Einige Spezialfaelle der modifizierten Gleichung :
Fuer a=1+Wurzel(n), n=1..9
ergibt sich allgemein :
z(k + 1) = 1/2*(1+Wurzel(n))*z(k)^2 + 1/2*(1-Wurzel(n))
rationale Faktoren
n=0, a=1,
z(k + 1) = 1/2*z(k)^2+1/2
n=1, a=2,
geloest
z(k + 1) = z(k)^2
n=4, a=3
z(k + 1) = 3/2*z(k)^2 -1/2
n=9, a=4,
geloest
z(k + 1) = 2*z(k)^2 -1
besonderer irrationaler Faktor
n=5, a=1+Wurzel(5)
z(k + 1) = Psi*z(k)^2 + Psi (Psi<0)
weiteres offenes Konzept
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Laesst sich lediglich die Konstante eliminieren ?
-(-p*q+a*p*q-a*p^2)/q=0
hat die Loesung :
p =q*(a-1)/a
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(das ist q mal dem Hauptattraktor der Gleichung)
setzt man die Bedingung ein ergibt dies Gleichungen :
a/q*z^2-(q*a-2*q)/q*z
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mit dem besonders einfachen Fall fuer q=a
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z^2-(a-2)*z
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die Substitution hierfuer war :
y=1/a*(a-1-z)
z=(a-1) - a*y
Interessant ist auch
y=1/a*(a-1-exp(z))
dies fuehrt auf
ln(-a*exp(z)+2*exp(z)+exp(2*z))
(damit hat man die 2 te Substitution gleich mit eingebaut)
Zusatzgedanke zu 1+sqrt(5) :
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Kettenbrueche koennte man umgehen, indem man versucht die Rechteckfunktion als Fourierreihe darzustellen. Ein grosser Nachteil ist in dem Fall, dass es eine implizite Loesung waere . Denn was ist die Umkehrfunktion einer Rechteckfunktion ? Letzendlich sind das die Attraktoren. Ein weiterer Aspekt : Im Gegensatz zu Wolframs r=4 Loesung bleibt die Frequenz konstant. 2^n geht nicht in die Frequenz, sondern wohl in die Anzahl der Summanden ein.
EDIT 2011
Man koennte dies evtl umgehen wenn man eine Fouriertransformation formuliert bei der die Frequenz zu den Intervalenden hin moduliert wird.
Ebenso koennte man das Rechteck ueber zwei verschobene r=2 Faelle ausdruecken.
ln oder arccos das ist die Frage. Wahrscheinlich ist es eine "Mischung" aus beidem, die
nicht analytisch, geschlossen dargestellt werden kann.
Von besonderem Interesse :
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Darstellung der Nullstellen der modifizierten Gleichung ueber die Rueckwaertsiterierte.