[mermanview]

... im nächsten Schritt müsste untersucht werden, woran man mathematisch erkennt,
ob eine Anfangssteigung x1 in den Vollkreis passt, oder nicht.

Erkennbar daran z.B. dass sie spätestens nach einer "vollen Runde" (2*Pi) wieder den gleichen Wert hat.

Bei gerad-zahligen Vielecken, sollte es einfacher erkennbar sein, da müssten sich Steigungen spätestens nach eine "halben Runde" wiederholen.

Trotz aller bisherigen Erkenntnisse:
Diese Problemstellung scheint wieder mal zur ursprünglichen zurück zu führen:

Das vertrakte Längenverhältnis zwischen Kreisbögen und ihren Sehnen, stöhn.

Und Nomenklatur brauchen wir, Namensgebung:

Anfangssteigungen die genau n-mal in einen Kreis passen sollen "runde" Anfangssteigungen/ Vielecke heißen.
Die Anfangsteigungen, deren Vieleck nicht genau in eine Vollkreis passt heißt demnach "unrund".

Vielleicht fallen mir irgendwann noch bessere Namen ein.

... wollen mal sehen, was es mit den Parallelen auf sich hat,
... ob es denen wurscht ist, ob sie sich in einem runden oder in einem unrunden Vieleck befinden:

cont. calculating

Merman