Kleiner Exkurs und Rekapitulation:
@richy
Irgendwie scheint mir, dass ich dich zuvor nicht richtig verstanden habe. Leider ist der zugrundegelegte Sachverhalt selbst in ansonsten guten Lehrbüchern (z.B. Heusser, "Gewöhnliche Differentialgleichungen") nicht immer eindeutig und unmissverständlich beschrieben.
So lese ich gerade in einem anderen Skript, dass die
logistische Dgl. von VERHULST zur Untersuchung der Populationsdaynamik entwickelt wurde.
Diese Dgl. lautet in der allereinfachsten Form:
(d/dt) x --> y = (a - 1)x - ax^2
Daraus lässt sich dann die logistische
Differenzengleichung ableiten:
x_n+1 = ax_n(1 - x_n)
Wenn ich es nun richtig verstanden habe, ist das die erforderliche Diskretisierung. Daraus lassen sich auch Iterationsvorschriften gewinnen.
Um eine logistische Funktion zu erhalten, schreibe ich folglich mit kühner Kreide:
y = a/(1 + b*e^(-k*x))
Als Graph bekomme ich dann eine
Sigmoide:
sig(t) = 1/(1 + e^-t)
Damit verwandt ist übrigens die
Gompertz-Funktion. Sie kann als Weiterentwicklung der logistischen Funktion angesehen werden.
Alternativ könnte ich auch schreiben (es kommt auf dasselbe hinaus):
f(x) = e^x/(1 + e^x)
Oder noch etwas allgemeiner:
f(x) = G * e^(kx)/(1 + e^(kx))
Um den Graph nach rechts zu verschieben - und so den Nullpunkt in den Koordinatenursprung zu verlegen - ergänze ich mit:
f(x) = G * e^(k(x - a))/(1 + e^(k(x - a)))
Der Parameter k bestimmt die Steilheit des Anstieges. Zu Beginn ist das Wachstum gering; am Wendepunkt im mittleren Kurvenabschnitt ist es am stärksten; danach nimmt es wieder ab. Letztendlich streben alle Kurvenbüschel gegen einen Sättigungswert - aber unterschiedlich schnell. Der Mathematiker wird sagen, dass die Lösungsfolge der logistischen Differenzengleichung monoton gegen den Sättigungswert K konvergiert.
Damit habe ich ein realistisches Wachstumsmodell bei begrenzten Ressourcen gefunden. Solches lässt sich u.a. sehr anschaulich an einer Käferpopulation verfolgen.
Zusammenfassend kann man somit sagen:
Es gibt eine
logistische Differentialgleichung (Verhulstgleichung), die nicht mit der (diskreten)
logistischen Gleichung verwechselt werden darf. Letztere nämlich ist eine
Differenzengleichung. Dieser feine Unterschied war mir früher nicht bewusst.
Interessant ist nun aber, dass bei einem r > 1 gedämpfte Oszillationen resultieren. Bei einer Wachstumsrate 2 < r ensteht ein zyklisches Wachstum. Der Funktionsgraph pendelt nun zwischen zwei Extremen hin und her. Es bildet sich ein Zweierzyklus heraus. Bei r = 2.5 ensteht ein Viererzyklus (Periodenverdopplung). Je näher man dem mirakulösen Wert von 2.57 kommt, um so mehr Verdopplungen sind die Folge. Bei einem r > 2.57 ensteht erstes chaotisches Verhalten.
Trägt man sämtliche Lösungskurven ein, entsteht schliesslich das bekannte
Feigenbaum-Diagramm. Sehr schön sind daraus die
Bifurkationen abzulesen. Die Bifurkationsintervalle werden um so kleiner, je näher man dem Wert r = 2.57 kommt. Das Längenverhältnis zweier aufeinanderfolgender Intervalle bildet eine Konstante, die sog.
Feigenbaumkonstante: δ = 4.6692...
Bei r > 2.57 sind nicht länger nur einzelne Häufungspunkte zu erkennen. Die einzelnen Funktionswerte erscheinen zufällig verteilt; dennoch handelt es sich um einen deterministischen Vorgang. Auch bleibt die Lösungsfolge endlich; denn alle Pukte liegen innerhalb eines scharf abgegenzten Bereiches.
Gibt es vielleicht Verbindungen zur Quantenmechanik? Unterliegt das statistische Verhalten einem strengen Mechanismus - gesteuert aus höherdimensionalen Räumen über komplexe Fourierreihen? Nichts wäre somit falscher als das Zufallsprinzip.
Ein weiterer Aspekt beginnt sich mit zunehmender Wachstumsrate herauszuschälen. Im chaotischen Bereich bilden sich "Inseln der Ordnung" heraus. Es entstehen schmale Streifen mit deutlich erkennbaren Häufungspunkten. Logistisch gesehen ist es aber wenig sinnvoll, Bereiche für r > 3 zu betrachten; denn von hier an divergiert die logistische Differenzengleichung für fast alle Startwerte.
Naja, jetzt bin ich doch weiter vorgestossen, als ich es eigentlich vorhatte.
Gr. zg