Verhulst r=4 diskret :
- Eindeutige quadratische Vorwaertsiteration.
- Zweideutige Rueckwaertsiteration
- Keine Periodizitaet des Vorzeichens => Informationsverlust waechst mit jeder Iteration
Verhulst r=4 kontinuierlich :
- Eindeutige Funktion.
- Mehrdeutige Umkehrfunktion
- Bereits ein infinitesimales t ist mehrdeutig => Die Umkehrfunktion ist unendlich mehrdeutig. Es koennen jedoch verschiedene mehredeutige Zweige zu gleichen Loesungen fuehren.
Welche Loesung "richtig" ist laesst sich aus der Vorwaertsfunktion ermitteln. Sowohl diskret als auch nichtdiskret. Wir befinden uns im chaotischen stark nichtlinearen Bereich. Daher muss jeder Wert moeglichst genau erfasst werden.
Einfaches Experiment :
Erfassen von 10 Iterationswerten. Willkuerlicher Startwert s0=0.2 :
> restart;
> y[0]:=0.2;
> for i from 1 to 10 do
> y[i]:=y[i-1]*4*(1-y[i-1]);
> od;
y[1] := .64
y[2] := .9216
y[3] := .28901376
y[4] := .8219392260
y[5] := .5854205392
y[6] := .9708133260
y[7] := .1133392482
y[8] := .4019738520
y[9] := .9615634972
y[10] := .1478365522
Welche Umkehrfunktion mit t=1 bildet den Wert 0.64 auf den Wert 0.2 ab ?
k:=1; n:=?
y_inf:=(1/2*(1-cos(2^(-1)*(arccos(1-2*y[k])+n*2*Pi))));
n=0,2,4,6,8,..... loesen die Aufgabe.
(hier ueber 10 Zeitschritte
Im naechsten einzelnen Iterationsschritt ergibt sich eine andere Wahl :
Welche Umkehrfunktion mit t=1 bildet den Wert 0.9216 auf den Wert 0.64 ab ?
k:=1; n:=?
y_inf:=(1/2*(1-cos(2^(-1)*(arccos(1-2*y[k])+n*2*Pi))));
n=1,3,5,7,9 ... loesen die Aufgabe.
Ob geradzahlige oder ungeradzahligen Indizes die Aufgabe loesen sollte zufaellig sein (graphischen Nachweis nachliefern) .
Die diskrete und nichtdiskrete Version unterscheiden sich fuer jeweils einen Iterationsschritt (t=1) vom Prinzip her nicht. Fuer beliebige nichtganzzahlige t sollte sich das Verhalten drastisch aendern.
Weitere ganzahlige Beispiele :Zwei verkettete Iterationen t=2 fuer verschiedene Startwerte :
'************************************************* *******************
yinf[n]:=(1/2*(1-cos(2^(-2)*(arccos(1-2*y[k])+n*2*Pi))));
Welche Umkehrfunktion mit t=2 bildet den Wert 0.9216 auf den Wert 0.2 ab ?
Numerisch ermittelt : n=3,7,11....
Welche Umkehrfunktion mit t=2 bildet den Wert 0.28901376 auf den Wert 0.64 ab ?
Numerisch ermittelt : n=1,5,9....
... Fuer den jeweils kleinsten Index erhaelt man die chaotische Reihe :
3,1,2,3,1,1,2,0,3.....
****************
Die vier zufaelligen Vorzeichenkombinationen zweier verketteter Iterationen (plus/plus, plus,minus, minus/plus, minus/minus) fuehren in der kontinuierlichen Version zu vier zufaelligen Umkehrfunktionen n=0,1,2,3
y_invers[n]:=(1/2*(1-cos(2^(-2)*(arccos(1-2*y[k])+n*2*Pi))));