Zufall oder herleitbare notwendige Systematik ?
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Fuer die sieben Iterationswerte der Grafik des letzten Beitrags ergeben sich folgende kleinste Indizes n :
k=0, n=
0 y_i =.9708133260000; 0 periodisch
k=1, n=
1 y_i =.5854205391000; 2 periodisch
k=2, n=
1 y_i =.8219392260000; 4 periodisch
k=3, n=
1 y_i =.2890137601000; 8 periodisch
k=4, n=
9 y_i =.9216000000000; 16 periodisch
k=5, n=
9 y_i =.6400000000000; 32 periodisch
k=6, n=
9 y_i =.2000000000000; 64 periodisch
Ein TestPlot der Funktion zeigt, dass im Bereich k=0 bis k=1 der Funktionszweig n=9, statt n=0, n=1, die Funktion offenbar an allen Stellen richtig wiedergibt :
Die Vorwaertsiteration zum Vergleich :
Die Uebereinstimmung laesst sich auch algebraisch begruenden :
k=0. (n_min=0)
Fuer jedes n erhaelt man die gleiche Loesung. Damit sowohl fuer n=0 als auch fuer n=9.
k=1 (n_min=1)
Jeder 2 te Wert ist gleich : n_min+2*m. m element N. Gleiche Loesungen erhaelt man fuer die Werte n=1,3,5,7,9,11 ... Neun ist in der Liste enthalten.
k=2 (n_min=1)
Jeder 4 te Wert ist gleich : n_min+4*m. m element N. Gleiche Loesungen erhaelt man fuer die Werte n=1,5,9,13 ... Neun ist in der Liste enthalten.
k=3 (n_min=1)
9=n_min+m*2^k, 9=1+1*8
k=4,5,6 (n_min=9)
Die inverse Loesungsfunktion des Beispiel ist damit nicht nur abschnittsweise angebbar, sondern durch einen einzigen Loesungszweig n=9 :
Plot der Funktion 1/2*(1-cos(2^(-t)*(arccos(1-2*y0)+9*2*Pi)));
Die Vorwaertsiteration zum Vergleich :
