Hi
Vielleicht sollte man zu Namensgebung der logistischen Funktion noch etwas sagen, damit es keine Verwechslung gibt.
Die DGL der modifizierte Wachstumsgleichung nennt sich in
a) kontinuierlicher Form :
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Logistische Differentialgleichung.
http://de.wikipedia.org/wiki/Logistische_Funktion
Die logistische Differentialgleichung ist mittels Trennen der Variablen leicht loesbar. Lediglich Partialbruchzerlegung wird noch benoetigt. Die Loesung wird ab und zu auch als logistische Funktion bezeichnet. Das halte ich fuer etwas ungluecklich, denn
b) diskretisierte Form (Differenzengleichung) :
Die diskrete Form der logistischen Differentialgleichung nennt sich auch
- logistische Abblidung
- logistische Gleichung
- Verhulst Gleichung
y(k+1)=a*y(k)*(1-y(k))
Die Gleichung gilt allgemein als analytisch nicht loesbar.
http://de.wikipedia.org/wiki/Logistische_Gleichung
(Ich konnte ihr dennoch eine Loesung fuer a=2 entlocken :-)
Bakterien und Karnikel vermehren sich diskret. Die Population wird also durch die diskrete Form richtig beschrieben.
Beide Gleichungen haben im Loesungsverhalten nur wenig gemeinsam.
Warum verhalten sich beide so unterschiedlich ?
Es laesst sich zeigen, dass ein kontinuierliches System 2 Freiheitsgrade aufweisen muss um chaotisches Verhalten zu erzeugen.
Die Differntialgleichung des Modell muss 2.Grades sein. Eine DGL 1.ten Grades kann keine chaotischen Loesungen liefern.
Eine Differenzengleichung 1. Grades ist dazu jedoch in der Lage wie die Verhulstgleichung eindrucksvoll zeigt.
Kontinuierlich und Diskrete nichtlineare Systeme koennen also alleine aufgrund des Grenzwertes limit d->0 (der in der Natur eher nicht existiert (siehe Plankzeit,Planklaenge))
ein voellig anderes Verhalten aufweisen.
Zitat:
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vorerst wie gesagt "nur" gewöhnlichen - Differentialgleichungen
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Meinst du damit nicht partiell oder nicht diskretisiert ?
Warum ausgerechnet tan(x,y(x)) ?
Wie koennte eine chaotische Loesung einer Gleichung eigentlich aussehen ?
so z.B. y(t)=art(tan(c*2*Pi*t)) wobei c irrational ist.
ciao
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