Methode von Lagrange :
http://de.wikipedia.org/wiki/Lagrange-Multiplikator
Volumen :
V=h*Pi*r^2.
soll maximiert werden
Flaeche : A= Mantelflaeche+2 mal Deckelflaeche
A=2*Pi*r²+2*Pi*r*h
soll minimiert werden
Muesste jetzt nachschlagen, aber versuche es mal aus dem Kopf :
dA/dr=4Pi*r+2*Pi*h =! 0
dA/dh=2*Pi*r =! 0
Nee das koennen nicht die Nebenbedingungen sein r=0, h=0
Ist ja klar dass dann die Oberflaeche minimal ist
Ist einfach die Oberflaeche die Nebenbedingung ?
Wenn ich dann nach der Lagrangen Koordinate lambda ableite erhalte ich dann aber die Bedingung dass die Oberflaeche 0 sein soll. Richtig waere aber dass diese konstant ist.
Ich versuche es mal so :
NB:
2*Pi*r²+2*Pi*r*h-c=0
H(r,h,l1)=h*Pi*r^2 + l1*(2*Pi*r²+2*Pi*r*h-c)
dH/dr=2*h*Pi*r + l1*4*Pi*r + 2*Pi*h=0
dH/dh=Pi*r^2+l1*2*Pi*r=0
dH/dl1=2*Pi*r^2+2*Pi*r*h-c=0
Das Gleichungssystem haette die Loesung :
h = r^2/(r+1)
Aber als Dosenhersteller wuerde ich nochmals gruendlicher ueberlegen.
Das waeren ja Flachdosen :-)
Die Bedingung dass die Oberflaeche minimal ist habe ich irgendwie noch nicht eingebracht.
Da wird wohl der Fehler liegen.
EDIT
HATTE EINE KLAMMER VERGESSEN !
H(r,h,l1)=h*Pi*r^2 + l1*(2*Pi*r²+2*Pi*r*h-c)
Hier
Das ist falsch :
dH/dr=2*h*Pi*r + l1*4*Pi*r + 2*Pi*h=0
richtig ist :
dH/dr=2*h*Pi*r + l1*(4*Pi*r + 2*Pi*h)=0
Und die Loesung des Gleichungssystems ist dann
h=2*r
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