Zitat:
Zitat von Culpa
Das wäre ja so als würde ich sagen: Ich habe eine Fläche, die ist nur Fläche, hat keine Auslenkung in 3D. Also z. B. im x, y, z - Koordinatensystem die Fläche mit z=0. So. Und nun soll diese Fläche eine Krümmung aufweisen ...
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Das geht.
Stell die die Erde bzw. einen Globus vor. Statt des Globus zeichnest du nun flache Karten in einen Atlas. Wie du sicher weißt, können diese nicht zugleich längen-, flächen- und winkeltreu sein; das ist ein Resultat der Krümmung der Oberfläche des Globus. Nun entscheidest du dich für eine winkeltreue Abbildung, z.B. die Mercator-Projektion. Hier schneiden sich Längen- und Breitengrade immer im rechten Winkel, sowohl auf der Karte als auch auf dem Globus. Die Projektion kann so angepasst werden, dass Abstände entlang der Längengrade unverzerrt sind, jedoch sind die Abstände entlang der Breitengrade hin zum Pol immer stärker versetzt. Um diesen Effekt der Krümmung zu korrigieren, schreibst du an jeden Breitengrad die tatsächliche Länge.
Nimm an, die Karte sei rechteckig mit den Abmessungen Breite * Höhe = 20 cm * 10 cm. Jeder Breitenkreis entspricht auf der Karte einer Linie vom linken zum rechten Kartenrand. Jeder Längenkreis entspricht auf der Karte insgesamt
zwei Linien, eine geht vom Nordpol zum Südpol, die zweite wieder zurück zum Nordpol (dazwischen liegen 180°, z.B. 0° => Greenwich, 180° => Datumsgrenze). Ein halber Längenkreis von Nordpol zu Südpol entspricht dem halben Erdumfang, auf der Karte sind dies 10 cm. Der Äquatorialkreis vom linken zum rechten Kartenrand entspricht dem ganzen Erdumfang, auf der Karte sind dies 20 cm.
Geht vom Äquatorialkreis weg in Richtung eines Poles, so bleiben die Linien 20 cm lang, die tatsächliche Länge gemessen entlang eines Breitenkreises nimmt jedoch ab. Der Nordpol entspricht auf der Karte einer Linie von 20 cm Länge, seine Ausdehnung ist jedoch Null (die Karte hat hier eine Singularität, die Erde jedoch nicht ;-).
Nun schreibst du an jeden Längenkreis 10 cm, an jeden Breitenkreis die
tatsächliche Länge, am Äquator 20 cm, am Pol 0 cm; die LKänmge als Funktion der geographischen Breite kannst du mittels Winkelfunktionen recht einfach ausrechnen.
Zuletzt müsstest du noch für zwei Punktepaare auf dem Globus die kürzeste Verbindungslinie auf der Karte einzeichnen (auf der Karte ist das keine Gerade!!) und den tatsächlichen Abstand dazuschreiben. Das kannst du natürlich nicht für alle Punktepaare durchführen, sonst wird die Karte zu voll gekritzelt, jedoch für einige die dich interessieren.
Die Zusammenfassung von Koordinatensystem (Längen- und Breitengraden) sowie die Längen zwischen Punkten (mit jeweils gegebenen Koordinaten) entspricht der
Metrik. Die Notation der Metrik in der ART ist sehr kompakt, sie fasst all dieses in einer einzigen Formel zusammen.
Und sie enthält letztlich die Information über die Krümmung, die du ohne Einbettung nicht graphisch darstellen kannst, jedoch über diese Zusatzinformation der Abstände erfasst.