Zitat:
Zitat von TomS
Nein, das gilt i.A. nicht.
Der metrische Tensor ist symmetrisch, hat ein Inverses, und kann durch Koordinatentransformationen lokal au die Form (1,-1,-1,-1) gebracht werden.
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Äh klar. Die Metrik ist ja in Wirklichkeit relativ, und zB ein mitbewegter Beobachter hat aus seiner Sicht die ungestörte Metrik (wie unten mein Spruch
)
Verschiebt sich dann alles?
Haben die Koeffizienten der transformierten Basis dann immer noch lokal das inverse Verhalten (1/1 ist auch 1... ich meine aber in einem gew. Abstand zum neuen Ursprung der Koord.) ?
Anders gefragt: welche Größe eines Metrik-Tensors ist invariant? Determinante, Signatur ...?
Findet sich die Inversion ev irgendwie in den Ableitungen wieder, besonders im immer gleichen lokalen Krümmungstensor?
NACHTRAG! Also, das Wegelement ds^2 ist eine Invariante, egal wohin ich den Ursprung einer Metrik lege. Damit ändert sich meine Fragestellung:
Gibt es Lösungen der ART, bei denen eine Krümmung zu einem RELATIVEN Verhalten einer Metrik führt, deren Koeffizienten sich nicht invers zueinander Verhalten, deren Determinante also ungleich +- 1 ist ?
Ich kenne keine...
Sicherlich ist das Verhalten im allgemeinsten Fall nicht so leicht ersichtlich, aber man kann eine Metrik immer diagonalisieren und dann wird es einfacher ihr Verhalten zu bestimmen.
Ich hab mir mal die Mühe gemacht, das Verhalten eines Vierervolumen-Elementes zu bestimmen: in den oben genannten Fällen ist dV4 immer eine Invariante! Und genau das ist der Grund warum ich frage..
Denn eine Invarianz eines dV4 korreliert mit einer Invarianz einer Wirkung H.
Wenn ich mich nicht irre, ist das auch die Bedeutung der sogenannten Einstein-Hilbert-Wirkung.
MfG ghosti