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Alt 21.10.07, 01:21
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Marco Polo Marco Polo ist offline
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Standard AW: Meßfehler und Längenkontraktion

Zitat:
Zitat von JGC Beitrag anzeigen
Der Tread ist zwar schon etwas angestaubt, doch wollte ich hier mal eine Animation zeigen, die ich mal als Antwort für das Astronews-Forum erstellte...

Das Raketen-Seil Problem... http://www.astronews.com/forum/showp...5&postcount=64

Ich behaupte nämlich, das die Verkürzung gar nicht existiert, sondern nur durch die Lichtlaufzeit senkrecht WIE wagrecht zum beobachteten Objekt dafür zustande kommt, da sich das Licht schliesslich sich nach allen Richtungen mit LG fortpflanzt vor /zurück, WIE quer!!

Je näher ich also einem lichtschnellen Objekt auf die Pelle rück, um so stärker tritt die Verkürzungserscheinung auf, ist aber in Wahrheit nur ein Laufzeitproblem der Wahrnemung/Registrierbarkeit in Y_ und Z-Achse zum entsprechend beobachteten Objekts..

So gesehen ist Verkürzung also nur ein "psychologischer" Effekt
Hi JGC,

ich behaupte, dass du dich mit dem Raketen-Seil-Problem noch nie eingehender beschäftigt hast. Von Verkürzung ist da überhaupt nicht die Rede. Im Gegenteil. Trotz identischer Beschleunigungen, entfernen sich beide Raumschiffe voneinander.

Ich kopiere die Berechnung, die ich im alten Forum schon mal gepostet hatte nochmal hierhin:



Zwei Raketen A und B starten im S-System bei (ct=0 ; x=0) und (ct=0 ; x=l) und erfahren die gleichen konstanten Eigenbeschleunigungen α.

Zwischen beiden Raketen ist ein Seil der Eigenlänge l gespannt. Es reißt. Warum?

Für die Weltlinie der Rakete A gilt im S-System das relativistische Weg-Zeit-Gesetz: x=c²/α(sqrt(1+(αt/c)²)-1)

Entsprechend ist die Weltlinie von B gegeben durch:

x=c²/α(sqrt(1+(αt/c)²)-1)+l

Beide Raketen haben also im S-System den konstanten Abstand l. Betrachten wir nun die Länge des Seiles: Sie behält im bewegten Bezugssystem des Seiles natürlich ihre Eigenlänge der Größe l.

Im S-System wird diese Länge aber auf l/γ<l kontrahiert.

Das Seil muss also reißen. Doch wie ist das Reißen im S'-System der Rakete A zu erklären?

Wir formen zunächst die Weltlinien der Raketen so um, dass sie als Hyperbelgleichungen zu erkennen sind; für Rakete A also:

(α/c²*x+1)²=α²/c^4*(ct)²+1

bzw.: (x+c²/α)²/(c²/α)²-(ct)²/(c²/α)²=1

und für Rakete B:

(x-l+c²/α)²/(c²/α)²-(ct)²/(c²/α)²=1

Es handelt sich um Hyperbeln, deren Hauptscheitel um c²/α nach links bzw. um l-c²/α nach rechts verschoben sind.

Nach der Zeit tA ist die Rakete A am Punkt P(ctA ; xA) mit den Koordinaten

P(ctA ; c²/α(sqrt(1+(αtA/c)²)-1))

angekommen. Es ist nun vorteilhaft, diese Koordinaten unter Verwendung des bekannten relativistischen Geschwindigkeits-Zeit-Gesetzes mit der Geschwindigkeit am Ort P

ßA=(αtA/c)/sqrt(1+(αtA/c)²)

als Parameter auszudrücken. Dazu lösen wir diese Gleichung nach tA auf

(ßA)²=(α²/c²-(ßA)²α²/c²)(tA)²

tA=c/αßAγA

und setzen tA in xA ein

xA=c²/α(sqrt(1+(ßA)²(γA)²)-1)

Mit 1+(ßA)²(γA)²)=1+(ßA)²/(1-(1-(ßA)²=1/(1-(ßA)²=(γA)²

wird daraus xA=c²/α(γA-1),

also sind die Koordinaten von P (ctA ; xA)

P (c²/α*ßAγA ; c²/α(γA-1))

