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Zitat von Eigenvector
Für alle Natürlichen Zahlen gilt, dass man 1 addieren kann, und damit eine jeweils größere Zahl erhält.
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Das ist ein Grundaxiom der Mathematik. Daran zu Zweifeln, dass es keine groesste natuerliche Zahl gibt ist nicht meine Idee, sondern die eines Mathematikers. Zwar im Rahmen einer Doku, aber bei einem Mathematiker nehme ich das dann doch ernst, obwohl mir auch gleich dieses Axiom dazu eingefallen ist. Ok ein Axiom kann man nicht beweisen, aber es wird wohl noch mehr dahinter stecken.
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Zitat von Bauhof
bei der Betrachtung von unendlichen Mengen muss man unendlich vorsichtig sein.
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Eben :-)
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Zitat von Bauhof
Ich bin mir nicht sicher, dass aus dem Satz von Euklid, dass es keine größte Primzahl gibt, folgt, dass es unendlich viele Primzahlen gibt.
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Dennoch bin ich mir aufgrund des Beweises mit den Primorials jetzt recht sicher, dass die Aussage bezuglich der groessten Primzahl sogar ein fundamentaleres Axiom darstellt als die Existenz eines Nachfolgers zu jeder natuerlichen Zahl. Wenn man in Betracht zieht, dass die Primzahlen die fundamentalere Klasse von Zahlen darstellt, aus denen alle natuerlich Zahlen gebildet werden koennen.
Wuerde eine groesste Primzahl p existieren, so haette deren Primorial p# tatsaechlich keinen Nachfolger p#+1. Das von dir in Erinnerung gerufene Grundaxiom des existierenden Nachfolgers waere verletzt. Es waere aber noch kniffeliger. Denn dennoch koennten natuerliche Zahlen groesser p#+1 existieren. Solche mit mehrfachen Primfaktoren wie z.B. 2*p# oder (p#)^2. Die natuerlichen Zahlen waeren ab einem gewissen Wert durchloechert wie ein schweizer Kaese.
Ich wuerde daher meinen, dass die Primzahlen die selbe Maechtigkeit aufweisen wie die natuerlichen Zahlen. Sie lassen sich durchnummerieren. Und wieviele natuerliche Zahlen gibt es ?
Gruesse
Anmerkung: p(i)#+1 liefert natuerlich nicht einfach p(i+1)