[TomS]

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Die Schleifenquantengravitation (LQG) wird mit Hilfe einer sogenannten Triangulierung des Raumes definiert; Triangulierung bedeutet eine lückenlose Überdeckung des Raumes mittels Tetraedern. In der LQG wird anschließend ein dazu dualer Graph konstruiert; dazu wird jeder Tetraeder durch einen (beliebigen) in seinem Inneren liegenden Punkt (Knoten) repräsentiert, die Dreiecks-Fläche (die zwei Tetraeder trennt) durch die Verbindungslinie (Kante) zwischen den Punkten.

Jede Triangulierung lässt einen derartigen dualen Graph zu, jedoch erlaubt nicht jeder Graph eine duale Triangulierung. Man erkennt das sehr einfach anhand eines zwei-dim. Beispiels, d.h. anhand der Überdeckung der Ebene mittels Dreiecken: konstruiert man zunächst einen dualen Graphen zu einer existierenden Triangulierung und fügt man weitere Kanten zwischen nicht-benachbarten Knoten hinzu, so entspricht diesem so erweiterten Graphen keine flächige Anordnung von Dreiecken. In der LQG existieren zusätzliche Bedingungen, die sicherstellen, dass nur Graphen eingeführt werden, die dual zu einer Triangulierung sind (allerdings ist der Status dieser Konstruktion mMn noch nicht vollständig verstanden).

Lässt man diese Zusatzbedingungen fallen, so tragen die erlaubten Graphen keine lokale Information über die Dimensionalität; letztere kann zunächst nicht mehr definiert werden. Allerdings existiert
i) die Möglichkeit, einen (verallgemeinerten) Dimensionsbegriff einzuführen, und
ii) es existieren Dynamiken, die die Dimension näherungsweise auf vier festlegt.

i) Der erweiterte Dimensionsbegriff (spektralen Dimension) hat etwas mit einen "Random Walk" auf einem Graphen zu tun: man kann die Wahrscheinlichkeit untersuchen, mit der Random Walks auf einem gegebenen Graphen nach n Schritten wieder zum Ausgangspunkt zurückkehren. Im Falle einer definierten Dimensionszahl kann diese mit dieser Wahrscheinlichkeit in Beziehung gesetzt werden. Diese Beziehung bleibt gültig, selbst wenn keine definierte Dimensionszahl vorliegt. D.h. man kann aus der Wahrscheinlichkeit mittels eines mathematischen Verfahrens eine Zahl konstruieren, die in Spezialfällen einer gegebenen Dimensionszahl mit dieser übereinstimmt. Diese Zahl ist die verallgemeinerte und i.A. nicht ganzzahlige sogenannte spektralen Dimension.

ii) Sowohl in verallgemeinerten Versionen der LQG als auch in verwandten Theorien zur Quantengravitation existieren Dynamiken auf Graphen (statt Dynamiken auf Mannigfaltigkeiten wie in der ART), die in bestimmten Grenzfällen auf Graphen mit näherungsweise vier (spektralen) Dimensionen führen. Dabei liegen interessanterweise verschiedene Phasen (vgl. Aggregatzustände) vor, die sich durch die Anzahl der Dimensionen unterscheiden. Verkürzt gesagt: so wie H2O in verschiedenen Aggregatzuständen (fest, flüssig, gasförmig) bzw. Phasen existiert, so existiert die "Raumzeit" in diesen verschiedenen Phasen; eine davon entspräche dann der uns vertrauten - auf makroskopischen Skalen vierdimensionalen - Raumzeit der ART.

Während also die zugrundeliegenden Theorie keinen mikroskopischen Dimensionsbegriff kennt, resultieren auf makroskopischen Skalen "Phasen", die einen verallgemeinerten Dimensionsbegriff erlauben.