Beispiel einer Maple Anwendung :
Die Fibonacci Differenzengleichung ist linear und laesst sich daher mittels Z-Transformation loesen. Die Z-Transformation stellt die diskrete Variante der La Placetransformation dar und ist daher fuer diese Aufgabenstellung geeignet. Man transformiert somit die Gleichung in den Z-Bildbereich. Das ist nicht sonderlich schwierig. Im Bildbereich muss man eine Partialbruchzerlegung durchfuehren und die Ruecktransformation fuehrt zum Ergebnis :
http://home.arcor.de/richardon/richy...c/fib/fib1.htm
(Auf der Seite habe ich alles per Hand gerechnet)
Ich denke mal, dass man "per Hand" gut eine halbe Stunde fuer diese Aufgabe benoetigt. Mit Maple erhaelt man die Loesung innehalb weniger Sekunden.
Das Schluesselwort zu Loesung rekursiver Gleichungen lautet "rsolve". Um eine Anleitung und Beispiel dafuer zu finden tippt man ein "?rsolve". Man kopiert ein geeignetes Beispiel und kann so die Aufgebe besonders schnell formulieren :
lsg:=rsolve({y(n+2)=y(n+1)+y(n), y(0)=1,y(1)=1},y(n));
Die Loesung ist natuerlich komplexwertig. Das sieht man besonders schoen, wenn man, sie in Realteil und Imaginaerteil zerlegt. Ein Befehl genuegt dazu :
evalc(lsg);
Ein Plot ist somit nur in der komplexen Ebene Moeglich. Dafuer bietet Maple eine Vielzahl von Plotroutinen an, die man mit dem Befehl with(plots) zur Verfuegung stehen.
with(plots);
complexplot(lsg,n=0..5);
Man sieht sehr schoen wie die Fibonacci Zahlen fuer positive Indizes aus einer frequenzmodulierten harmonischen Schwingung in der komplexen Ebene hervorgehen. Die evalc Darstellung liefert hier die Erklaerung. Mit der analytischen Loesung kann man nun auch negative Indizes (Zeiten) betrachten :
Die Cosinusfunktion des Imaginaerteiles fuehrt dabei zu einer Spiralform.
Fuer diese Darstellung waren nur 3 Maple Zeilen notwendig :
Zitat:
with(plots);
lsg:=rsolve({y(n+2)=y(n+1)+y(n), y(0)=1,y(1)=1},y(n));
complexplot(lsg,n=-6..4);
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Ich meine das ist sehr viel anschaulicher, wie wenn man nur die Loesung von Binet betrachtet.