Wir spannen jetzt ein S'-Koordinatensystem mit den Achsen x' und ct' auf, deren Neigung durch die momentane Geschwindigkeit ßA der Rakete A am Ort P gegeben ist. Der Koordinatenursprung dieses S'-Systems wird also mit der Rakete A mitgeführt; die Achsenneigung nimmt mit der Zeit zu. Im S-System ist die x'-Achse gegeben durch die Geradengleichung

ct-ctA=ßA(x-xA)

ct-c²/α*ßAγA=ßA(x-c²/α(γA-1))

oder umgeformt

ct=ßA(x+c²/α)

Man erhält sie graphisch, indem man den Punkt (ct=0 ; x=-c²/α) mit P durch eine Gerade verbindet. Die x'-Achse hat die Bedeutung, dass alle Ereignisse auf ihr, so z.B. das Ereignis Q (ctB ; xB), im S'-System gleichzeitig stattfinden. Man sieht sofort, dass der Schnittpunkt Q der x'-Achse mit der Weltlinie der Rakete B rasch nach rechts wandert. Hierzu sollte man aber zur Veranschaulichung ein Minkowski-Diagramm zeichnen.

Wir berechnen nun xB, die x-Koordinate von Q, indem wir die Weltlinie der Rakete B mit der x'-Achse durch Einsetzen zum Schnitt bringen

xB=c²/α(sqrt(1+α²/c²*(ßA)²(xB+c²/α)²)-1)+l

und nach xB auflösen

((xB-l)α/c²+1)²=1+α²/c^4*(ßA)²(xB+c²/α)²

nach diversen Umformungen, die ich mir jetzt gerne erspare hier zu tippen, erhalten wir

xB=(γA)²*l-c²/α±sqrt(c^4/α²*(γA)²+(γA)^4*l²*(ßa)²)

wobei 1+(ßA)²(γA)²=(γA)²

und 1-1/(γA)²=1-(1-(ßA)²)=(ßA)²

verwendet wurde.

Die 2. Lösung der quadratischen Gleichung ist der Schnittpunkt mit dem 2. Ast der Hyperbel.

Die Koordinaten von Q (ctB ; xB) lauten

Q(ßA(γA)²*l+ßA*sqrt(c^4/α²*(γA)²+(ßA)²(γA)^4*l²) ; (γA)²*l-c²/α+sqrt(c^4/α²*(γA)²+(ßA)2(γA)^4*l²)

Wir berechnen nun mit Pythagoras das Quadrat der Länge der Strecke PQ im S-System:

(ctB-ctA)²+(xB-xA)²=((ßA)²+1)((γA)²*l+c²/α(sqrt(1+α²/c^4*(ßA)²(γA)²*l)-1))

Die Strecke PQ hat damit die Länge sqrt((1+(ßa)²)/(1-(ßa)²))*((γA)*l+c²/α(sqrt(1+α²/c^4*(ßA)²(γA)²*l²)-1))

Da aber die Längeneinheit auf den S'-Achsen sqrt((1+(ßa)²)/(1-(ßA)²)) beträgt, verkürzt sich die Länge der Strecke PQ im S'-System bzw. die Lage von Q auf der x'-Achse zu

x'=γA*l+c²/α(sqrt(1+α²/c^4*(ßA)²(γA)²*l²)-1)

Diese Strecke ist offenbar länger als l, also muss auch im S'-System das Seil reissen. Der Abstand der Raketen vergrössert sich, weil Rakete B nicht nur im S-System sondern auch im S'-System der Rakete A eine beschleunigte Bewegung ausführt.

Dies sieht man im Minkowski-Diagramm sofort daran, dass Weltlinie B im Punkt Q eine kleinere Steigung, also eine grössere Geschwindigkeit hat als Weltlinie A im Punkt P. Diese Aussage ist im S-System und im S'-System richtig. Im S'-System entfernt sich also Rakete B beschleunigt von Rakete A; im S-System ist dies natürlich nicht der Fall, da gleichzeitige Ereignisse auf Geraden parallel zur x-Achse liegen.

Interessant ist noch, wohin sich der Abstand im S'-System entwickelt.

Für ßA --> 1 geht γA --> ∞

Der gegenseitige Abstand wird also unendlich groß!

Grüssle,

Marco Polo
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