplex umgeschriebenen Funktion :
(Sorry die Ascii Scheibweise, aber nur der blaue Teil interessiert)
Die ganzen Vorfaktoren kuerzen sich beim Verhaeltnis raus :
Die Loesung lautet in der Schreibweise :
-8*(3+5^(1/2))/(5^(1/2)+1)^3*
(-2/(Wurzel(5)+1))^n
(-2/(Wurzel(5)+1))^n und aus dem Term bleibt beim Bilden des Verhaeltnis
-2/(Wurzel(5)+1)
Also wiederum -g
*************
Bei der Fib Reihe konvergiert der Reihenquotient gegen 1.618033988
Bei der Fibg Reihe ist er kostant ! gleich -0.618033988
Es kommt aber noch viel besser !
Hier mal einige Werte der Fibg(n) (Reihe)
Die haben alle die Form : (Die Reihe ist wegen -A alternierend)
- A / (Wurzel(5) +1 ) + B
Mit folgenden Werten fuer A, B
.A. .B.
000 001
002 000
002 001
004 001
006 002
010 003
016 005
026 008
042 013
068 021
110 034
178 055
288 089
Und die Werte von B duerften dir sicherlich bekannt sein
Ha jetzt wissen wir gleich wie 42 und 13 zusammenhaengen :-)
Hast du eine Idee fuer A ? Kann man natuerlich berechnen was das fuer Zahlen sind.
Das naechste Mal. Dann auch mehr zu den Loesungen und wie weit meine Integraltransformation ist.
Wobei ich da trotz einiger Ergebnisse kurz davor bin aufzugeben.