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Alt 13.12.09, 15:12
zeitgenosse zeitgenosse ist offline
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Standard AW: Lorentzkontraktion und Luxonen

Zitat:
Zitat von Bauhof Beitrag anzeigen
Ich als "Normalsterblicher" beherrsche die Differenzialgeometrie leider nicht.
Es geht vorerst auch einfacher.

Im Gravitationsfeld kommt es zu merkwürdigen Effekten. So verändern sich Maßstäbe ebenso wie der Gang von Uhren. Je stärker das Feld ist, desto langsamer gehen die Uhren. Das ist kein technisches, sondern ein physikalisches Phänomen.

Selbstverständlich geht auch die biologische Uhr des Beobachters A langsamer, d.h. er altert langsamer als sein Zwilling, der sich im flachen (feldfreien) Kontinuum befindet:

Δt_A = Δt * sqrt(1 - /r)

Misst ein im Gravitationsfeld befindlicher Beobachter (A) für seinen Maßstab die Länge L, so misst ein feldfreier Beobachter (B) stattdessen die Länge L'; dann nämlich, wenn sich der Maßstab längs zur Feldrichtung befindet:

L' = L * sqrt(1 - /r)

Schwarzschildradius := 2GM/c² (für die Sonne ist ≈ 3km)
r Abstand des Beobachters im Schwerefeld

Keine Längenänderung ist feststellbar, wenn der Maßstab quer zur Feldrichtung liegt.

Experimentell ist dieser Nachweis nicht leicht zu erbringen.

Selbstverständlich hat dies auch Auswirkungen auf die Messung der Lichtgeschwindigkeit, welche sich im Unterschied zu den Galileischen Bezugssystemen nun als Funktion des Ortes c(r) und damit als variabel erweist.

Feststellen lässt sich dieses Phänomen nur von einem weit entfernten Beobachter, der quasi aus dem Unendlichen heraus operiert und deshalb als feldfrei bezeichnet werden kann. Denn lokal konstatiert jeder Beobachter per se die C-Konstanz (in natürlichen Einheiten: c = 1 = const).

Weshalb ist das so?

Selbst in einer gekrümmten Raumzeit lässt sich immer ein hinreichend kleines Gebiet auf einer Karte finden, wo sich die innere Krümmung der Welt noch nicht signifikant bemerkbar macht. Auch ein frei fallendes Satellitenlabor, das in guter Näherung ein Inertialsystem verkörpert, lässt sich technisch mit entsprechendem Aufwand realisieren. Lokale Messungen in einer gekrümmten Raumzeit unterscheiden sich folglich nicht wesentlich von solchen in Inertialsystemen.

Wenn wir also mit gutem Grund davon ausgehen, dass die Lichtgeschwindigkeit in der flachen Raumzeit (Minkowski-Welt) gemäss dem Postulat der SRT eine Konstante ist, gilt dies nicht länger in einer gekrümmten Raumzeit (letztere wird von Einstein auch als "Molluske" bezeichnet). Damit tun sich einige erwiesenermassen schwer; und dies, obwohl Einstein himself sowie Pauli und Born diesen Sachverhalt bereits deutlich genug in ihren eigenen Büchern vorweggenommen haben. Man muss es nur nachlesen!

Für die Lichtgeschwindigkeit im Gravitationsfeld gilt daher:

a) längs zur Feldrichtung (Maßstabsänderung und grav. Zeitdilatation)

c(r) = 1/K² = 1 - /r

b) quer zur Feldrichtung (nur grav. Zeitdilatation) --> c(r) = 1/K = sqrt(1 - /r)

Der allg. K-Faktor ist := 1/sqrt(1 - /r)

Eine Auswirkung dieser funktionalen Abhängigkeit von c führt zu Laufzeitunterschieden bei Veränderung des Gravitationsfeldes. Solches wurde von Shapiro (1964) vorausgesagt und experimentell in mehreren Versuchen bestätigt.

Vereinfachend legt der ferne Beobachter dazu ein euklidisches Kooordinatennetz in die Aequatorebene der Sonne. Aus der während eines Zeitintervalls τ zurückgelegten Weges dr lässt sich daraus die Koordinatengeschwindigkeit des Lichtes in der Schwarzschild-Metrik bestimmen:

c' = dr/dτ

c' ≈ c(1 - 2GM/c²r) = c(1 - /r)

Je näher das Licht dem Zentralkörper (Sonne) kommt, um so langsamer "bewegt" es sich gegenüber dem Koordinatennetz. Dass dieses Phänomen auf reale Effekte infolge des sich mit dem Ort verändernden Gravitationspotentials zurückzuführen und nicht bloss ein Wahrnehmungsproblem ist, haben wir oben bereits gezeigt.

Siehe dazu zur Vertiefung das Skript von Breitfeld:
http://docs.sfz-bw.de/phag/skripte/relativitaet.pdf

Die Laufzeitverzögerung ergibt sich mit R = Sonneradius zu:

Δt = 2 * ln(4 * r_erde * r_venus/R²) = 230 μs

Solches stimmt gut mit den experimentellen Ergebnissen überein.

Einzelheiten zu obigen Beziehungen entnehme man z.B. der Skizze in Kapitel 9.6 (Laufzeitverzögerung) im Buch von:

Schröder, Gravitation (Verlag Harri Deutsch)

Gr. zg
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