[richy]

Hi Zeitgenosse

Warum sollte Verhulst fuer die Beschreibung einer diskreten Populationsgroesse den Umweg ueber eine Differentialgleichung gehen ?

So lese ich gerade in einem anderen Skript, dass die logistische Dgl. von VERHULST zur Untersuchung der Populationsdaynamik entwickelt wurde.
Diese Dgl. lautet in der allereinfachsten Form:
A) (d/dt) x --> y = (a - 1)x - ax^2
Daraus lässt sich dann die logistische Differenzengleichung ableiten:
B) x_n+1 = ax_n(1 - x_n)

Das scheint mir sehr suspekt und die DGL nachtraeglich konstruiert.
Ich versuche im Folgenden die Konstruktion fuer dich aufzudecken:

Numerisch laesst sich die Differentation dx/dt (besser Integration ueber t)
z.B durch eine einseitige Differenz 1.Ordnung: approximieren:
dx/dt etwa (x(n+1)-x(n))/dt. t=n*dt
Einseitig und nicht zetral um ein explizites Verfahren zu erhalten.
(Eine Integration 4.ter Ordnung nach Adams Bashford waere sachgemaess)

Aber bleiben wir bei dem einfachen Ansatz: dx/dt etwa (x(n+1)-x(n))/dt mit dt=1
************************************************** ***********
in A)
x(n+1)-x(n)=a*x(n)-1*x(n)-a*x(n)^2

Wozu der Term -1*x(n) auf der rechten Seite ? Na der ist da hinkonstruiert damit -x(n) auf der linken Seite rausfaellt. Physikalisch hat der kaum einen Sinn. Diese Konstruktion habe ich dir an anderer Stelle aber auch schon vorgeschlagen. So wie ich sehe, konntest du damals nicht wissen worauf ich damit hinaus wollte.

Ansonsten ergaebe sich nicht die logistische Abblidung :
x_n+1 = a * x_n * (1 - x_ n)
sondern eben (ehemals deine Form)
x_n+1 - x_n = a*x_n*(1 - x_n)
x_n+1 = x_n + a*x_n*(1 - x_n)

Daher meine Vermutung, d.h. es ist so ziemlich sicher, dass die DGL A) lediglich ein nachtraegliches Konstrukt ist. Der Term -x(t) der rechten Seite.
Waere interessant wenn du mal bischen naeheres zur wahren Geschichte von Verhulst recherchieren koenntest. Es gibt da nur wenig Material.

Ich wuerde vorschlagen, die diskrete Form als logistische / Verhulst- Gleichung, Abbildung zu bezeichnen. So ist dies auch allgemein ueblich.
Und wenn die kontinuierliche Form gemeint ist den Begriff (DGL) hinzuzufuegen.
Z.B. Logistische / Verhulst Differentialgleichung.
Beide weisen voellig unterschiedliche Loesungsverhalten auf. Wobei die DGL nur eine untergeordnete Rolle spielt Sie ist analytisch loesbar kann auch kein oszillierendes oder gar chaotisches System beschreiben, da sie 1.Ordnung ist.

Waehrend die Differenzengleichung nicht loesbar ist fuer gewisse Parameter oszilliert und chaotische Loesungen enthaelt.
Obwohl sie nur 1.Ordnung ist !
Die logistische Abbildung ist analytisch nicht loesbar ! Bis auf die Loesung fuer r=2 die ich diesem Teufelswerk nach 15 Jahren Rumprobieren und Nachdenken zufaellig entreissen konnte :

Ueber Laplace Fourier oder Z-Transformation kann man diese Loesung nicht gewinnen.
Aber ueber gesunden Menschenverstand mit etwas Schulmathematik.

Ein fundamentaler Unterschied zwischen DGL und DZGL !
Daher unterscheidet sich auch Heims diskretes Modell fundamental von einem kontinuierlichen. Die Grundgleichungen der ART sind nichtlinear.

