Hi
EDIT
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Verhulst Gleichung:
p_n+1 = p_n + ap_n (1 - p_n) = (1 + a)p_n - a(p_n)^2
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Kannst du eine Quelle fuer diese Gleichung und Bezeichnung nochmals angeben ?
Ich bin damit nicht so ganz einverstanden. Auch nicht sicher ob diese Form ueberhaupt konvergente Bereiche aufweist. Um ein geeigetes Paar DGL DZGL zu finden es ist auch viel einfacher die logistische DGL zu modifizieren. Wie oben bereits beschrieben.
@soon
Und sogar fuer r>4 gibt es stabile Bereiche. Deine Beobachtungen zur Rechenungenauigkeit habe ich auch schon gemacht. Iteriere ich einen komplexen Punkt 100 oder 1000 mal vorwaerts oder rueckwaerts hin und her, landet der ueberall, aber sicherlich nicht bei seinem Anfangswert. Abhaengig vom Ljapunovexponenten, also wie chaotisch, sensibel das System reagiert.
Das ist auch die Kernaussage ueber chaotische Systeme. Empfindlich gegenueber den Ausgangswerten und damit auch gegenueber den Rechenungenauigkeiten. Es gibt daher in den chaotischen Bereichen gar keine spezielle Mandelbrotmenge. Ab und zu wird darauf auch hingewiesen, dass das Ergebnis abhaengig ist von der Genauigkeit des Prozessors oder Compilers.
Sachgemaesser waere eine Darstellung des Ljapunovexponenten. So etwas gibt es auch fuer die Mandelbrotmenge.
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Was ich bisher nicht wusste ist, dass z.B. 0,1 binär gesehen eine periodische Zahl ist!
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Genau mit der Problematik hatte ich schon mal bei einem Programm in Form von unerwarteten Instabilitaeten zu kaempfen. Ohne Anregung schaukelte sich das Feld auf und divergierte. Ursache war hier tatsaechlich die Rechenungenauigkeit der Nachkommastellen. 0.5 ist eben weitaus genauer darstellbar als 0.1. Ausser kuenstlich numerisch bedaempfen , Viskositaet fand ich dafuer auch keine Loesung. BCD Zahlen waeren vielleicht eine Alternative.
@zeitgenosse
Man koennte Poincare sogar als Vater der Chaostheorie ansehen ?
Das Unangenehme am Ljapunovexponenten ist, dass es notwendig ist die Systemgleichungen zu kennen um diesen zu berechnen. Aus Messdaten ist mir hierfuer bisher keine Methode bekannt.
Vielleicht verstehst du, warum ich meine, dass der Zusammenhang zu der Abweichung der Zipf Verteilung bemerkenswert ist Die Verteilung, damit die Abweichung von der Zipf Verteilung, der von mir als "goldenes Guetemaß" bezeichnete Wert, kann ich alleine aus den Meßwerten ermitteln. Ich bin eher zufaellig darauf gestossen.
Weiss bisher selber nicht warum dem so ist. Dazu muesste sich ein profesioneller Mathematiker mal mit dem Zusammenhang beschaeftigen.
Den Grad von Ordnung und Chaos kann ich leider aus dem Informationsmaß noch nicht ermitteln.
Das waere aber hochinteressant und nuetzlich. Jedoch sind die Nullstellen und Peaks des goldenen Guetemaßes miteinander korelliert. Und immerhin sind ja auch diese von besonderem Interesse. Dazu nochmal mein numerisches Experiment hier :
http://home.arcor.de/richardon/richy...zipf/verh1.htm
Die Ergebnisse dort sind keineswegst selbstverstaendlich.
Auch dieses Bild ist mir bisher eher unerklaerlich:
Zitat:
KUERZBESCHREIBUNG :
In der Grafik stellt jeder Punkt der Funktionen das Ergebnis einer numerischen Simulation der logistischen Glcihung ueber den Parameter r dar. Genauso wie beim Feigenbaumdiagramm.
Die BLAUE Funktion zeigt wie gewohnt den Ljapunovexponenten L der Gleichung ueber r.
L<0 "Ordnung" L=0 Birfukation L>0 "Chaos"
Die ROTE Funktion ist verknuepft mit dem semantischen Informationsgehalt. Wobei dieser fuer den Wert 0 am groessten ist. Numerisch ist jeder Funktionswert wie folgt recht einfach ermittelt:
Das Intervall 0..1 diskretisiere ich zunaechst in Haeufigkeitsklassen und ermittle wie oft die Ausgangsfolge in die entsprechenden Klassen faellt. Also die Verteilung der Ausgangsfolge.
Ein einfaches Abzaehlen. Als Referenz verwende ich nun die Zipfsche Verteilung, der ein maximaler semantischer Informationsgehalt zugesprochen wird. Um ein Guetemaß (einen Punkt der roten Funktion ) zu erhalten wende ich nun auf die gemessene Verteilung und die Referenz (Zipf Verteilung) die Methode der kleinsten Quadrate, das Gaussche Fehlerintegral an. Ich summiere einfach die Quadrate der Abstaende, Differenz beider Verteilungen.
Klingt kompliziert ist aber ueberhaupt nicht aufwendig,
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Wie koennte ich diese mit den Nullstellen des Ljapu (blau) korrelierten Peaks (rot) am guenstigsten erfassen ? Welche Korrelation gibt es fuer die Bereiche 0>L>0 (blau) in der roten Kurve ? Gibt es die Ueberhaupt ?
Der Lohn waere ein numerisches Verfahren, anhand dessen ich den Grad der Ordnung / Unordnung des Systems ohne Kenntnis der Systemfunktion MESSEN koennte. Durchaus erstrebenswert.
Fuer die Birfukationsstellen sicherlich auch jetzt schon relativ einfach realisierbar.
(Ableitung der Funktion ? )
Fuer Systeme 1.Ordnung habe ich einen Algo entworfen, der den Ljapu nur anhand der
Messwerte ueber numerische Differentation bestimmen kann.
http://home.arcor.de/richardon/richy...alytic/le3.htm
Die Voraussetzung 1.Ordung ist aber nun mal in der Praxis sehr einschraenkend.
BTW: Anhand einer DZGL hoeherer Ordnung habe ich die Korrelation leider auch noch nicht getestet. Das waere natuerlich unbedingt notwendig. Auch fuer ein System nichtkonstanter Koeffizienten.
Auf analytischem Wege eine Ursache dieser Korrelation zu ermitteln sicherlich auch eine interessante aber auch anspruchvolle Aufgabe.
Anwendungsbeispiel A ...
Ahem, doch lieber geloescht.
Viele Gruesse
richy
@soon
Rechnest du die Rueckwaertsiterierte komplexwertig ?
Welches Ziel verfolgst du ?
Sind meine Ausfuehrungen hier verstaendlich ? Was koennte ich verbessern ?
Haettest du Lust und Zeit die bisherigen Ergebnisse mit weiterzuentwickeln ?
Konkretes momentanes Ziel :
Wie kann ich die blaue Funktion auf die rote Abbilden ?
Hilfsmittel and die ich denke FFT DFT
Info: Die Rueckwaertsiterierten stellen die Nullstellen des verketteten Polynoms dar.