Wie Richy zu seiner Fields Medallie kam
*****************************
Ok, bilden wir einfach die Umkehrfunktion von
x(t)=1/2*(1-cos(
2^(t)*arccos(1-2*x0)));
...
1-2*x(t)=cos(2^t*arccos(1-2*x0));
arccos(1-2*x(t))+n*2*Pi=2^t*arccos(1-2*x0)
cos(2^(-t)*(arccos(1-2*x(t))+n*2*Pi) )=(1-2*x0)
...
1/2*(1-cos(2^(-t)*(arccos(1-2*x(t))+n*2*Pi)))=x0
Die Variablen vertauscht man nun ebenfalls :
x(t)=1/2*(1-cos(
2^(-t)*(arccos(1-2*x0)+
n*2*Pi)))
Dem spendiere ich eine Maple Darstellung, denn das wird heiss ! :-)
Die Fields of gold Medallie liegt schon in greifbarer Naehe :-)
Und ich werde im Gegensatz zu GRIGORI PERELMAN die Medallie natuerlich annehmen
Wie Perelman interessiert mich das Blech nicht, aber die 1000 000$
Rein formal sehen wir zunaechst, dass die Rueckwaertsiterierte formal fast voellig gleich ist wie die Vorwaertsiterierte. Lediglich der Ausdruck
2^(t) geht ueber in
2^(-t) und es kommen die Mehrdeutigkeiten in der Form
n*2*Pi dazu.
Betrachten wir zunaechst den Fall n=0, x0=0.1
Naja wir sehen, dass fuer negative Zeiten die Funktion den Verlauf der Vorwaertsiterierten annimmt.
@M.S. Richy hat also hier keinen Fluechtigkeitsfehler begannen he he.
Ansonsten strebt unsere Funktion recht langweilig fuer limit t->infinity gegen 0.
Die Medallienkommission wird uns widerum nicht abkaufen, dass dies eine chaotische Funktion darstellen soll. Jetzt ziehen wir aber den Joker aus der Tasche :
"Meine Herren. Die DGL (die ich noch kurz herleiten muss) trifft keinerlei Aussage darueber, dass lediglich der Hauptwert der arccos() zu nehmen ist. Dies waere ein Anfaengerfehler. Es sind stets alle Loesungen zu betrachten !"
Nun gut. Berachten wir die ersten drei Nebenwerte :
> x_0(t):=(1/2*(1-cos(2^(-t)*(arccos(1-2*x0)+0*2*Pi))));
> x_1(t):=(1/2*(1-cos(2^(-t)*(arccos(1-2*x0)+1*2*Pi))));
> x_2(t):=(1/2*(1-cos(2^(-t)*(arccos(1-2*x0)+2*2*Pi))));
> x_3(t):=(1/2*(1-cos(2^(-t)*(arccos(1-2*x0)+3*2*Pi))));
> x_4(t):=(1/2*(1-cos(2^(-t)*(arccos(1-2*x0)+4*2*Pi))));
Auch dieses Ergebnis ist fuer mich ueberraschend und verblueffend. Der Hauptwert n=0 ist ein Spezialfall. Ansonsten schneidet die exponentielle Frequenzdaempfung anscheinend genau n Maxima aus der Kosinusfunktion.
Unabhaengig vom Startwert. Warum das denn ? Auf welchem mathematischen Zusammenhang basiert diese Phaenomen ?
Erfuellt nur n=0 den Anfangswert ? Nein natuerlich nicht :
Die Medallienkommission wird nun fragen :
"Welchen Nebenwert Wert sollen wir konkret betrachten ?"
richy : "Das steht ihnen voellig frei"
Die Medallienkommission wird nun argumentieren :
"Mein guter Herr, sie sehen doch, dass ein n-ter Nebenwert nur n Maxima der Kosinusfunktion widergeben kann. Zugegeben fuer hohe Werte von n koennen sie ein sehr grosses Zeitintervall uebersteichen, aber dann wird ihre angebliche chaotische Funktion monoton fallend gegen Null streben."
richy : " Zugegeben, das ist zutreffend. Aber es stehen beliebig viele Nebenwerte mit beliebig hohen n zur Verfuegung. Wir koennten trivialerweise nur Nebenwerte n-m mit limit n->infinity betrachten. Oder wir schliessen einfach jene Nebenwerte aus, die nach t_n ihre n Maxima erreicht haben"
Einen Informationsverlust sollte uebrigends bereits nach infinitessimal kleiner Zeit dt gegenueber t0 auftreten. D
Und eines steht auch schon fest.
Dafuer gibt es wohl keine Fields Medallie :-)
Gruesse