Das Loesungsverhalten der Verhulst DZGL kann man dem Feigenbaumdiagramm oder dem Ljapunov Exponenten entnehmen. Neuerdings auch dem Zipfelsinn :-)

Damit habe ich ein realistisches Wachstumsmodell bei begrenzten Ressourcen gefunden. Solches lässt sich u.a. sehr anschaulich an einer Käferpopulation verfolgen.

Ja, aber realistisch ist nur die DZGL, die DGL ist nicht in der Lage das dynamische Verhalten der Kaeferpopulation zu beschreiben. Z.b die real auch auftretenden Oszillationen oder chaotische Kaeferdynamik.


In der Chaostheorie ist auch ausschliesslich die DZGL von Interesse.
Die DGL spielt in der Choastheorie keine Rolle.
Die Rueckwaertsiterierte, Nullstellen der verketteten Abbildung liefert sogar eine Juliamenge wie bei der DZGL der Mandelbrotmenge.

Im chaotischen Bereich bilden sich "Inseln der Ordnung" heraus. Es entstehen schmale Streifen mit deutlich erkennbaren Häufungspunkten.

Und die letzte grosse Insel der Ordnung erhaelt man fuer r=1+Wurzel(8)
Die Zufallswerte bei diesem Parameterwert sind dann fast ideal zipfverteil.
Allgemein spielen gerade diese Grenzbereiche zwischen chaos und Ordnung (Ljapu=0) eine uebergeordnete Rolle. In der Mandelbrotmenge bilden diese genau diese fraktale Grenzschicht die wir dann auf den huebschen Bildchen bewundern. Ebenso ist eine Aussage der Chaostheorie, dass sich "Leben", Selbstorganisation genau an dieser fraktalen Grenzschicht entwickelt. Insbesonders auch immer weitab vom thermodynamischen Gleichgewicht.

Gibt es vielleicht Verbindungen zur Quantenmechanik?

Dazu muesste man nach Nichtlinearitaeten in der Schroedingergleichung suchen.
Und diese als DZGL nicht als DGL formulieren.

Unterliegt das statistische Verhalten einem strengen Mechanismus - gesteuert aus höherdimensionalen Räumen über komplexe Fourierreihen? Nichts wäre somit falscher als das Zufallsprinzip.

> einem strengen Mechanismus -gesteuert aus höherdimensionalen Räumen
Ja, das entspricht meiner Vorstelung. Die Unschaerfe ist bedingt durch die Abbildung des 6-D
auf unseren 4-D Raum. Vergleichbar mit einem 2-D Photo, dass niemals alle Teile des 3-D Raumes scharf abbilden kann.

> über komplexe Fourierreihen?
Diesen messe ich hier keine so grosse Rolle zu. Die FT ist ein Loesungsverfahren. Diese Geschichte mit dem vesrtaubten Mathematikbuch und den mehrdimensionalen Fourierreihen gefaellt mir ueberhaupt nicht.

> Nichts wäre somit falscher als das Zufallsprinzip.
Warum das denn ? Ja, der 6 D Raum waere vielleicht determiniert. Aber kennen wir alle Moeglichkeiten ? Haben wir prinzipiell Zugang zu diesen erweiterten Dimensionen ?
Also bleibt dies fuer uns Menschlein zufaellig.

Kleine Korrektur:

Logistisch gesehen ist es aber wenig sinnvoll, Bereiche für r > 3 zu betrachten; denn von hier an divergiert die logistische Differenzengleichung für fast alle Startwerte.

Du meinst Bereiche r > 4=1+Wurzel(9)
Die Nullstelen der verketteten Funktion sind dann alle reell. Zudem zerfallen sie in Cantorstaub. Es laesst sich auch zeigen, dass die dann noch stabilen Anfangswerte mit steigendem r ebenfalls zu Cantorstaub zerfallen.

Dass es ueberhaupt stabile Anfagswerte fuer r>4 gibt ist aber auch nur den wenigsten bekannt.

Viele Gruesse

(Diese Beitrag wurde gesponsert von USCHI, die 3 Stunden telephonieren kann :-)