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Hallo richy,
die Gleichung x^2 = 1 ist sinnvoll, weil (.)^2 eine Funktion ist. Für jede Zahl x ist x^2 eine Zahl. Die "mehrdeutige Abbildung" ist keine Abbildung, deshalb muss man z^1/n definieren, wenn man es schreibt. Man kann eindeutig definieren durch Einschränkung des Definitionsbereichs, also nicht überall definiert. Oder mehrdeutig, also, z^1/n ist eine Menge für jede beliebige Zahl z, nämlich die Lösungsmenge der Gleichung x^n = z. Man kann aber nicht behaupten, dass die Menge (1,2,3) und die Zahl 2 gleich sind, nur weil 2 in der Menge enthalten ist.
Wurzel(2) irrational beweist man indirekt. Angenommen Wurzel(2) = p/q,
p und q teilerfremd. Daraus folgt p^2 = 2q^2, also p^2 durch 2 teilbar, also p durch 2 teilbar, p = 2r. 2q^2 = p^2 = (2r)^2 = 4r^2, also q^2 = 2r^2, also q^2 durch 2 teilbar und somit auch q. Das ist ein Widerspruch, da p und q teilerfremd sind.